Lição 60 — Consolidação Trim 6: derivadas

Berechne $f'(3)$ nach der Definition der Ableitung für $f(x) = x^2$.

Berechne $f'(1)$ nach der Definition für $f(x) = 1/x$.

Berechne $f'(4)$ nach der Definition für $f(x) = \sqrt{x}$.

Was ist $f'(a)$ nach der formalen Definition?

Sei $g(x) = x^2 \cos(1/x)$ für $x \neq 0$ und $g(0) = 0$. Berechne $g'(0)$ nach der Definition.

Berechne $f'(x)$ für $f(x) = x^4 - 3x^2 + 7$.

Berechne $h'(x)$ für $h(x) = e^x \sin x$.

Berechne $q'(x)$ für $q(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$.

Berechne $p'(x)$ für $p(x) = x \sin x$.

Berechne $r'(x)$ für $r(x) = \dfrac{\sin x}{x^2}$ und vereinfache.

Berechne $f'(x)$ für $f(x) = x^3 e^x$ und faktorisiere die Antwort.

Berechne $y'(2)$ für $y(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x + 1$.

Welche ist die korrekte Formel für die Ableitung des Produkts $u(x)\cdot v(x)$?

Berechne $f'(x)$ für $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$.

Berechne $f'(x)$ für $f(x) = (2x+1)^5$.

Berechne $g'(x)$ für $g(x) = \sin(x^3)$.

Berechne $k'(x)$ für $k(x) = e^{x^2}$.

Berechne $h'(x)$ für $h(x) = \ln(2x + 3)$.

Berechne $m'(x)$ für $m(x) = \arcsin(x^2)$.

Berechne $p'(x)$ für $p(x) = \cos(\sin x)$.

Berechne $f'(x)$ für $f(x) = x^x$ ($x > 0$) mittels Logarithmierung.

Berechne $w'(x)$ für $w(x) = \ln(\sin(3x) + 2)$.

Berechne $y'$ durch implizite Differentiation für $x^2 + y^2 = 25$.

Berechne $y'$ bei $(1, 1)$ für die Kurve $x^3 + y^3 = 2$.

Berechne $y'$ bei $(0, \pi/2)$ für $\sin(xy) = y$.

Berechne $y'$ für die Ellipse $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ und beschreibe die Tangente bei $(3, 0)$.

Was bedeutet „$y$ als implizite Funktion von $x$ behandeln" beim Ableiten einer Gleichung?

Berechne $y''$ implizit für $x^2 + y^2 = r^2$.

Berechne $y'$ für $x^2 y + xy^2 = 6$.

Berechne $f''(x)$ für $f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$.

Berechne $f^{(4)}(x)$ für $f(x) = \sin x$.

Berechne $f'(x)$ für $f(x) = \arctan x$.

Berechne $g'(x)$ für $g(x) = \arctan(2x)$.

Berechne $h'(x)$ für $h(x) = \ln(2x)$ und identifiziere den häufigsten Fehler.

Berechne $f'(x)$ für $f(x) = a^x$, mit $a > 0$ und $a \neq 1$.

Berechne $f^{(50)}(x)$ für $f(x) = \sin(2x)$.

Nutze die Linearisierung von $f(x) = e^x$ bei $a = 0$ um $e^{0{,}1}$ zu approximieren.

Nutze die Linearisierung von $f(x) = \sqrt{x}$ bei $a = 25$ um $\sqrt{25{,}1}$ zu approximieren.

Nutze die Linearisierung von $f(x) = \ln x$ bei $a = 1$ um $\ln(1{,}05)$ zu approximieren.

Was ist geometrisch die Linearisierung $L(x)$ von $f$ bei $a$?

Der Radius einer Kugel ist $r = 5$ cm mit Messfehler $dr = 0{,}1$ cm. Nutze das Differential um den absoluten und relativen Fehler im Volumen $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ zu schätzen.

Wenn der relative Fehler im Radius einer Kugel $1\%$ ist, wie groß ist der relative Fehler im Volumen? Begründe mit Differentialen.

Das Volumen einer Kugel wächst mit $2$ cm³/s. Was ist $dr/dt$ wenn $r = 2$ cm?

Ein invertierter Kegel hat Verhältnis Radius/Höhe $r/h = 1/2$. Wasser fließt hinein mit $3$ m³/min. Was ist $dh/dt$ wenn $h = 2$ m?

Eine Leiter von $8$ m lehnt an der Wand. Die Basis gleitet mit $1$ m/s. Wenn die Basis $5$ m von der Wand entfernt ist, wie schnell sinkt der Gipfel?

Zwei Autos fahren von einer Kreuzung: eines fährt nach Norden mit $40$ km/h, das andere nach Osten mit $30$ km/h. Was ist die Änderungsrate der Entfernung zwischen ihnen, wenn das erste $4$ km und das zweite $3$ km zurückgelegt hat?

Zeige, dass wenn der Radius eines Kreises mit konstanter Rate $c$ cm/s wächst, dann ist die Änderungsrate der Fläche proportional zum Radius $r$.

Der Radius eines Kreises wächst mit $1$ cm/s. Berechne die Änderungsrate der Fläche wenn $r = 3$ cm.

Analysiere die Differenzierbarkeit von $f(x) = |x|$ bei $x = 0$.

Bestimme $a$ und $b$ so, dass $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ ax + b, & x \geq 1 \end{cases}$ von Klasse $C^1$ bei $x = 1$ ist.