Lição 65 — Polinômio de Taylor

Schreiben Sie das Maclaurin-Polynom von $f(x) = e^x$ bis $x^4$.

Schreiben Sie das Maclaurin-Polynom von $f(x) = \sin x$ bis $x^7$.

Schreiben Sie das Maclaurin-Polynom von $f(x) = \cos x$ bis $x^6$.

Schreiben Sie das Maclaurin-Polynom von $f(x) = \ln(1+x)$ bis $x^4$.

Maclaurin von $f(x) = 1/(1-x)$ bis $x^5$ — das ist einfach die geometrische Reihe.

Maclaurin von $f(x) = (1+x)^{1/2}$ bis $x^3$. Berechne $f'$, $f''$, $f'''$ bei $x = 0$.

Maclaurin von $\arctan x$ bis $x^5$ (via Integration von $1/(1+x^2)$).

Maclaurin von $\sinh x$ und $\cosh x$ bis $x^5$.

Maclaurin von $e^{-x}$ bis $x^4$ (direkte Substitution in $e^x$).

Maclaurin von $\tan x$ bis $x^5$ unter Verwendung von $\sin/\cos$.

Maclaurin von $\cos(2x)$ bis $x^4$ via Substitution.

Maclaurin von $e^{x^2}$ bis $x^6$.

Maclaurin von $\cos(x^2)$ bis $x^8$.

Maclaurin von $\ln(1 - x^2)$ bis $x^6$.

Maclaurin von $1/(1+x^2)$ bis $x^6$ (geometrische Reihe mit $u = -x^2$).

Maclaurin von $e^x \sin x$ bis $x^4$.

Maclaurin von $\sin x \cos x$ bis $x^5$ (oder nutze $\sin(2x)/2$).

Maclaurin von $x e^{-x}$ bis $x^4$.

Taylor von $\ln x$ um $a = 1$, Ordnung 4.

Taylor von $\sqrt{x}$ um $a = 1$, Ordnung 3.

Taylor von $1/x$ um $a = 1$, Ordnung 3.

Taylor von $\cos x$ um $a = \pi/4$, Ordnung 4.

Berechnen Sie $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ unter Verwendung von Taylor.

Berechnen Sie $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ unter Verwendung von Taylor.

Berechnen Sie $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + x^2/2}{x^4}$.

Berechnen Sie $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$.

Schätzen Sie $\ln(1{,}1)$ mit Fehler kleiner als $10^{-4}$ unter Verwendung der Maclaurin-Reihe. Sagen Sie, welche Ordnung zu verwenden ist.

Approximieren Sie $\sin(0{,}1)$ mit Fehler kleiner als $10^{-6}$. Sagen Sie die verwendete Ordnung.

Approximieren Sie $\sqrt{1{,}1}$ unter Verwendung von Taylor von $\sqrt{1+x}$ um $a = 0$ bis Ordnung 2.

Relativistische Energie: $E = mc^2/\sqrt{1 - v^2/c^2}$. Expandiere in Potenzen von $v/c$ und identifiziere die Terme $E_0 = mc^2$ und $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

Was macht $P_n$ zur „besten polynomialen Approximation vom Grad $n$" bei $a$?

Zeigen Sie, dass wenn $f$ Polynom vom Grad $\leq n$ ist, dann $P_n = f$ exakt (keine bloße Approximation).

Begründen Sie, dass $e^x$ Konvergenzradius unendlich hat unter Verwendung der Lagrange-Fehlerabschätzung.

In der Finanzwirtschaft: $(1 + r/n)^n \to e^r$ wenn $n \to \infty$ (stetige Zinseszinsung). Nutze Taylor von $e^r$ um den jährlichen Wachstumsfaktor mit $r = 12\%$ zu schätzen und vergleiche mit einfachen Zinsen.

Leiten Sie die Euler-Formel $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ her, indem Sie gerade und ungerade Terme in der Reihe von $e^z$ trennen.

Zeigen Sie, dass $f(x) = e^{-1/x^2}$ (mit $f(0) = 0$) alle Ableitungen null bei $0$ hat — also $P_n = 0$ für alle $n$, aber $f \neq P_n$.

Demonstrieren Sie, dass die Maclaurin-Reihe von $e^x$ gegen $e^x$ für alle $x \in \mathbb{R}$ konvergiert (verwenden Sie die Lagrange-Fehlerabschätzung).

Demonstrieren Sie multivariates Taylor der Ordnung 2 (mit Hesse-Matrix), indem Sie auf 1D-Taylor entlang einer parametrischen Geraden reduzieren.

Demonstrieren Sie die Lagrange-Form des Restglieds unter Verwendung des verallgemeinerten Mittelwertsatzes.

Integrieren Sie die Reihe $1/(1+t^2) = \sum (-1)^k t^{2k}$, um $\arctan x$ als Reihe zu erhalten. Nutzen Sie das, um die Leibniz-Formel herzuleiten: $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots$