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Lição 70 — Consolidação Trim 7: máximos, L'Hôpital, Taylor, Newton

Workshop integrado de Cálculo Diferencial aplicado: otimização, esboço de gráficos, L'Hôpital, Taylor, concavidade, análise marginal, cinemática e Newton-Raphson. Todas as técnicas derivam da linearização local.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês cap. 6–7 · Equiv. Leistungskurs Differentialrechnung alemão

f(x) \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Einheitliche Theorie: Linearisierung und ihre Anwendungen

Das Kernkonzept: Taylor-Approximation

"The Taylor polynomial of degree $n$ centered at $x=a$ is the unique polynomial of degree $n$ that agrees with $f$ in value and in all its first $n$ derivatives at $x=a$ ." — Active Calculus §8.4

Optimierung: kritische Punkte und Test der zweiten Ableitung

"Finding the maximum and minimum values of a function also has practical significance because we can use this method to solve optimization problems, such as increasing profit, minimizing cost, and maximizing area." — OpenStax Calculus Vol. 1 §4.3

Konkavität und Wendepunkte

L'Hôpital: Verhältnis von Linearisierungen

"L'Hôpital's Rule applies whenever both $f(x) \to 0$ and $g(x) \to 0$ as $x \to a$ , or whenever $f(x) \to \pm\infty$ and $g(x) \to \pm\infty$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §4.8

Idee via Taylor 1. Ordnung. Für $a = 0$ : $f(x) \approx f'(0) x$ und $g(x) \approx g'(0) x$ , also $f(x)/g(x) \approx f'(0)/g'(0)$ . L'Hôpital formalisiert exakt diese Idee des Verhältnisses von Linearisierungen.

Newton-Raphson: Tangenten-Iteration

Newton-Raphson: Die Tangente zur Kurve im Punkt x₀ kreuzt die x-Achse in x₁, konvergiert zur echten Wurzel.

Vereinigte Pipeline der Funktionsanalyse

Gelöste Beispiele

Example— 1· Optimierung einer Kiste ohne Deckel (Anwendung)

Problem: Aus einem Kartonblatt von $24 \times 24$ cm werden Quadrate der Seitenlänge $x$ an vier Ecken ausgeschnitten und die Laschen hochgeklappt um eine Kiste ohne Deckel zu bilden. Bestimmen Sie $x$ , das das Volumen maximiert.

Strategie: Das Volumen als Funktion von $x$ ausdrücken, kritischen Punkt via $V'(x) = 0$ finden, Maximum durch Test der zweiten Ableitung bestätigen, und verifizieren dass $x$ im physikalischen Bereich $0 < x < 12$ liegt.

Lösung:

Volumen: $V(x) = x(24 - 2x)^2$ , Bereich: $x \in (0, 12)$ .
Expandieren: $V(x) = x(576 - 96x + 4x^2) = 4x^3 - 96x^2 + 576x$ .
Ableiten: $V'(x) = 12x^2 - 192x + 576 = 12(x^2 - 16x + 48) = 12(x-4)(x-12)$ .
Kritische Punkte in $(0,12)$ : $x = 4$ (das $x = 12$ liegt an der Grenze, gibt Volumen null).
Test: $V''(x) = 24x - 192$ ; $V''(4) = 96 - 192 = -96 < 0 \Rightarrow$ lokales Maximum.
Maximales Volumen: $V(4) = 4(24 - 8)^2 = 4 \cdot 256 = 1024\ \text{cm}^3$ .

Verifizierung: $V(0) = 0$ , $V(12) = 0$ , $V(4) = 1024 > 0$ . Das Maximum liegt im Inneren des Bereiches. Überprüfung: $V(4) = 4 \cdot 16^2 = 4 \cdot 256 = 1024$ .

Quelle. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.7, ex. 4.41 — Lizenz CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Unbestimmter Grenzwert via L'Hôpital (Anwendung)

Problem: Berechne $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ .

Strategie: Die Form ist $0/0$ in $x = 0$ . L'Hôpital einmal anwenden und überprüfen, ob die neue Form noch $0/0$ ist; wenn ja, nochmal anwenden. Alternativ Maclaurin von $e^x$ verwenden um das Ergebnis schneller zu leiten.

Lösung:

Form überprüfen: $e^0 - 1 - 0 = 0$ und $0^2 = 0$ — Unbestimmtheit $0/0$ .
1. Anwendung von L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$ Noch $0/0$ (Zähler $\to 0$ , Nenner $\to 0$ ).
2. Anwendung: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}.$
Verifizierung via Taylor: $e^x = 1 + x + x^2/2 + O(x^3)$ , also $e^x - 1 - x = x^2/2 + O(x^3)$ . Dann $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \to \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$ . Konsistent.

Verifizierung: Für $x = 0{,}1$ : Zähler $= e^{0,1} - 1{,}1 \approx 1{,}10517 - 1{,}1 = 0{,}00517$ ; Nenner $= 0{,}01$ ; Verhältnis $\approx 0{,}517 \approx 1/2$ .

Quelle. Active Calculus §2.6, Übung zu Unbestimmtheitsformen — Lizenz CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Maclaurin-Expansion und Grenzwert (Mittelstufe)

Problem: Verwende die Maclaurin-Reihe von $\sin x$ um $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + x^3/6}{x^5}$ zu berechnen.

Strategie: Expandiere $\sin x$ in Maclaurin bis Ordnung 5, setze in Zähler ein und vereinfache — Taylor-Technik ist eleganter als L'Hôpital fünfmal anwenden.

Lösung:

Maclaurin von $\sin x$ : $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots$
Zähler: $\sin x - x + \frac{x^3}{6} = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots\right) - x + \frac{x^3}{6} = \frac{x^5}{120} + O(x^7).$
Grenzwert: $\lim_{x \to 0} \frac{x^5/120 + O(x^7)}{x^5} = \frac{1}{120}.$

Verifizierung: Für $x = 0{,}1$ : $\sin(0{,}1) \approx 0{,}099833417$ ; $\sin x - x + x^3/6 = 0{,}099833417 - 0{,}1 + 0{,}000166667 = 0{,}000000083$ ; $x^5 = 10^{-5}$ ; Verhältnis $\approx 0{,}0083 \approx 1/120 = 0{,}00833$ .

Quelle. Active Calculus §8.4 — Lizenz CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Vollständige Skizzierung rationaler Funktion (Mittelstufe)

Problem: Skizziere $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$ , identifiziere Bereich, Asymptoten, Extrema und Konkavität.

Strategie: Folge der 7-Schritte Funktionsanalyse-Pipeline. Die Funktion ist rational mit leicht identifizierbaren Nennernullstellen.

Lösung:

Bereich: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$ . Bereich: $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ .
Abschnitte/Symmetrie: $f(0) = 0$ (Abschnitt). Nullstellen: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ . $f(-x) = f(x)$ : gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse).
Asymptoten: vertikal in $x = \pm 1$ ; horizontal: $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 1$ (Asymptote $y = 1$ ).
$f'$ : $f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2-1)^2}$ . Kritisch: $x = 0$ . Vorzeichen: $f' > 0$ für $x < 0$ ; $f' < 0$ für $x > 0$ — lokales Maximum in $x = 0$ .
$f''$ : $f''(x) = \dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$ . Für $x \in (-1,1)$ : Nenner $< 0$ , Zähler $> 0$ , also $f'' < 0$ (konkav). Für $|x| > 1$ : $f'' > 0$ (konvex). Keine Wendepunkte im Bereich (Vorzeichenwechsel von $f''$ tritt außerhalb des Bereiches auf $x = \pm 1$ ).
Extremum: $f(0) = 0$ — lokales Maximum (und absolutes Maximum auf $(-1,1)$ ).

Verifizierung: $f(0) = 0 < 1 = \lim_{x\to\infty} f(x)$ macht Sinn: auf $(-1,1)$ variiert die Funktion von $0$ zu $-\infty$ an den Grenzen und zurück; Maximum ist $f(0)=0$ in diesem Intervall.

Quelle. APEX Calculus §3.5, ex. 42 — Lizenz CC-BY-NC.

Example— 5· Newton-Raphson für transzendente Gleichung (echte Modellierung)

Problem: Eine Investition von R$ 10.000 wächst mit monatlichem Satz $r$ , der zu bestimmen ist. Nach 12 Monaten ist die Endsumme R$ 11.268. Löse $f(r) = (1+r)^{12} - 1{,}1268 = 0$ mit Newton-Raphson, mit $x_0 = 0{,}01$ (1% pro Monat).

Strategie: $f'(r) = 12(1+r)^{11}$ . Iteriere $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ bis Konvergenz.

Lösung:

Iteration 1: $f(0{,}01) = (1{,}01)^{12} - 1{,}1268 = 1{,}12683 - 1{,}1268 = 0{,}00003$ . $f'(0{,}01) = 12 \cdot (1{,}01)^{11} = 12 \cdot 1{,}11567 = 13{,}388$ . $x_1 = 0{,}01 - 0{,}00003/13{,}388 \approx 0{,}009998$ .

Nach 2 Iterationen, $r^* \approx 1{,}00\%$ monatlich (Nominaljahreszins $\approx 12{,}68\%$ p.a.).

Verifizierung: $(1{,}01)^{12} = 1{,}12683 \approx 1{,}1268$ . Konsistent mit der Aussage.

Quelle. APEX Calculus §6.1, Newton-Raphson-Anwendung — Lizenz CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 2Modeling 15Challenge 5Proof 3

Ex. 70.1Application
Finde die kritischen Punkte, lokalen Extrema und Wendepunkt von $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ .
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Ex. 70.2Application
Maximiere $f(x) = xe^{-x}$ auf $[0, +\infty)$ . Was ist das globale Maximum?
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Ex. 70.3ApplicationAnswer key
Skizziere $f(x) = (x^2 - 4)/x$ . Identifiziere Asymptoten, Monotonie und Konkavität.
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Ex. 70.4ApplicationAnswer key
Finde das globale Minimum von $f(x) = x + 4/x$ auf $(0, +\infty)$ .
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Ex. 70.5Modeling
Eine zylindrische Dose mit $V = 1000\ \text{cm}^3$ soll mit minimalem Material gebaut werden. Bestimmen Sie optimalen Radius und Höhe.
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Ex. 70.6Modeling
Aus Karton $20 \times 30\ \text{cm}$ werden Quadrate $x \times x$ an den Ecken ausgeschnitten und die Laschen hochgeklappt. Welches $x$ maximiert das Boxenvolumen?
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Ex. 70.7Modeling
Finde den Punkt auf der Parabel $y = x^2$ , der dem Punkt $(3, 0)$ am nächsten ist.
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Ex. 70.8Modeling
Ein Zaun von $200\ \text{m}$ begrenzt ein Rechteck, das an einer Mauer liegt (die Mauer bildet eine Seite). Maximiere die Fläche.
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Ex. 70.9Application
Bestimme die Wendepunkte und Konkavität von $f(x) = e^{-x^2}$ .
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Ex. 70.10Application
Mache die vollständige Skizzierung von $f(x) = \ln(1 + x^2)$ : Bereich, Symmetrie, Extrema, Wendepunkte, asymptotisches Verhalten.
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Ex. 70.11Understanding
L'Hôpital gilt direkt für $\lim_{x \to 0} \sin x / x$ (Form $0/0$ ). Welche Alternative beschreibt einen Fall, in dem die Regel nicht direkt gilt?
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Ex. 70.12Application
Berechne $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ .
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Ex. 70.13ApplicationAnswer key
Berechne $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{e^x}$ .
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Ex. 70.14Application
Berechne $\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}$ (Unbestimmtheit $0^0$ ).
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Ex. 70.15Application
Schreibe das Maclaurin-Polynom von $\sin x$ der Ordnung 5 ( $P_5$ ).
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Ex. 70.16ApplicationAnswer key
Benutze Taylor-Expansion um $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$ zu berechnen.
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Ex. 70.17ModelingAnswer key
Approximiere $\sqrt{1{,}1}$ mittels Maclaurin-Reihe von $(1+x)^{1/2}$ bis Ordnung 3.
Solve online
Ex. 70.18ModelingAnswer key
Approximiere $e^{-0{,}1}$ mit Maclaurin-Polynom von $e^x$ der Ordnung 3. Berechne den Fehler.
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Ex. 70.19Application
Berechne $\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3}$ mit Taylor.
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Ex. 70.20Application
Schreibe die Maclaurin-Reihe von $\ln(1+x)$ bis zum Term in $x^5$ .
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Ex. 70.21Challenge
Berechne $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - \cos x - x}{x^2}$ mittels Taylor.
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Ex. 70.22Understanding
Was ist das Konvergenzintervall der Maclaurin-Reihe von $\ln(1 + x)$ ?
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Ex. 70.23ApplicationAnswer key
Schreibe $P_6(x)$ Maclaurin für $\cos x$ .
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Ex. 70.24Application
Berechne $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^x$ (Form $1^\infty$ ).
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Ex. 70.25Modeling
Kosten $C(q) = q^2/4 + 5q + 100$ (reais), Preis $p = 50$ reais/Einheit. Finde Menge $q^*$ und Maximalgewinn $\pi^*$ .
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Ex. 70.26Modeling
Monopolist hat Nachfrage $q = 100 - 2p$ und Kosten $C(q) = 10q$ . Finde $q^*$ , $p^*$ und Maximalgewinn.
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Ex. 70.27Modeling
Ein Ball wird vertikal mit Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20\ \text{m/s}$ geworfen ( $g = 10\ \text{m/s}^2$ ). Berechne maximale Höhe und Flugzeit.
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Ex. 70.28ModelingAnswer key
$s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$ . Wann ist $v(t) = 0$ ? Berechne die Gesamtstrecke in $0 \leq t \leq 5$ .
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Ex. 70.29ModelingAnswer key
Masse-Feder-System: $m = 0{,}5\ \text{kg}$ , $k = 50\ \text{N/m}$ , Amplitude $A = 0{,}1\ \text{m}$ . Berechne Periode und maximale Geschwindigkeit.
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Ex. 70.30Modeling
Benutze Newton-Raphson für $f(x) = x^2 - 7$ mit $x_0 = 3$ um $\sqrt{7}$ mit 5 Dezimalstellen zu berechnen.
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Ex. 70.31Modeling
Benutze Newton-Raphson für $f(x) = x^3 - 2$ mit $x_0 = 1$ um $\sqrt[3]{2}$ zu approximieren. Mache 3 Iterationen.
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Ex. 70.32Modeling
Wende Newton-Raphson auf $f(x) = e^x - 3x$ an um beide echten Nullstellen zu finden. Verwende $x_0 = 0$ für eine und $x_0 = 1{,}5$ für die andere.
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Ex. 70.33Modeling
Keplers Gleichung: $E - 0{,}3\sin E = 1$ . Benutze Newton-Raphson mit $E_0 = 1$ und mache 4 Iterationen.
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Ex. 70.34Challenge
Zeige, dass eine Funktion $C^2$ streng konvex ( $f'' > 0$ ) auf $\mathbb{R}$ höchstens einen Minimumpunkt hat.
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Ex. 70.35ChallengeAnswer key
Benutze Maclaurin-Reihe von $\sin x$ um zu zeigen, dass $\sin x < x$ für alle $x > 0$ .
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Ex. 70.36Challenge
Skizziere $f(x) = x^x$ auf $(0, +\infty)$ . Finde das Minimum und analysiere das Verhalten an den Rändern des Bereichs.
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Ex. 70.37Challenge
Newton-Raphson auf $f(x) = \arctan x$ mit $x_0 = 2$ divergiert. Erkläre geometrisch warum und zeige numerisch.
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Ex. 70.38Proof
Zeige via Taylor: wenn $f'(a) = 0$ und $f^{(k)}(a)$ die erste nicht-null Ableitung in $a$ ist, dann ist $a$ ein Extremum wenn $k$ gerade ist, und ein Sattelpunkt/Wendepunkt wenn $k$ ungerade ist.
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Ex. 70.39Proof
Zeige via Taylor 1. Ordnung, dass $\lim_{x\to a} f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)$ wenn $f(a) = g(a) = 0$ und $g'(a) \neq 0$ .
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Ex. 70.40Proof
Leite formal die Bedingung $MR = MC$ für Gewinnmaximum her. Erkläre warum Monopolist weniger produziert als konkurrenzielles Unternehmen.
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Quellen

Active Calculus — Matt Boelkins, David Austin, Steve Schlicker · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Abschnitte §2.6 (L'Hôpital), §3.1–3.4 (Optimierung), §8.4–8.5 (Taylor und Reihen).
APEX Calculus — Gregory Hartman et al. · Virginia Military Institute · 2024 · CC-BY-NC. Kapitel 3 (Funktionsanalyse), 4 (Anwendungen), 6 (Newton und Anwendungen), 8 (Taylor-Reihen).
Calculus Volume 1 — OpenStax (Strang, Herman et al.) · 2023 · CC-BY-NC-SA. Abschnitte §4.3 (Max-Min), §4.7 (angewandte Optimierung), §4.8 (L'Hôpital), §4.9 (Newton).