v1 · padrão canônico

Lição 58 — Taxas relacionadas

Quando duas grandezas variáveis são ligadas por uma equação, suas taxas de variação no tempo também são ligadas. Balão esférico, escada deslizante, tanque cônico, sombra e ângulo de elevação.

Used in: 2.º ano do EM (16–17 anos) · Equiv. Math II/III japonês · Equiv. Klasse 11–12 alemã

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Método formal e modelos canônicos

Estratégia geral para taxas relacionadas

Identifique as variáveis dinâmicas (dependem de $t$ ) e as constantes do problema.
Escreva a equação geométrica ou física que relaciona as variáveis — válida para todo $t$ .
Derive ambos os lados em relação a $t$ , usando a regra da cadeia em cada variável dinâmica.
Substitua os valores numéricos do instante de interesse (nunca antes de derivar).
Isole a taxa desejada e verifique a unidade e o sinal.

"Uma taxa relacionada é a taxa de variação de uma quantidade em termos da taxa de variação de outra quantidade. Podemos encontrar essa taxa de variação usando uma equação que relaciona as duas quantidades e diferenciando ambos os lados em relação ao tempo." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.1

Modelos canônicos

Cenário	Equação fundamental	Variáveis dinâmicas
Balão esférico	$V = \frac{4}{3}\pi r^3$	$V(t),\; r(t)$
Escada deslizante	$x^2 + y^2 = L^2$	$x(t),\; y(t)$
Tanque cônico	$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$	$V(t),\; r(t),\; h(t)$
Dois carros divergindo	$D^2 = x^2 + y^2$	$x(t),\; y(t),\; D(t)$
Sombra (semelhança)	razão proporcional	distância, sombra
Ângulo de elevação	$\tan\theta = h/x$	$\theta(t),\; x(t)$

Regra da cadeia — forma geral

Se $F(x_1(t), \ldots, x_n(t)) = C$ (constante), então:

$\frac{d}{dt}F = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\dot x_i = 0$

Diferenciação implícita em $t$ . O resultado é uma equação linear nas taxas $\dot x_i$ , da qual se isola a desejada.

Erro clássico: substituir antes de derivar

Se $r = 5$ é o valor no instante de interesse, substituir $r = 5$ antes de derivar reduz $r$ a constante e faz $dr/dt$ desaparecer. O erro elimina a informação que se quer calcular.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Balão esférico — taxa de crescimento do raio (aplicação direta)

Problema: Um balão esférico é inflado de modo que seu volume aumenta à taxa de 100 cm³/s. Encontre a taxa de variação do raio quando $r = 5$ cm.

Estratégia: As grandezas dinâmicas são $V(t)$ e $r(t)$ , ligadas pela equação do volume da esfera. Derivamos essa equação em relação a $t$ pela regra da cadeia e isolamos $dr/dt$ .

Resolução:

Equação fundamental: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .
Derivar em $t$ : $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}$
Dados: $dV/dt = 100$ cm³/s, $r = 5$ cm. Substituir: $100 = 4\pi(5)^2\,\frac{dr}{dt} = 100\pi\,\frac{dr}{dt}$
Isolar: $\frac{dr}{dt} = \frac{100}{100\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}318 \text{ cm/s.}$

Verificação: Unidade correta (cm/s). Sinal positivo: raio cresce, consistente com inflagem.

Fonte. Active Calculus §3.5, Activity 3.5.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Escada deslizante — taxa de descida do topo (intermediário)

Problema: Uma escada de 10 m apoia-se verticalmente em uma parede. O pé da escada escorrega para fora a 0,8 m/s. Encontre a taxa de descida do topo da escada quando o pé está a 6 m da parede.

Estratégia: As variáveis dinâmicas são $x(t)$ (distância do pé à parede) e $y(t)$ (altura do topo). A restrição é o Teorema de Pitágoras com $L = 10$ (constante).

Resolução:

Equação fundamental: $x^2 + y^2 = 100$ .
Derivar em $t$ : $2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0$
Dados: $dx/dt = 0{,}8$ m/s, $x = 6$ m. Calculamos $y$ : $y = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ m.}$
Substituir: $2(6)(0{,}8) + 2(8)\,\frac{dy}{dt} = 0 \implies 9{,}6 + 16\,\frac{dy}{dt} = 0$
Isolar: $\frac{dy}{dt} = -\frac{9{,}6}{16} = -0{,}6 \text{ m/s.}$

O topo da escada desce a 0,6 m/s. O sinal negativo é esperado: $y$ decresce quando $x$ cresce.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.1, Example 4.3 — OpenStax · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Tanque cônico enchendo — taxa de elevação do nível (intermediário)

Problema: Água é bombeada para um tanque cônico invertido (vértice para baixo) à taxa de 3 m³/min. O tanque tem altura total 6 m e raio do topo 2 m. Quão rápido o nível de água sobe quando a profundidade é $h = 4$ m?

Estratégia: O volume do cone depende de $r$ e $h$ , ambos dinâmicos. A geometria de semelhança permite expressar $r$ em função de $h$ , reduzindo o problema a uma única variável.

Resolução:

Semelhança: No cone, $r/h = 2/6 = 1/3$ , logo $r = h/3$ .
Expressar $V$ só em $h$ : $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$
Derivar em $t$ : $\frac{dV}{dt} = \frac{3\pi h^2}{27}\,\frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\,\frac{dh}{dt}$
Dados: $dV/dt = 3$ m³/min, $h = 4$ m: $3 = \frac{\pi(16)}{9}\,\frac{dh}{dt} \implies \frac{dh}{dt} = \frac{27}{16\pi} \approx 0{,}537 \text{ m/min.}$

Verificação: Conforme esperado, quanto maior $h$ , mais lenta a subida (área da seção cresce com $h^2$ ).

Fonte. Active Calculus §3.5, Example 3.5.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Dois carros afastando-se — distância crescendo (modelagem)

Problema: O carro A parte de uma interseção em direção ao norte a 60 km/h e o carro B parte da mesma interseção em direção ao leste a 80 km/h. Quão rápido a distância entre eles aumenta após 30 min de viagem?

Estratégia: Após 30 min, $x = 40$ km (B) e $y = 30$ km (A). A distância $D$ satisfaz Pitágoras. As três variáveis $x$ , $y$ , $D$ são dinâmicas.

Resolução:

Equação fundamental: $D^2 = x^2 + y^2$ .
Derivar em $t$ : $2D\,\frac{dD}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt}$
Após $t = 0{,}5$ h: $x = 80 \times 0{,}5 = 40$ km; $y = 60 \times 0{,}5 = 30$ km. $D = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50 \text{ km.}$
Dados: $dx/dt = 80$ km/h, $dy/dt = 60$ km/h. Substituir: $2(50)\,\frac{dD}{dt} = 2(40)(80) + 2(30)(60) = 6400 + 3600 = 10000$
Isolar: $\frac{dD}{dt} = \frac{10000}{100} = 100 \text{ km/h.}$

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.1, Example 4.5 — OpenStax · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Angulo de elevacao de um aviao — taxa angular (avancado)

Problema: Um observador no solo vê um avião que voa horizontalmente a 800 m de altitude e a 200 m/s. Qual a taxa de variação do ângulo de elevação quando o avião está diretamente a 600 m (horizontalmente) do observador?

Estratégia: $\theta$ e $x$ (distância horizontal) são dinâmicos, com $h = 800$ m constante. A relação trigonométrica $\tan\theta = h/x$ é a equação fundamental.

Resolução:

Equação fundamental: $\tan\theta = \dfrac{800}{x}$ .
Derivar em $t$ (lado esquerdo via regra da cadeia): $\sec^2\!\theta\,\frac{d\theta}{dt} = -\frac{800}{x^2}\,\frac{dx}{dt}$
Dados: $x = 600$ m; o avião se aproxima, então $dx/dt = -200$ m/s. Calcule $\theta$ : $\tan\theta = \frac{800}{600} = \frac{4}{3} \implies \sec^2\!\theta = 1 + \tan^2\!\theta = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$
Substituir: $\frac{25}{9}\,\frac{d\theta}{dt} = -\frac{800}{360000}\,(-200) = \frac{160000}{360000} = \frac{4}{9}$
Isolar: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{25} = \frac{4}{25} = 0{,}16 \text{ rad/s.}$

O ângulo de elevação cresce a 0,16 rad/s nesse instante.

Fonte. APEX Calculus §4.2, Example 4.2.4 — Hartman et al. · CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 7Proof 3

Ex. 58.1Application
Um balão esférico é inflado a $50$ cm³/s. Qual é a taxa de variação do raio quando $r = 5$ cm?
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Ex. 58.2Application
Mesmo balão esférico, $dV/dt = 100$ cm³/s. Qual é $dr/dt$ quando $r = 10$ cm?
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Ex. 58.3Application
O raio de um disco circular cresce a $0{,}1$ m/s. Qual é a taxa de variação da área quando $r = 2$ m?
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Ex. 58.4Application
A aresta de um cubo cresce a $1$ cm/s. Qual é a taxa de variação do volume quando a aresta mede $5$ cm?
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Ex. 58.5Application
O lado de um quadrado cresce a $2$ cm/s. Qual é a taxa de variação da área quando o lado mede $10$ cm?
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Ex. 58.6Application
Uma escada de $L = 5$ m apoia-se em uma parede. O pé escorrega para fora a $0{,}5$ m/s. Qual é a taxa de descida do topo quando o pé está a $3$ m da parede?
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Ex. 58.7Application
Escada de $L = 10$ m. O pé escorrega para fora a $1$ m/s. Qual é a taxa de descida do topo quando o pé está a $6$ m?
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Ex. 58.8Application
Tanque cônico invertido, raio do topo $3$ m, altura $6$ m. Água entra a $4$ m³/min. Qual é $dh/dt$ quando $h = 3$ m?
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Ex. 58.9ApplicationAnswer key
Tanque cilíndrico de raio $r = 4$ m. Água entra a $2$ m³/h. Qual é $dh/dt$ ?
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Ex. 58.10Application
O carro A parte para o norte a $60$ km/h e o carro B parte para o leste a $80$ km/h da mesma interseção. Qual é a taxa de afastamento após $30$ min?
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Ex. 58.11Application
Um poste tem $4$ m de altura. Uma pessoa com $1{,}8$ m anda a $1$ m/s se afastando do poste. Qual é a taxa de crescimento do comprimento da sombra?
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Ex. 58.12Application
Na mesma situação do exercício anterior: qual é a velocidade da ponta da sombra (distância ao poste)?
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Ex. 58.13ApplicationAnswer key
Um reservatório em forma de prisma retangular tem base $b = 4$ m e comprimento $L = 10$ m. Se a altura $h$ cresce a $0{,}1$ m/s, qual é $dV/dt$ ?
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Ex. 58.14Application
Um triângulo retângulo tem catetos $a = 3$ cm e $b = 4$ cm. O cateto $a$ cresce a $1$ cm/s; $b$ é fixo. Qual é a taxa de crescimento da hipotenusa?
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Ex. 58.15ApplicationAnswer key
Um avião voa horizontalmente a $500$ km/h, a $5$ km de altitude sobre um observador. Qual é a taxa de variação da distância entre o avião e o observador, $1$ minuto após o avião passar pelo ponto mais próximo?
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Ex. 58.16Application
Um barco é puxado por cabo até uma doca a $6$ m acima da água. O cabo tem $10$ m e é recolhido a $1$ m/s. A que velocidade o barco se aproxima da doca (na horizontal)?
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Ex. 58.17Application
Carro A vai para o norte a $50$ km/h; carro B vai para o leste a $60$ km/h. Qual é a taxa de afastamento após $30$ min de viagem?
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Ex. 58.18ApplicationAnswer key
Uma câmera de TV está a $30$ m da pista de corrida. Um carro passa a $80$ m/s. Qual é a taxa de rotação angular da câmera quando o carro está diretamente à sua frente?
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Ex. 58.19ApplicationAnswer key
Uma esfera de neve derrete com $dV/dt = -k \cdot A$ onde $A = 4\pi r^2$ é a área da superfície. Mostre que $dr/dt = -k$ (constante).
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Ex. 58.20Application
Um triângulo equilátero tem lado $a$ crescendo a $1$ cm/s. Qual é $dA/dt$ quando $a = 10$ cm?
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Ex. 58.21Understanding
Por que é um erro substituir o valor numérico de uma variável antes de derivar a equação em relação a $t$ ? Escolha a explicação mais precisa.
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Ex. 58.22Understanding
Qual regra de derivação é o fundamento matemático das taxas relacionadas?
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Ex. 58.23UnderstandingAnswer key
No problema da escada deslizante, o pé se afasta da parede ( $\dot x > 0$ ). Prove que $\dot y < 0$ sempre que $x, y > 0$ .
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Ex. 58.24UnderstandingAnswer key
No tanque cônico enchendo a taxa constante, em que momento o nível de água sobe mais rapidamente?
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Ex. 58.25UnderstandingAnswer key
No tanque cônico, $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ depende de duas variáveis ( $r$ e $h$ ). Explique o procedimento para eliminar essa variável extra antes de derivar.
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Ex. 58.26Understanding
Ao derivar $\tan\theta = h/x$ em relação a $t$ , qual fator aparece multiplicando $d\theta/dt$ no lado esquerdo?
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Ex. 58.27UnderstandingAnswer key
Para um círculo com raio crescendo a taxa constante $dr/dt = c$ , como $dA/dt$ se comporta conforme $r$ aumenta? Justifique.
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Ex. 58.28Understanding
O que distingue problemas de taxas relacionadas uns dos outros (balão, escada, tanque, sombra)?
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Ex. 58.29Understanding
Uma câmera rastreia um objeto que passa à sua frente a velocidade constante. Em que instante a câmera gira mais rápido? Justifique algebricamente.
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Ex. 58.30Understanding
Derive $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ em relação a $t$ e explique por que o coeficiente resultante $4\pi r^2$ tem significado geométrico.
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Ex. 58.31Modeling
No modelo SIR, $\dot S = -\beta SI$ com $\beta = 0{,}001$ , $S_0 = 999$ , $I_0 = 1$ . Qual é $\dot S$ no instante inicial?
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Ex. 58.32Modeling
Reação química $A \to B$ com $\dot A = -kA$ . Determine a meia-vida de $A$ em função de $k$ .
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Ex. 58.33Modeling
No modelo logístico de Verhulst $\dot P = rP(1 - P/K)$ , em que valor de $P$ a taxa de crescimento $\dot P$ é máxima?
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Ex. 58.34Modeling
Tanque cilíndrico de raio $R$ com orifício de área $A_s$ no fundo. Pela lei de Torricelli, a velocidade de saída é $\sqrt{2gh}$ . Derive a EDO para $dh/dt$ .
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Ex. 58.35Modeling
Cilindro: raio cresce a $1$ cm/s, altura $h = 20$ cm é constante. Qual é $dV/dt$ quando $r = 5$ cm?
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Ex. 58.36Modeling
Avião a $800$ m de altitude voa horizontalmente a $200$ m/s em direção a um observador. Qual é a taxa de variação do ângulo de elevação quando o avião está a $600$ m na horizontal?
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Ex. 58.37ModelingAnswer key
Poste de altura $h$ , pessoa de altura $p$ caminhando a velocidade $v$ para longe do poste. Derive a fórmula geral para a velocidade da ponta da sombra.
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Ex. 58.38Proof
Demonstração. Prove rigorosamente que $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ implica $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$ , mostrando cada passo da aplicação da regra da cadeia. Interprete geometricamente o fator $4\pi r^2$ .
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Ex. 58.39Proof
Demonstração. Para a escada deslizante com $x^2 + y^2 = L^2$ , mostre rigorosamente que $\dot x$ e $\dot y$ sempre têm sinais opostos quando $x, y > 0$ .
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Ex. 58.40Proof
Demonstração. Uma câmera rastreia um objeto que se move ao longo de uma linha reta a distância $d$ (perpendicular). Derive a fórmula geral para $d\theta/dt$ em função de $\theta$ , $d$ e $dx/dt$ . Identifique quando a rotação é máxima.
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Fontes

Active Calculus — Matthew Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §3.5 "Related rates". Fonte primária.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · §4.1 "Related rates".
APEX Calculus — Gregory Hartman et al. · 2024 · v5 · EN · CC-BY-NC · §4.2 "Related rates".