Lição 67 — Análise marginal em economia

$C(q) = 100 + 5q + 0{,}1q^2$. Berechne $MC(q)$.

$C(q) = 200 + 3q + q^2/100$. Berechne Durchschnittskosten und Grenzkosten bei $q = 50$.

$R(q) = 100q - 2q^2$. Berechne den Grenzerlös $MR(q)$.

Nachfrage $p = 50 - q/2$. Schreibe $R(q) = pq$ und berechne $MR(q)$.

$C(q) = q^2 + 9$. Finde das Minimum von $\bar{C}$ und bestätige, dass es mit $MC = \bar{C}$ übereinstimmt.

$C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 100$. Durchschnittskosten und Grenzkosten bei $q = 10$.

Zeige, dass $\bar{C}$ ein Minimum dort hat, wo $MC = \bar{C}$ für $C(q) = q^2 + 16$.

$C(q) = 50 + 10q$. Warum hat $\bar{C}$ kein inneres Minimum? Wirtschaftlich interpretieren.

Unternehmen produziert mit $C(q) = q^2$ und verkauft zu $p = 100$ (Wettbewerb). Optimale Menge.

$R(q) = 200q - q^2$, $C(q) = 50 + 80q$. Menge des maximalen Gewinns.

$C(q) = 100 + 5q + 0{,}1q^2$, fester Preis $p = 50$. Optimale Menge und Gewinn.

Monopolist mit Nachfrage $p = 100/q$ (Einheitselastizität überall). Gibt es ein $q^*$ des maximalen Gewinns? Warum?

$p = 100 - q$, $C(q) = q^2/2 + 10q$. Maximaler Monopolgewinn.

$p = 60 - 2q$, $C(q) = 200 + 4q + q^2$. Finde $q^*$, $p^*$ und $\pi^*$.

Vollständiger Wettbewerb: $p = 50$ fest, $C(q) = q^2$. Optimale Menge und Gewinn.

EOQ: $T(q) = Dhq/2 + SD/q$ (Gesamtbestandskosten). Leite ab und finde $q^* = \sqrt{2SD/h}$.

Steuer $t$ pro Einheit ändert $C \to C + tq$. Wie ändert sich $q^*$? Zeige, dass $q^*$ sinkt.

Subvention $s$ pro Einheit verkauft. Zeige, dass $q^*$ gegenüber dem Fall ohne Subvention steigt.

$C(q) = q^3 - 6q^2 + 12q + 50$. Zeige, dass es ein $q$ gibt, bei dem MC minimal ist (Wendepunkt von $C$).

$C(q) = q^2 + F$. Finde die Menge, die $\bar{C}$ minimiert, und zeige, dass sie mit $\sqrt{F}$ wächst.

Leite die Monopol-Markup-Regel her: ausgehend von $MR = MC$ und $MR = p(1 + 1/\varepsilon)$, erhalte $p^* = MC\cdot\varepsilon/(\varepsilon + 1)$.

Leite formal her, dass der Gewinn dort maximal ist, wo $MR = MC$, und dass die Bedingung zweiter Ordnung $MR' < MC'$ erfordert.

Nachfrage $q = 100 - 2p$. Berechne die Elastizität bei $p = 25$.

$q = 50/p$. Berechne die Elastizität bei beliebigem $p$. Ist das Ergebnis konstant?

$q = 100 e^{-p}$. Elastizität bei $p = 1$.

Cobb-Douglas-Nachfrage $q = Ap^\alpha$. Berechne die Elastizität und zeige, dass sie konstant ist.

Bei welchem Preis ist der Gesamterlös maximal? Zeige, dass dies der Fall ist, wenn $\varepsilon = -1$.

Zigaretten: $\varepsilon = -0{,}5$. Eine Steuer erhöht den Preis um 20 %. Wie viel sinkt der Konsum?

Benzin: $\varepsilon = -0{,}3$ (Kurzfrist). Warum hat eine Subventionspolitik hohe Fiskalkosten für niedrige Mengengewinne?

Lineare Nachfrage $q = a - bp$. Zeige, dass $|\varepsilon|$ mit $p$ wächst.

Leite $dR/dp = q(1 + \varepsilon)$ ab und nutze es, um zu erklären, wann eine Preiserhöhung den Erlös erhöht oder senkt.

Mit Kosteniflation (VPI steigt um 5,8 %) sollte ein Unternehmen mit Nachfrageelastizität $|\varepsilon| = 1{,}2$ wie viel an den Preis weitergeben? Nutze die Markup-Regel.

Warum produziert der Monopolist weniger als bei vollständiger Konkurrenz?

Zeige, dass $MR = p(1 + 1/\varepsilon)$ ausgehend von $R = pq$ und der Kettenregel.

Markup-Prozentsatz: Lerner-Index $L = (p-MC)/p = -1/\varepsilon$. Überprüfe ausgehend von $MR = MC$.

Beweise, dass $\bar{C}$ sein Minimum dort hat, wo $MC = \bar{C}$, indem du $\bar{C}(q) = C(q)/q$ differenzierst.

Steuerinzidenz: mit einer Steuer $t$ pro Einheit ist der von Käufern gezahlte Anteil $\varepsilon_S / (\varepsilon_S - \varepsilon_D)$. Beweise.

Beweise die Markup-Regel $p^* = MC\varepsilon/(\varepsilon+1)$ ausgehend von $MR = MC$.

Zeige, dass beim Preisdiskriminierung ersten Grades (perfekte Preisdiskriminierung) der Monopolist die gesamte Konsumentenrente extrahiert und die effiziente Menge produziert ($p = MC$).

Erkläre, wie das Black-Scholes-Delta $\Delta = \partial V/\partial S$ einer Grenzgröße ähnelt, und wie das Argument des replizierenden Portfolios die Black-Scholes-Gleichung über Grenzanalyse ableitet.