Lição 71 — Medidas de tendência central: média, mediana, moda

Daten: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Berechne Mittelwert, Median und Modus.

Noten von 8 Schülern: 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Berechne Mittelwert, Median und Modus.

Monatliche Gehälter (R$ Tausend): 2, 2, 3, 4, 5, 50. Vergleiche Mittelwert und Median. Welcher repräsentiert besser das typische Gehalt?

Alter von 7 Teilnehmern: 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Berechne Mittelwert, Median und Modus.

Ladezeiten (s): 0,5; 0,7; 0,8; 0,9; 1,1; 1,5; 7,0. Berechne Mittelwert und Median. Ist der Median informativer als der Mittelwert in diesem Fall?

Autofarben auf einem Parkplatz: 12 Weiße, 8 Schwarze, 5 Graue, 5 Rote. Welches Maß der zentralen Tendenz ist angemessen?

Daten: 1, 1, 2, 3, 5, 5, 7. Bestimme die Modus/Modi. Wie wird diese Verteilung klassifiziert?

Häufigkeitstabelle: $x$ = 4, 5, 6, 7, 8 mit Häufigkeiten $f$ = 2, 3, 5, 3, 2. Berechne den arithmetischen Mittelwert.

Gruppierte Daten: Intervalle $[0,10)$, $[10,20)$, $[20,30)$ mit Häufigkeiten 5, 12, 3. Berechne den Mittelwert mit Mittenpunkten.

Eine Klasse hat Durchschnittsalter $\bar{x} = 17{,}5$ Jahre. Ein neuer 20-jähriger Schüler tritt bei und der neue Mittelwert ist $17{,}75$ Jahre. Wie viele Schüler waren ursprünglich da?

Berechne Mittelwert, Median und Modus für: 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 9.

Berechne Mittelwert, Median und Modus/Modi für: 10, 10, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 19.

Warum bevorzugt das IBGE den Median (und nicht den Mittelwert) zur Beschreibung des Pro-Kopf-Haushaltseinkommens Brasiliens?

Wartezeit in einer Notaufnahme: die Mehrheit wird in 1 bis 2 Stunden behandelt, aber einige schwere Fälle warten länger als 10 Stunden. Welches Maß würdest du zur Beschreibung der typischen Wartezeit nutzen? Begründe.

Ein Hersteller möchte die typische Lebensdauer seiner LED-Lampen angeben. Schlag vor, welches Maß der zentralen Tendenz man nutzen sollte und begründe.

Eine Wahlumfrage befragt 1.000 Wähler, welche Partei sie wählen werden. Welches Maß der zentralen Tendenz identifiziert die bevorzugte Partei?

Für eine unimodale Verteilung mit Rechtsschiefe (lange positive Schwanzkante), wie ist die typische Ordnung zwischen Modus, Median und Mittelwert? Erkläre intuitiv.

Gleichverteilung auf $[0, 10]$. Bestimme Mittelwert, Median und diskutiere die Modus. Was sagt dies über symmetrische Verteilungen?

ENEM-Noten folgen ungefähr einer Normalverteilung. Ist Mittelwert oder Median angemessener um die typische Leistung zu beschreiben? Begründe.

Ein Investor möchte die häufigste Zimmerzahl in Wohnungen eines Stadtteils wissen. Welches Maß sollte man nutzen?

Seitenladezeit: 95% der Anfragen antworten in unter 300 ms, aber 1% braucht länger als 5 s. Warum bevorzugen Zuverlässigkeitsingenieure Median (P50) und Perzentile (P95, P99) statt des Mittelwerts?

Warum sind für eine symmetrische unimodale stetige Verteilung die drei Maße der zentralen Tendenz gleich? Erkläre geometrisch.

A/B-Test: Checkout-Zeit von Website A hat Mittelwert 12 s und Median 9 s. Website B hat Mittelwert 10 s und Median 10 s. Welche Website hat bessere Erfahrung für den typischen Benutzer? Begründe.

Firma A berichtet nur Durchschnittsgehalt von R$10.000. Firma B berichtet Mittelwert von R$ 8.000 und Median von R$ 7.000. Was könnte die Abwesenheit der Mediana in A verbergen?

In K-means ist der Cluster-Schwerpunkt der Mittelwert. Welche Auswirkung hat ein Ausreißer auf den Schwerpunkt? Wie mindert K-medoids (das den Median-Punkt nutzt) dieses Problem?

Qualitätskontrolle: Teile mit Durchschnittsdurchmesser $\bar{d} = 10{,}05$ mm und ungefähr symmetrischer Verteilung. Welchem Wert würdest du erwarten, dass die Mediana nahe kommt? Warum?

Beim maschinellen Lernen impliziert MSE als Verlustfunktion, dass das Modell die bedingte Mediana lernt. Erkläre warum dies aus der variationellen Charakterisierung der zentralen Maße folgt.

Eine Meta-Analyse mit 50 Studien berichtet die Mediana der Effektgröße statt des Mittelwerts. Warum wird die Mediana in Meta-Analysen bevorzugt?

Warum nutzt das Boxplot den Mediana als mittlere Linie (und die IQR als Kastenbreite) statt Mittelwert und Standardabweichung?

Beim föderiertem Lernen, warum erhöht das Ersetzen des Mittelwerts von Gradienten durch den Mediana die Widerstandsfähigkeit gegen böswillige Clients (Byzantine-Angriffe)?

Für die Log-Normal-Verteilung ($\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)$): Modus $= e^{\mu-\sigma^2}$, Mediana $= e^\mu$, Mittelwert $= e^{\mu+\sigma^2/2}$. Verifiziere die Ordnung Modus kleiner als Mediana kleiner als Mittelwert für $\sigma > 0$.

Gehälter (R$Tausend): 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8 (8 Mitarbeiter). Ein CEO mit Gehalt von R$ 60.000 wird hinzugefügt (ohne jemanden zu entfernen). Berechne Mittelwert und Mediana vor und nach. Welches Maß änderte sich mehr?

Noten von 30 Schülern in einer Prüfung, gruppiert: $[60,70)$: 3 Schüler; $[70,80)$: 8 Schüler; $[80,90)$: 12 Schüler; $[90,100]$: 7 Schüler. Berechne den geschätzten Mittelwert durch Mittenpunkte.

Zeige, dass $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$.

Zeige, dass $\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2$ in $c = \bar{x}$ für jede Sequenz $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$ minimiert wird.

Zeige, dass $\sum_{i=1}^{n}|x_i - c|$ in $c = \text{Mediana}$ minimiert wird. (Hinweis: analysiere was geschieht wenn man $c$ auf die eine oder andere Seite des Medians verschiebt, zähle wie viele $x_i$ oben und unten liegen.)

Zeige, dass wenn $y_i = ax_i + b$ (lineare Transformation), dann $\bar{y} = a\bar{x} + b$.

Erfüllt der Mittelwert $\overline{f(x_i)} = f(\bar{x})$ allgemein? Und der Mediana? Untersuche mit $f(t) = t^2$ und den Daten $x = \{1, 2, 3\}$.

Cauchy-Verteilung: $f(x) = 1/[\pi(1+x^2)]$. Berechne den Mediana. Zeige, dass der Mittelwert nicht existiert (das Integral $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$ divergiert).

Zeige, dass wenn wir den größten Wert eines Datensatzes durch einen noch größeren Wert ersetzen, der Mediana nicht ändert, aber der Mittelwert erhöht.

Zwei Gruppen haben Mittelwerte $\bar{x}_1$ und $\bar{x}_2$ mit Größen $n_1$ und $n_2$. Leite die Formel des kombinierten Mittelwerts der zwei Gruppen her.

Jensens Ungleichung besagt, dass für $\varphi$ konvex, $\varphi(E[X]) \leq E[\varphi(X)]$. Wende mit $\varphi(t) = t^2$ an um eine Ungleichung zwischen $\bar{x}^2$ und $\overline{x^2}$ zu erhalten. Was bedeutet das für die Varianz?