Lição 64 — Regra de L'Hôpital
Regra de L'Hôpital para indeterminações 0/0 e ∞/∞. Formas indeterminadas 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 e limites notáveis como sin(x)/x e e^x/x^n.
Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã · Equiv. H2 Maths Singapura
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
Formulierung, Beweis und Erweiterungen
Formale Formulierung
"L'Hôpital's rule simplifies the evaluation of limits of quotients when both numerator and denominator approach 0 or ∞. The key is recognizing the indeterminate form, applying the rule, and checking that the resulting limit actually exists." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8
Idee des Beweises (Fall 0/0)
Nach dem Cauchy'schen Mittelwertsatz: Falls , existiert für nahe ein zwischen und , so dass:
Wenn , folgt , und der Grenzwert wird: (wenn der Quotient der Ableitungen konvergiert).
Erweiterung auf andere unbestimmte Formen
"Note carefully: L'Hôpital's Rule says that the limit of a quotient of functions equals the limit of the quotient of their derivatives, provided the original limit is in the form 0/0 or ∞/∞. This is not the same as the derivative of a quotient." — Active Calculus §2.8
Gelöste Beispiele
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 64.1Application
Berechne .
- Ex. 64.2Application
Berechne .
- Ex. 64.3Application
Berechne .
- Ex. 64.4ApplicationAnswer key
Berechne .
- Ex. 64.5ApplicationAnswer key
Berechne .
- Ex. 64.6Application
Berechne .
- Ex. 64.7Application
Berechne .
- Ex. 64.8Application
Berechne .
- Ex. 64.9ApplicationAnswer key
Berechne .
- Ex. 64.10Application
Berechne .
- Ex. 64.11Application
Beweise mittels L'Hôpital, dass .
- Ex. 64.12Application
Berechne .
- Ex. 64.13Understanding
Jemand möchte mit L'Hôpital berechnen. Was ist falsch?
- Ex. 64.14Understanding
Welche unbestimmte Form hat ?
- Ex. 64.15ApplicationAnswer key
Berechne .
- Ex. 64.16Application
Berechne .
- Ex. 64.17Application
Berechne .
- Ex. 64.18ApplicationAnswer key
Berechne .
- Ex. 64.19ApplicationAnswer key
Berechne für positive Ganzzahl .
- Ex. 64.20Application
Berechne .
- Ex. 64.21Application
Berechne .
- Ex. 64.22Application
Berechne .
- Ex. 64.23Application
Berechne .
- Ex. 64.24Application
Berechne .
- Ex. 64.25Application
Versuche mit L'Hôpital zu berechnen. Was passiert? Welche ist die korrekte Antwort?
- Ex. 64.26Application
Berechne .
- Ex. 64.27Application
Berechne .
- Ex. 64.28Proof
Skizziere den Beweis von L'Hôpitals Regel für den Fall mit dem Cauchy'schen Mittelwertsatz.
- Ex. 64.29Proof
Beweise mit L'Hôpitals Regel den Grundgrenzwert .
- Ex. 64.30ChallengeAnswer key
Zeige, dass für jedes (Exponentialfunktion dominiert alle Potenzen). Benutze iteriertes L'Hôpital und argumentiere über die notwendige Anzahl von Anwendungen.
Quellen
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-2-8-LHR.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-8-lhopitals-rule
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com