Lektion 59 — Differenzierbarkeit und Glattheit

Sei $f(x) = |x|$. Berechne die seitlichen Ableitungen $f'_+(0)$ und $f'_-(0)$ aus der Definition. Schließe auf Differenzierbarkeit in $0$.

Sei $f(x) = |x - 3|$. Berechne $f'_+(3)$ und $f'_-(3)$. Ist $f$ differenzierbar in $x = 3$?

Sei $f(x) = x|x|$. Bestimme $f'(0)$ mit der Definition.

Sei $f(x) = x^{1/3}$. Berechne $f'(0)$ aus der Definition. Was zeigt die Antwort geometrisch?

Sei $f(x) = x^{2/3}$. Analysiere die Differenzierbarkeit in $0$ durch Berechnung der seitlichen Ableitungen aus der Definition.

Sei $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$. Berechne $f'_+(0)$ und $f'_-(0)$. Ist $f$ differenzierbar in $0$?

Sei $f(x) = x\sin(1/x)$ für $x \neq 0$ und $f(0) = 0$. Überprüfe ob $f$ stetig in $0$ ist und ob es differenzierbar in $0$ ist.

Sei $f(x) = x^2\sin(1/x)$ für $x \neq 0$ und $f(0) = 0$. Zeige dass $f'(0) = 0$ mit dem Sandwich-Satz.

Sei $f(x) = \max(x, 0)$ (ReLU-Funktion). Berechne $f'_+(0)$ und $f'_-(0)$. Ist $f$ differenzierbar in $0$?

Sei $f(x) = \min(x, 1-x)$. In welchem Punkt hat $f$ eine Ecke? Überprüfe durch Berechnung der seitlichen Ableitungen an diesem Punkt.

Sei $\text{sgn}(x) = x/|x|$ für $x \neq 0$ und $\text{sgn}(0) = 0$. Ist es stetig in $0$? Ist es differenzierbar in $0$?

Wo ist die Ganzzahl-Funktion $f(x) = \lfloor x \rfloor$ differenzierbar? Wo nicht? Begründe in jedem Fall.

Sei $f(x) = |x|^3$. Berechne $f'(0)$ und $f''(0)$ aus der Grenzwertdefinition.

Sei $f(x) = x^2$ wenn $x \in \mathbb{Q}$ und $f(x) = 0$ wenn $x \notin \mathbb{Q}$. Bestimme ob $f$ differenzierbar in $0$ ist.

Sei $f(x) = \sqrt{|x|}$. Berechne $f'(0)$ aus der Definition. Identifiziere die Art des Nicht-Differenzierungspunktes.

Sei $f(x) = x^2\sin(1/x)$ für $x \neq 0$ und $f(0) = 0$. Zeige dass $f$ differenzierbar in $0$ ist, aber dass $f' \notin C^0$. Welche maximale Klasse $C^k$ hat $f$?

Finde $a$ und $b$ so dass $f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$ $C^1$ in $\mathbb{R}$ ist.

Finde $c, d$ so dass $f(x) = \begin{cases} cx + d, & x \leq 1 \\ 3x^2 - 2, & x > 1 \end{cases}$ $C^1$ in $1$ ist.

Finde $a, b$ so dass $f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \leq 0 \\ \sin x, & x > 0 \end{cases}$ $C^1$ in $0$ ist.

Wo ist $f(x) = (x-2)^{1/3}$ nicht differenzierbar? Identifiziere die Art des Punktes.

Sei $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ \sin x, & x \geq 0 \end{cases}$. Ist $f$ $C^0$ in $0$? Ist es $C^1$ in $0$?

Ein kubisches Polynom $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ gehört zu welcher Klasse $C^k$? Warum ist die Antwort nicht $C^3$?

Wo hat $f(x) = |x^2 - 1|$ Ecken? Berechne die seitlichen Ableitungen an jedem Punkt zur Bestätigung.

Ein kubischer Spline wird aus $S_1(x)$ in $[0,1]$ und $S_2(x)$ in $[1,2]$ gebildet. Welche Bedingungen in $x = 1$ garantieren dass der gesamte Spline $C^2$ ist? Liste alle Gleichungen auf.

Sei $f(x) = x|\sin x|$. In welchen Punkten hat $f$ Ecken? Skizziere das Argument für die Punkte $x = n\pi$.

Sei $f(x) = x|x|$. Berechne $f'(x)$ für alle $x$ und zeige dass $f \in C^1$.

Analysiere die Differenzierbarkeit von $f(x) = |\sin x|$ auf ganz $\mathbb{R}$. In welchen Punkten hat $f$ Ecken?

Sei $p(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$. Was ist die Glattheit-Klasse $C^k$ von $p$ in $\mathbb{R}$? Begründe.

Der Payoff einer europäischen Call-Option bei Verfall ist $V(S) = \max(S - K, 0)$. (a) Identifiziere den Nicht-Differenzierungspunkt. (b) Berechne $V'_-(K)$ und $V'_+(K)$. (c) Was passiert mit dem griechischen Delta $\Delta = \partial V/\partial S$ an diesem Punkt?

Im maschinellen Lernen ist die Aktivierungsfunktion ReLU $f(x) = \max(0, x)$. Warum funktioniert der SGD-Algorithmus auch wenn ReLU nicht differenzierbar in $0$ ist?

In der Strukturtechnik hat ein elastisches Kabel mit Knoten Verschiebung $u(x)$ stetig aber Steigung $u'(x)$ mit Sprung im Knoten. (a) Was ist die Glattheit-Klasse von $u$? (b) Was stellt die Ecke im Graph von $u$ physikalisch dar?

Ein natürlicher kubischer Spline in $[0,1]$ mit Knoten in $1/2$ erzwingt welche Glattheit-Bedingungen? Was ist die resultierende Klasse $C^k$? Warum $C^2$ und nicht $C^3$?

In einer Wellengleichung $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ mit unstetiger Anfangsbedingung (Stufenfunktion), welche Glattheit wird von der Lösung $u(x,t)$ erwartet? Warum kann keine $C^2$-Lösung existieren?

Die Umkehrung von "differenzierbar $\Rightarrow$ stetig" ist wahr? Was ist das einfachste Gegenbeispiel?

Sei $f(x) = x|x|$. Was ist die maximale Klasse $C^k$ von $f$? Berechne $f'(x)$ für alle $x$ zur Begründung.

Die Cantor-Funktion (Teufels-Treppe) erfüllt: stetig in $[0,1]$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, und $f'(x) = 0$ fast überall. Warum gilt der Hauptsatz der Analysis nicht?

Existiert eine Funktion, die in $\mathbb{R}$ stetig ist, aber in keinem Punkt differenzierbar? Beschreibe die Hauptkonstruktion.

Sei $f(x) = e^{-1/x^2}$ für $x \neq 0$ und $f(0) = 0$. Zeige dass $f \in C^\infty$ und dass $f^{(n)}(0) = 0$ für alle $n \geq 0$. Was impliziert das über die Taylor-Reihe von $f$ in $0$?

Beweise: Wenn $f$ differenzierbar in $a$ ist, dann ist $f$ stetig in $a$.

Beweise dass wenn $f \in C^1[a,b]$, dann ist $f$ Lipschitz in $[a,b]$. (Tipp: verwende den Mittelwertsatz und die Tatsache dass $f'$ in kompakt beschränkt ist.)