v1 · padrão canônico

Lição 68 — Cinemática: posição, velocidade e aceleração

Derivadas sucessivas da posição dão velocidade, aceleração e jerk. MRU, MUV, MHS e resistência do ar com rigor de cálculo.

Used in: Math III — Japão (aplicações de derivadas: taxa de variação) · Leistungskurs Mathematik — Alemanha Klasse 12 (Differentialrechnung: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) · H2 Mathematics — Singapura (applications of differentiation: rates of change) · AP Calculus AB/BC — EUA (FUN-4: using derivatives to analyze motion)

v(t) = s'(t), \quad a(t) = v'(t) = s''(t), \quad j(t) = a'(t) = s'''(t)

Bücher, die diese Lektion behandeln

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.1–§1.5 · CC-BY-NC-SA · Die direkteste Darstellung von Geschwindigkeit als Ableitung mit grafischer Vorschau und geführten Aktivitäten. Primäre Quelle für die Positionsgeschwindigkeitsaufgaben dieser Lektion.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.4 Derivatives as Rates of Change · CC-BY-NC-SA · Umfassende Entwicklung von Geschwindigkeit, Beschleunigung und Grenzkosten mit physikalischen und wirtschaftlichen Beispielen nebeneinander. Behandelt MRU, MUV und freien Fall.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §2.4 Velocity and Position · CC-BY-NC · Formaler Ansatz mit Fundamentalsatz und Beziehung zwischen Position, Geschwindigkeit und Verschiebung über Integration; gut für den Übergang Kinematik → Integral.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Kinematik durch Differentialrechnung

Grundlegende Definitionen

Definition· Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ruck

Sei $s: I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ eine Positionsfunktion als Funktion der Zeit $t$ , mit $s$ differenzierbar.

$v(t) = \frac{ds}{dt} = s'(t), \qquad a(t) = \frac{dv}{dt} = s''(t), \qquad j(t) = \frac{da}{dt} = s'''(t).$

Geschwindigkeit (Betrag): $|v(t)|$ (skalar nicht-negativ; unterscheidet sich von Geschwindigkeit wenn $v < 0$ ).
Verschiebung in $[t_1, t_2]$ : $\Delta s = s(t_2) - s(t_1)$ (kann negativ sein).
Zurückgelegte Strecke: $\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\, dt$ (immer nicht-negativ).

"The instantaneous velocity of an object is the limit of the average velocities of the object over shorter and shorter time intervals." — Active Calculus §1.1

"The position function $s(t)$ gives the position of an object along a number line at time $t$ . The velocity function $v(t) = s'(t)$ gives the velocity of the object at time $t$ ." — OpenStax Calculus Vol.1 §3.4

Standardbewegungen

Bewegung	$s(t)$	$v(t)$	$a(t)$	Bemerkung
Ruhe	$s_0$	$0$	$0$	fester Punkt
Gleichförmig (MRU)	$s_0 + v_0 t$	$v_0$	$0$	Gerade im $s$ - $t$ -Diagramm
Gleichmäßig beschleunigt (MUV)	$s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}a_0 t^2$	$v_0 + a_0 t$	$a_0$	Parabel
Einfache harmonische (MHS)	$A\cos(\omega t + \phi)$	$-A\omega\sin(\omega t + \phi)$	$-A\omega^2\cos(\omega t + \phi)$	$a = -\omega^2 s$
Mit Luftwiderstand	analytisch via DGL	$v_\infty(1-e^{-kt/m})$	fällt auf 0	Grenzgeschwindigkeit

Torricellis Satz (Herleitung durch Kalkül)

Einfache harmonische Bewegung (MHS)

$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ erfüllt die DGL $\ddot x + \omega^2 x = 0$ .

Periode: $T = 2\pi/\omega$ .
Frequenz: $f = 1/T$ .
Für Feder: $\omega = \sqrt{k/m}$ ; für Pendel (kleine Schwingungen): $\omega = \sqrt{g/L}$ .

Abbildung: Diagramme von $s$ , $v$ , $a$ für MHS

Kinematik in $\mathbb{R}^n$

Für $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \in \mathbb{R}^3$ :

$\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t), \qquad \vec{a}(t) = \ddot{\vec{r}}(t), \qquad |\vec{v}| = \text{Geschwindigkeitsbetrag}.$

Jede Komponente wird unabhängig abgeleitet. Die Zentripetalbeschleunigung auf gekrümmter Bahn: $a_c = v^2/\rho$ (wobei $\rho$ der Krümmungsradius ist).

Gelöste Beispiele

Example· Kubische Position: Geschwindigkeit, Pausen und Strecke

Problem. Ein Objekt hat Position $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ Meter, $t \geq 0$ . (a) Finde $v(t)$ und $a(t)$ . (b) Wann steht das Objekt still? (c) Wie groß ist die in $[0, 4]$ zurückgelegte Strecke?

Strategie. $s$ ableiten um $v$ und $a$ zu bekommen. Nullstellen von $v$ geben die Stillstand-Momente. Für Strecke $|v|$ integrieren — mit Vorzeichenwechsel bei jedem Nullstelle.

Lösung.

(a) $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$ . $a(t) = 6t - 12$ .

(b) $v = 0 \Rightarrow t = 1$ oder $t = 3$ .

$d = |s(1)-s(0)| + |s(3)-s(1)| + |s(4)-s(3)|$

$= |4 - 0| + |0 - 4| + |4 - 0| = 4 + 4 + 4 = 12$ m.

Gesamtverschiebung: $s(4) - s(0) = 4$ m (viel kleiner als die Strecke!).

Überprüfung. $v(1) = 3(0)(-2) = 0$ ✓; $v(3) = 3(2)(0) = 0$ ✓; $a(1) = -6 < 0$ (bremst bei $t=1$ ) ✓.

Quelle. Active Calculus §1.1, Exercise 1.1.4 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example· Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit: Fallzeit und Aufprallgeschwindigkeit

Problem. Ein Stein wird von einem Turm mit $h = 80$ m mit Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 10$ m/s nach unten geworfen. Mit $g = 10$ m/s² und Ursprung im Boden (positiv nach oben), finde: (a) $s(t)$ , (b) der Aufprallmoment $t^*$ , (c) die Geschwindigkeit beim Aufprall.

Strategie. $s(t)$ mit Anfangsbedingung $s(0) = 80$ , $v(0) = -10$ (negativ = nach unten) aufstellen. Löse $s(t^*) = 0$ .

Lösung.

$s(t) = 80 - 10t - 5t^2$ .

$s(t^*) = 0 \Rightarrow 5t^2 + 10t - 80 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 16 = 0$ .

$t^* = \dfrac{-2 + \sqrt{4 + 64}}{2} = \dfrac{-2 + \sqrt{68}}{2} \approx \dfrac{-2 + 8{,}25}{2} \approx 3{,}12$ s.

$v(t^*) = -10 - 10(3{,}12) \approx -41{,}2$ m/s. Geschwindigkeit: $\approx 41{,}2$ m/s $\approx 148$ km/h.

Überprüfung. $s(3{,}12) = 80 - 31{,}2 - 48{,}7 \approx 0{,}1 \approx 0$ ✓. Torricelli: $v^2 = 100 + 2(10)(80) = 1700 \Rightarrow v \approx 41{,}2$ m/s ✓.

Quelle. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.4, Example 3.33 — CC-BY-NC-SA.

Example· Einfache harmonische Bewegung: Amplitude, Periode und Energie

Problem. Eine Masse von $m = 2$ kg ist an einer Feder mit $k = 50$ N/m befestigt, um $A = 0{,}2$ m verschoben und losgelassen. (a) Schreibe $x(t)$ . (b) Maximale Geschwindigkeit. (c) Zeige, dass die mechanische Energie $E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$ konstant ist.

Strategie. $\omega = \sqrt{k/m}$ . Mit $x(0) = A$ und $v(0) = 0$ : Phase $\phi = 0$ . Energie: Setze $x$ und $v$ ein und vereinfache mit trigonometrischer Identität.

Lösung.

$\omega = \sqrt{50/2} = 5$ rad/s. $T = 2\pi/5 \approx 1{,}26$ s.

$x(t) = 0{,}2\cos(5t)$ .

$v(t) = -0{,}2 \cdot 5 \sin(5t) = -\sin(5t)$ m/s.

Maximale Geschwindigkeit: $|v|_{\max} = A\omega = 0{,}2 \cdot 5 = 1$ m/s (im Gleichgewichtspunkt).

Energie: $E = \tfrac{1}{2}(2)(-\sin 5t)^2 + \tfrac{1}{2}(50)(0{,}2\cos 5t)^2 = \sin^2(5t) + \cos^2(5t) = 1 \text{ J (konstant). ✓}$

Überprüfung. Bei $t = 0$ : $x = 0{,}2$ , $v = 0$ , $E = 0 + \frac{1}{2}(50)(0{,}04) = 1$ J ✓.

Quelle. Active Calculus §1.5, Exercise 1.5.3 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example· Luftwiderstand: Grenzgeschwindigkeit und analytische Lösung

Problem. Ein Partikel von $m = 1$ kg fällt aus der Ruhe unter Gravitation $g = 10$ m/s² mit linearem Widerstand $F_{\text{arr}} = bv$ , $b = 0{,}5$ kg/s. (a) Schreibe und löse die DGL von $v(t)$ . (b) Grenzgeschwindigkeit. (c) Wie lange (in Sekunden) braucht $v$ um 90% von $v_\infty$ zu erreichen?

Strategie. DGL 1. Ordnung separierbar: $m\dot{v} = mg - bv$ . Variablen separierbar.

Lösung.

$\dot{v} = 10 - 0{,}5v$ . Lösung: $v(t) = v_\infty(1 - e^{-bt/m})$ mit $v_\infty = mg/b = 10/0{,}5 = 20$ m/s.

$v(t) = 20(1 - e^{-0{,}5t})$ .

90% von $v_\infty$ : $20(1 - e^{-0{,}5 t_{90}}) = 18 \Rightarrow e^{-0{,}5 t_{90}} = 0{,}1 \Rightarrow t_{90} = 2\ln(10)/0{,}5 \approx 4{,}6$ s.

Überprüfung. $v(0) = 0$ ✓. $\lim_{t\to\infty} v(t) = 20$ m/s ✓. $v'(0) = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ m/s² = $g$ ✓.

Quelle. APEX Calculus §2.4, Example 2.4.4 — Hartman et al. · CC-BY-NC.

Example· Kreisbewegung: Zentripetalbeschleunigung via Ableitungen

Problem. Ein Punkt bewegt sich auf einem Kreis mit Radius $R = 3$ m mit konstanter Winkelfrequenz $\omega = 2$ rad/s. Die Position ist $\vec{r}(t) = 3(\cos 2t, \sin 2t)$ . Berechne: (a) $\vec{v}(t)$ und $|\vec{v}|$ , (b) $\vec{a}(t)$ und zeige, dass $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ .

Strategie. Jede Komponente unabhängig ableiten. Richtung von $\vec{a}$ identifizieren.

Lösung.

$\vec{v}(t) = 3(-2\sin 2t, 2\cos 2t) = (-6\sin 2t, 6\cos 2t)$ .

$|\vec{v}| = 6$ m/s (konstant) = $R\omega = 3 \cdot 2$ ✓.

$\vec{a}(t) = (-12\cos 2t, -12\sin 2t) = -4(3\cos 2t, 3\sin 2t) = -4\vec{r}$ .

Da $\omega^2 = 4$ : $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ . Betrag: $|\vec{a}| = 12 = R\omega^2 = 3 \cdot 4$ ✓.

Überprüfung. $\vec{v} \cdot \vec{r} = 3 \cdot(-6\sin 2t\cos 2t + 6\cos 2t\sin 2t) = 0$ — Geschwindigkeit steht senkrecht auf Position in gleichförmiger Kreisbewegung ✓.

Quelle. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.4, Example 3.35 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 12Understanding 3Modeling 21Challenge 2Proof 2

Ex. 68.1Application
$s(t) = 2t^2 - 6t$ . Berechne $v(t)$ und $a(t)$ .
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Ex. 68.2Application
$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ . Wann ist $v = 0$ ? Bei jedem Moment beschleunigt oder bremst das Objekt?
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Ex. 68.3ApplicationAnswer key
$s(t) = 100 - 5t^2$ (freier Fall, $g = 10$ m/s²). Wann trifft es den Boden? Geschwindigkeit in diesem Moment.
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Ex. 68.4ApplicationAnswer key
$s(t) = 5t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^3$ . Geschwindigkeit und Beschleunigung bei $t = 2$ .
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Ex. 68.5ApplicationAnswer key
$s(t) = e^{-t}\sin t$ . Berechne $v(t)$ und $a(t)$ . Was offenbart die abnehmende Amplitude?
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Ex. 68.6ApplicationAnswer key
$s(t) = 10\sin(2t)$ . Identifiziere $A$ , $\omega$ und die Periode $T$ . Schreibe $v(t)$ .
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Ex. 68.7Application
$s(t) = t^4 - 4t^3 + 6t^2$ . Maximale Geschwindigkeit in $[0, 3]$ .
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Ex. 68.8Application
$s(t) = \ln(1 + t^2)$ . Berechne $v(t)$ und werte bei $t = 1$ aus.
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Ex. 68.9Application
$s(t) = t^2 - 4t$ . Zurückgelegte Strecke zwischen $t = 0$ und $t = 4$ (Achtung: $v$ wechselt Vorzeichen).
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Ex. 68.10ApplicationAnswer key
$s(t) = A\cos(\omega t)$ . Berechne das Ruckbeschleunigung $j(t) = s'''(t)$ .
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Ex. 68.11Application
$s(t) = 2t^3 - 6t + 1$ . Wann ist die Geschwindigkeit null? Gibt es Umkehrungen?
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Ex. 68.12Application
$s(t) = \sin(t^2)$ . Berechne $v(t)$ (Kettenregel) und werte bei $t = \sqrt{\pi}$ aus.
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Ex. 68.13Modeling
Ball nach oben geworfen mit $v_0 = 20$ m/s vom Boden. Maximale Höhe ( $g = 10$ m/s²).
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Ex. 68.14Modeling
Auto bei $v_0 = 30$ m/s bremst gleichmäßig mit $a = -5$ m/s². Bremsweg (Torricelli).
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Ex. 68.15Modeling
Flugzeug startet aus der Ruhe und hebt ab bei $v_f = 80$ m/s nach Startbahn von $1000$ m. Durchschnittliche Beschleunigung und Startzeit.
Solve online
Ex. 68.16ModelingAnswer key
Stein fällt von $h = 80$ m. Fallzeit und Geschwindigkeit beim Aufprall ( $g = 10$ m/s²).
Solve online
Ex. 68.17Modeling
Auto beschleunigt $0 \to 100$ km/h in $10{,}5$ s. Durchschnittliche Beschleunigung und Startweg.
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Ex. 68.18Modeling
Schräger Wurf: $v_0 = 50$ m/s bei $30°$ zur Horizontal. Horizontale Reichweite ( $g = 10$ m/s²).
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Ex. 68.19Modeling
Rakete: $a(t) = 30 - 0{,}5t$ m/s² bis $t = 60$ s (Motor aus). Geschwindigkeit und Position beim Abschalten.
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Ex. 68.20Modeling
Zug bremst gleichmäßig, legt $200$ m in $20$ s zurück und hält. Was war $v_0$ ?
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Ex. 68.21ModelingAnswer key
Ball von Turm mit 50 m Höhe mit $v_0 = 20$ m/s nach oben geworfen. Zeit bis zum Aufprall.
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Ex. 68.22Modeling
Objekt von $m = 1$ kg fällt mit Widerstand $b = 0{,}2$ kg/s. Grenzgeschwindigkeit ( $g = 10$ m/s²).
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Ex. 68.23ModelingAnswer key
Masse-Feder: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m. Winkelfrequenz $\omega$ , Periode $T$ und Frequenz $f$ .
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Ex. 68.24ModelingAnswer key
$x(t) = 0{,}1\cos(2\pi t)$ . Amplitude, Periode, $v(t)$ und maximale Geschwindigkeit.
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Ex. 68.25Modeling
Pendel mit Länge $L = 1$ m. Winkelfrequenz $\omega = \sqrt{g/L}$ und Periode ( $g = 10$ m/s²).
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Ex. 68.26Modeling
Verifiziere, dass $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ die DGL $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$ erfüllt.
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Ex. 68.27Modeling
MHS: $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$ . Zeige, dass $E$ konstant ist durch Ableiten nach der Zeit.
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Ex. 68.28Modeling
$x(t) = e^{-t}\cos(5t)$ (gedämpfter Oszillator). Scheinbare Frequenz und Amplitudenverhalten.
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Ex. 68.29Modeling
Phasenversatz zwischen $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ und $v(t)$ . Bestätige $90°$ .
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Ex. 68.30Modeling
Zeige, dass $a(t)$ und $x(t)$ in MHS um $180°$ verschoben sind — d.h. $a = -\omega^2 x$ .
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Ex. 68.31Understanding
Ball nach oben geworfen. Am höchsten Punkt ist die Beschleunigung:
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Ex. 68.32Understanding
Erkläre, warum Durchschnittsgeschwindigkeit ( $\Delta s/\Delta t$ ) $\neq$ Durchschnitt der Geschwindigkeiten im Allgemeinen. Gib ein numerisches Beispiel.
Solve online
Ex. 68.33Understanding
Erkläre den Unterschied zwischen Geschwindigkeit (1D-Vektorgröße mit Vorzeichen) und Geschwindigkeit (Skalar). Warum ist $v < 0$ möglich?
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Ex. 68.34Modeling
Kreisbewegung: $\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$ . Zeige, dass $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ und $|\vec{a}| = R\omega^2$ .
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Ex. 68.35Modeling
Geschoss mit $v_0$ und Winkel $\theta$ geworfen. Leite die Reichweitenformel $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$ her und den optimalen Winkel.
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Ex. 68.36Modeling
Auto: 60 km/h für 1 h, dann 120 km/h für 1 h. Durchschnittsgeschwindigkeit nach Zeit? Und nach gleicher zurückgelegter Strecke?
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Ex. 68.37Challenge
Fall mit quadratischem Widerstand: $m\dot{v} = -mg - bv^2$ . Grenzgeschwindigkeit und analytische Lösung von $v(t)$ (via Variablentrennung).
Solve online
Ex. 68.38Challenge
Helix: $\vec{r}(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$ . Berechne $\vec{v}$ , $|\vec{v}|$ und $\vec{a}$ .
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Ex. 68.39Proof
Beweise Torricellis Gleichung $v_f^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$ aus den MUV-Gleichungen durch Elimination der Zeit $t$ .
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Ex. 68.40ProofAnswer key
Zeige, dass in MHS der zeitliche Mittelwert der kinetischen und potentiellen Energie jeweils gleich $E/2$ ist — unter Verwendung von $\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$ .
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Quellen

Active Calculus — Matt Boelkins et al. · 2024 · §1.1–§1.5 Wie man Geschwindigkeit misst und Ableitungen interpretiert · CC-BY-NC-SA. Primäre Quelle.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.4 Derivatives as Rates of Change · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · 2023 · §2.4 Velocity and Position · CC-BY-NC.
Nobelpreis für Physik 1921 (Einstein) — Relativität und Formulierung der Raumzeit als Grundlage der modernen Kinematik.