Lektion 66 — Konkavität und Wendepunkte

Bestimmen Sie die Konkavität von $f(x) = x^2$ auf ganz $\mathbb{R}$. Gibt es einen Wendepunkt?

Bestimmen Sie Konkavität und Wendepunkte von $f(x) = x^3$.

Konkavität von $f(x) = x^4$. Gibt es einen Wendepunkt bei $x = 0$? Rechtfertigen Sie mit dem Vorzeichen von $f''$.

Konkavität von $f(x) = e^x$ auf ganz $\mathbb{R}$. Gibt es einen Wendepunkt?

Konkavität von $f(x) = \ln x$ auf $(0, \infty)$.

Konkavität von $f(x) = \sin x$ auf $[0, 2\pi]$. Identifizieren Sie die Wendepunkte.

Konkavität von $f(x) = \cos x$ auf $[0, 2\pi]$. Wendepunkte.

Konkavität von $f(x) = 1/x$ auf den Intervallen $(0,\infty)$ und $(-\infty,0)$.

Konkavität von $f(x) = e^{-x^2/2}$ (Gaußsche). Identifizieren Sie die Wendepunkte.

Konkavität und Wendepunkt von $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Verwenden Sie den Test von $f''$: klassifizieren Sie die Extrema von $f(x) = x^3 - 12x$.

Extrema von $f(x) = x^4 - 4x^2$ via Test von $f''$.

Extrema von $f(x) = x e^{-x}$ via $f''$.

Extrema von $f(x) = x^2 \ln x$ auf $(0, \infty)$ via $f''$.

Extrema von $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)$ auf $[0, 2\pi]$.

Zeigen Sie, dass $f(x) = x^4$ ein Minimum bei $x = 0$ hat, obwohl $f''(0) = 0$ (Test nicht aussagekräftig).

Zeigen Sie, dass $f(x) = x^5$ kein Extremum bei $x = 0$ hat, obwohl $f'(0) = 0$.

Für $f(x) = x^2 + 1/x$ auf $x > 0$: finden Sie das Minimum und rechtfertigen Sie mit $f''$.

Extrema von $f(x) = \ln x / x$ auf $(0, \infty)$ via $f''$.

Extrema von $f(x) = x^{1/x}$ auf $(0, \infty)$ (nehmen Sie $\ln f$ vor der Ableitung).

Kosten $C(q) = q^3 - 6q^2 + 9q + 100$. Finden Sie den Wendepunkt und interpretieren Sie als Wechsel des Grenzertrags.

Gewinn $\pi(q) = -q^3 + 30q^2 - 100q$. Maximieren über $\pi'$ und bestätigen mit $\pi''$.

Logistische Kurve $P(t) = K/(1 + e^{-rt})$. Zeigen Sie, dass es einen Wendepunkt bei $P = K/2$ gibt (Hälfte der Tragfähigkeit).

Potentialenergie $U(x) = -\cos x$ (Pendel). Finden Sie stabile und instabile Gleichgewichte unter Verwendung von $U''$.

Harmonische Feder: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$. Zeigen Sie, dass $x = 0$ stabiles Gleichgewicht ist mit $U''$.

Bernoulli-Entropie $H(p) = -p\ln p - (1-p)\ln(1-p)$. Zeigen Sie $H'' < 0$ und dass das Maximum bei $p = 1/2$ ist.

Lernkurve $L(t) = 1 - e^{-kt}$. Bestimmen Sie die Konkavität. Was sagt sie über die Lerngeschwindigkeit aus?

In einer Epidemie tritt die Spitze neuer Fälle am Wendepunkt der Kurve der kumulierten Fälle $f(t)$ auf. Rechtfertigen Sie geometrisch und über $f''$.

Nutzen $U(W) = \ln W$ ist konkav. Erklären Sie, wie Jensens Ungleichung Risikoaversion für diesen Investor impliziert.

Warum hat die Verlustfunktion der linearen Regression ein eindeutiges globales Minimum? Verwenden Sie Konvexität zur Rechtfertigung.

Welche ist die korrekte Bedingung, damit $x_0$ ein Wendepunkt von $f$ ist?

Beweisen Sie, dass die Summe zweier konvexer Funktionen konvex ist, indem Sie die Definition über $f''$ verwenden.

Zeigen Sie, dass $f$ konvex auf $I$ impliziert Mittelpunkt-Ungleichung: $f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$.

Warum ist $f''(x_0) = 0$ nicht ausreichend, um Wendepunkt zu garantieren? Geben Sie ein konkretes Gegenbeispiel.

Zeigen Sie, dass $\ln$ konkav auf $(0,\infty)$ ist und verwenden Sie dies, um AM-GM-Ungleichung zu beweisen: $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$ für $x, y > 0$.

Huber-Funktion $L(x) = x^2/2$ wenn $|x| \leq 1$; $|x| - 1/2$ andernfalls. Ist sie konvex? Wo ist $L''$ unstetig?

Beweisen Sie den Test der zweiten Ableitung über Taylor-Polynom Ordnung 2.

Beweisen Sie Jensens Ungleichung für zwei Punkte: $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ — direkt aus der Definition von Konvexität.

Beweisen Sie, dass jede konvexe Funktion auf offenen Intervall im Inneren stetig ist.

Beweisen Sie, dass $f$ konvex ist, wenn und nur wenn der Graph immer oberhalb einer beliebigen Tangente liegt: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y-x)$ für alle $x, y$.