Lektion 61 — Maxima und Minima
Kritische Punkte, Fermats Theorem, Tests der 1. und 2. Ableitung, und der Algorithmus für absolute Extrema auf abgeschlossenen Intervallen.
Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês · Equiv. Analysis/Kurvendiskussion alemã
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
Definitionen, Theoreme und Algorithmen
Lokale und absolute Extrema
"Wenn f ein lokales Maximum oder Minimum in c hat, dann ist c ein kritischer Punkt von f." — Active Calculus §3.1
Test der 1. Ableitung
Test der 2. Ableitung
"Wenn der Test der 2. Ableitung unklar ist, greifen wir auf den Test der 1. Ableitung zurück." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5
Extremwert-Theorem (Weierstrass)
Algorithmus für absolute Extrema auf [a, b]
Lokale Extrema treten an kritischen Punkten auf (wo ). Absolute Extrema können lokale Extrema oder die Endpoints und sein.
Gelöste Beispiele
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 61.1Application
Bestimme den kritischen Punkt von und klassifiziere ihn mit dem Test der 2. Ableitung.
- Ex. 61.2Application
Klassifiziere die kritischen Punkte von .
- Ex. 61.3ApplicationAnswer key
Finde die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.4ApplicationAnswer key
Klassifiziere alle kritischen Punkte von .
- Ex. 61.5Application
Bestimme die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.6ApplicationAnswer key
Finde und klassifiziere die kritischen Punkte von .
- Ex. 61.7Application
Analysiere die kritischen Punkte von .
- Ex. 61.8Application
Klassifiziere den kritischen Punkt von .
- Ex. 61.9Application
Finde die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.10Application
Bestimme die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.11Application
Bestimme die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.12ApplicationAnswer key
Bestimme die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.13Understanding
Wenn und , dann ist der Punkt :
- Ex. 61.14Understanding
Welche Aussage zu Fermats Theorem ist korrekt?
- Ex. 61.15Understanding
Wenn und , was ist die korrekte Schlussfolgerung?
- Ex. 61.16Application
Bestimme die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.17Application
Bestimme das lokale Extremum von .
- Ex. 61.18Application
Klassifiziere die lokalen Extrema von .
- Ex. 61.19ApplicationAnswer key
Bestimme die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.20Application
Bestimme das Extremum von (Gaußsche Kurve).
- Ex. 61.21Application
Finde die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.22Application
Bestimme die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.23Modeling
Ein Unternehmen verkauft ein Produkt mit Nachfrage Einheiten, wenn der Preis Euro ist. Welcher Preis maximiert den Gesamtumsatz?
- Ex. 61.24Modeling
Eine Fabrik hat Kosten (Euro) und Umsatz bei Produktion von Einheiten. Wie viele Einheiten maximieren den Gewinn?
- Ex. 61.25Modeling
Eine Modellrakete wird vertikal gestartet und ihre Höhe (in Metern) ist . Bestimme die maximale Höhe.
- Ex. 61.26Application
Finde das lokale Minimum von für .
- Ex. 61.27Application
Bestimme die absoluten Extrema von auf .
- Ex. 61.28ProofAnswer key
Beweise Fermats Theorem: wenn lokales Maximum bei hat und in differenzierbar ist, dann .
- Ex. 61.29ProofAnswer key
Zeige, dass einen kritischen Punkt bei hat, aber dieser Punkt ist kein lokales Extremum.
- Ex. 61.30Challenge
Zeige, dass einen einzigen kritischen Punkt hat und dass dieser das globale Minimum der Funktion ist.
Quellen
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-1-tests.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-3-maxima-and-minima
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com