Lição 69 — Methode von Newton-Raphson

$f(x) = x^2 - 2$, $x_0 = 1$. Wenden Sie 3 Iterationen von Newton-Raphson an. Vergleichen Sie mit $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$

$f(x) = x^2 - 5$, $x_0 = 2$. Wenden Sie 3 Iterationen an, um $\sqrt{5}$ zu schätzen.

$f(x) = x^3 - 2$, $x_0 = 1$. Wenden Sie 3 Iterationen an, um $\sqrt[3]{2}$ zu schätzen.

$f(x) = \cos x - x$, $x_0 = 1$. Wenden Sie 3 Iterationen an, um den Fixpunkt von $\cos$ zu schätzen.

$f(x) = e^x - 2$, $x_0 = 1$. Wenden Sie 3 Iterationen an, um $\ln 2$ zu schätzen.

$f(x) = x \ln x - 1$, $x_0 = 2$. Approximieren Sie die Nullstelle auf 4 Dezimalstellen.

$f(x) = \sin x$, $x_0 = 3$. Zeigen Sie numerisch, dass die Iterationen gegen $\pi$ konvergieren.

$f(x) = x^3 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Approximieren Sie die reale Nullstelle (plastische Konstante $\approx 1{,}3247$).

$f(x) = x^2 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Approximieren Sie den Goldenen Schnitt $\phi = (1 + \sqrt{5})/2$.

$f(x) = \tan x - x$, $x_0 = 4{,}5$. Approximieren Sie die kleinste positive Nullstelle größer als $\pi$.

Zeigen Sie, dass die Heronsche Formel $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ zur Berechnung von $\sqrt{a}$ genau Newton-Raphson angewendet auf $f(x) = x^2 - a$ ist.

Verallgemeinern Sie: Was ist die Newton-Iteration zur Berechnung von $\sqrt[n]{a}$? Wenden Sie für $n = 3$, $a = 8$, $x_0 = 2$ an (2 Schritte).

Zeigen Sie, dass $x_{n+1} = x_n(2 - ax_n)$ das Inverse $1/a$ via Newton ohne eine einzige Divisionsoperation berechnet. Wenden Sie für $a = 7$, $x_0 = 0{,}1$ an (3 Schritte).

Minimieren Sie $g(x) = x^4 - 4x + 1$ durch Anwendung von Newton-Raphson auf $g'(x) = 0$, mit $x_0 = 1{,}5$.

Cashflows: $-1000$, $300$, $400$, $500$ (Jahre 0, 1, 2, 3). Der IRR $r$ ist Nullstelle von $f(r) = -1000 + 300/(1+r) + 400/(1+r)^2 + 500/(1+r)^3 = 0$. Verwenden Sie Newton mit $r_0 = 0{,}15$.

In Black-Scholes, gegeben Marktpreis $V_{\text{mkt}}$ einer Option, erklären Sie, wie Sie Newton-Raphson verwenden, um die implizite Volatilität $\sigma$ zu finden. Welche Rolle spielt das Vega in der Iteration?

In der van-der-Waals-Gleichung $(P + a/V^2)(V - b) = RT$, gegeben $P$, $T$ (und Gaskonstanten), verwenden Sie Newton, um das Molvolumen $V$ zu finden. Skizzieren Sie die Iteration.

Kepler-Gleichung: $E - e \sin E = M$. Für $e = 0{,}3$ (Exzentrizität) und $M = 1$ rad (mittlere Anomalie), verwenden Sie Newton mit $E_0 = 1$, um die exzentrische Anomalie $E$ zu finden (4 Iterationen).

Welches Verhalten kann Newton-Raphson zeigen, wenn die Anfangsschätzung $x_0$ weit entfernt von der Nullstelle liegt?

Welches ist das robusteste Abbruchkriterium für Newton-Raphson?

Zeigen Sie, dass Newton-Raphson mit $f(x) = x^3 - 2x + 2$ und $x_0 = 0$ sich indefinit zwischen $0$ und $1$ zyklisch wiederholt.

$f(x) = x^2$ (doppelte Nullstelle in $x = 0$), $x_0 = 1$. Zeigen Sie, dass Newton-Raphson nur linear konvergiert, mit Ratio $1/2$.

$f(x) = x^{1/3}$ hat Nullstelle in $x = 0$ aber $f'(0)$ existiert nicht. Was passiert mit Newton-Raphson? Berechnen Sie 4 Iterationen von $x_0 = 1$.

Wenden Sie das Sekantenverfahren ($x_0 = 1$, $x_1 = 2$) auf $f(x) = x^2 - 2$ für 4 Iterationen an. Vergleichen Sie mit Newton (Übung 69.1).

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ hat 3 reale Nullstellen. Wenden Sie Newton mit $x_0 = 2$, dann mit $x_0 = -2$, dann mit $x_0 = 0{,}5$ an. Welche Nullstelle erreicht jede Schätzung?

Modifiziertes Newton für doppelte Nullstelle: $x_{n+1} = x_n - 2f(x_n)/f'(x_n)$. Wenden Sie auf $f(x) = (x-1)^2$ an, beginnend mit $x_0 = 3$. Vergleichen Sie mit der Standarditeration.

Newton für Optimierung: Zeigen Sie, dass Newton auf $g'(x) = 0$ anwenden, um $g$ zu minimieren, equivalent zum Standard-Newton mit $f = g'$ ist. Wenden Sie an, um $g(x) = e^x - 3x$ mit $x_0 = 0$ zu minimieren.

Für $f(z) = z^3 - 1$ in der komplexen Ebene, beschreiben Sie qualitativ die 3 Newton-Becken. Auf der realen Achse, welche Nullstelle erreichen $x_0 = 2$ und $x_0 = -0{,}5$?

Beweisen Sie die quadratische Konvergenz von Newton-Raphson via Taylor-Entwicklung 2. Ordnung. Identifizieren Sie die Konstante $C = |f''(r)|/(2|f'(r)|)$.

Beweisen Sie: Wenn $f$ konvex wachsend mit einfacher Nullstelle $r$ und $x_0 > r$ mit $f(x_0) > 0$ ist, konvergiert Newton-Raphson zu $r$.

Verallgemeinern Sie Newton-Raphson für $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. Schreiben Sie das bei jedem Schritt zu lösende lineare System und identifizieren Sie die Rolle der Jacobi-Matrix $J$.

Zeigen Sie, dass die Heronsche Iteration $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ quadratisch gegen $\sqrt{a}$ konvergiert für beliebige $x_0 > 0$.