Lektion 62 — Angewandte Optimierung

Mit 100 m Zaun, welche ist die größtmögliche rechteckige Fläche, die man einzäunen kann?

Ein rechteckiges Weideparcel wird durch einen Zaun parallel zur Breite halbiert. Die Gesamtlänge Zaun (Umfang + Trennstrecke) beträgt 120 m. Maximieren Sie die Fläche.

Ein zylindrisches Glas (Boden aber kein Deckel) muss 500 cm³ Volumen haben. Welche Dimensionen minimieren das Materialverbrauch?

Eine rechteckige Schachtel mit quadratischer Basis und ohne Deckel muss 32 cm³ Volumen haben. Das Basismaterial kostet 2 Euro/cm² und das Seitenmaterial kostet 1 Euro/cm². Minimieren Sie die Gesamtkosten.

Die Summe zweier positiver Zahlen ist 20. Bestimmen Sie die beiden Zahlen, die ihr Produkt maximieren.

Finden Sie die positive Zahl $$, so dass die Summe von $$ mit ihrem Kehrwert multipliziert mit 4 minimal ist.

Bestimmen Sie den Punkt auf der $$-Achse, der dem Punkt $$ am nächsten ist.

Bestimmen Sie den Punkt auf der Linie $$, der dem Punkt $$ am nächsten ist.

Aus einem Kartongblech von 24 cm × 9 cm schneiden Sie Quadrate an den Ecken aus und falten die Laschen. Bestimmen Sie den Schnitt, der das Volumen der Schachtel ohne Deckel maximiert.

Die Nachfragefunktion eines Produkts ist $$ (Preis in Euro pro Einheit, $$ verkaufte Einheiten). Maximieren Sie den Gesamtumsatz $$.

Ein Unternehmen hat Umsatz $$ und Kosten $$. Bestimmen Sie die Produktion, die den Gewinn maximiert.

Eine Schachtel mit Deckel und quadratischer Basis muss 96 cm³ Volumen haben. Minimieren Sie die gesamte Oberflächenfläche.

In einem Optimierungsproblem mit Nebenbedingung, welche ist die richtige Rolle der Nebenbedingungsgleichung?

Um das absolute Maximum oder Minimum von $$ auf $$ zu finden, muss man:

Bestimmen Sie die Dimensionen des Zylinders mit dem größten Volumen, der in eine Kugel mit Radius $$ eingeschrieben ist.

Bestimmen Sie die Punkte auf der Parabel $$, die dem Punkt $$ am nächsten sind.

Eine rechteckige Fläche von 300 m² wird eingezäunt. Die Ostseite (Länge $$) kostet 2 Euro/m und die anderen Seiten kosten 3 Euro/m. Minimieren Sie die Gesamtkosten.

Ein Objekt wird vertikal mit Anfangsgeschwindigkeit 20 m/s aus einer Höhe von 3 m geworfen. Modell: $$. Bestimmen Sie die maximale Höhe.

Eine Zylinderbüchse mit 200 cm³ Volumen hat Material für Boden und Deckel, das 10 Euro/cm² kostet, und Seitenmaterial, das 6 Euro/cm² kostet. Bestimmen Sie die Dimensionen, die die Kosten minimieren.

Ein Fitnesslauf hat die Form eines Rechtecks mit Halbkreisen an den beiden kurzen Seiten (ovale Bahn). Der Gesamtumfang ist 20 m. Bestimmen Sie den Radius $$, der die innere Fläche maximiert.

Die Summe zweier Zahlen ist 10. Finden Sie die beiden Zahlen, die die Summe ihrer Quadrate minimieren.

Die Summe zweier nicht-negativer Zahlen ist 1. Maximieren Sie das Produkt des Quadrats der ersten mit der zweiten.

Bestimmen Sie die maximale Fläche eines Rechtecks, das in einen Halbkreis mit Radius 5 eingeschrieben ist.

Bestimmen Sie den Punkt auf der Kurve $$, der dem Punkt $$ am nächsten ist.

Eine Exkursion verlangt 80 Euro pro Person für Gruppen von 100. Für jeden zusätzlichen Passagier sinkt der Tarif für alle um 0,50 Euro. Wie viele Passagiere maximieren den Umsatz?

Ein Orangenhain mit 25 Bäumen pro Hektar produziert 600 Orangen pro Baum. Für jeden zusätzlich gepflanzten Baum sinkt die Produktion pro Baum um 12 Orangen. Wie viele Bäume pro Hektar maximieren die Gesamtproduktion?

Ein "normannisches" Fenster wird aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis gebildet. Der Gesamtumfang ist 10 m. Bestimmen Sie den Radius des Halbkreises, der die Fensterflche maximiert.

Verwenden Sie Kalkül, um zu beweisen, dass unter allen Paaren positiver Zahlen mit fester Summe $$ das Produkt maximal ist, wenn die beiden Zahlen gleich sind. (Dies beweist die AM-GM-Ungleichheit für zwei Begriffe.)

Beweisen Sie, dass der Zylinder mit der kleinsten Oberflächenfläche für ein festes Volumen $$ die Eigenschaft $$ erfüllt (Höhe gleich Durchmesser).

Bestimmen Sie die maximale Fläche eines Rechtecks, das in die Ellipse $$ eingeschrieben ist, mit Seiten parallel zu den Koordinatenachsen.