v1 · padrão canônico

Lição 72 — Variância e desvio padrão

Dispersão estatística: quanto os dados se afastam da média. Variância populacional e amostral, desvio padrão, fórmula computacional, propriedades de linearidade e independência.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Stochastik LK alemão · Equiv. Math B japonês · Equiv. H2 Statistics singapurense

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Strenge Definition

Varianz und Standardabweichung — Population und Stichprobe

"Varianz ist mehr oder weniger die mittlere quadratische Entfernung jedes Datenpunktes vom Mittelwert. Die mit der Varianz verbundene Einheit ist in Quadrateinheiten. Damit das Streuungsmaß die gleichen Einheiten wie die Daten hat, nehmen wir die Quadratwurzel der Varianz, genannt Standardabweichung." — OpenIntro Statistics §2.1, Diez et al., CC-BY-SA.

"Bei statistischen Problemen haben wir normalerweise keinen Zugang zur ganzen Population, daher verwenden wir Stichprobendaten, um die Populationsparameter zu schätzen. Dazu dividieren wir durch den Freiheitsgrad der Stichprobe, $n-1$ , statt durch $n$ ." — OpenStax Statistics §2.7, Illowsky & Dean, CC-BY.

Algebraische Eigenschaften

Theorem· Eigenschaften der Varianz

Für Zufallsvariablen $X, Y$ und Konstanten $a, b \in \mathbb{R}$ :

\text{Var}(b) = 0

what this means · Eine Konstante hat Varianz Null: es gibt keine Streuung.

\text{Var}(aX + b) = a^2 \, \text{Var}(X)

what this means · Verschiebung ändert nicht die Streuung; Skalierung geht ins Quadrat ein.

\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \quad (X, Y \text{ unabhängig})

what this means · Für unabhängige X und Y addieren sich Varianzen — Analogie zu Pythagoras im L²-Raum.

\text{Var}(X) \geq 0

what this means · Varianz ist immer nicht negativ.

Beweis von $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$ : Da $E[aX+b] = a\mu + b$ , gilt $\text{Var}(aX+b) = E[(aX+b - a\mu - b)^2] = E[(a(X-\mu))^2] = a^2 E[(X-\mu)^2] = a^2 \text{Var}(X)$ . $\square$

Geometrische Darstellung — Streudiagramm

Zwei Mengen mit gleichem Mittelwert aber unterschiedlichen Streuungen. Punkte weit entfernt von der gepunkteten Linie (Mittelwert) erzeugen hohe Varianz; Punkte in Gruppen erzeugen niedrige Varianz.

Gelöste Beispiele

Example— 1· Direkte Berechnung von Varianz und Standardabweichung (Anwendung)

Aufgabe: Berechne die Populationsvarianz $\sigma^2$ und die Standardabweichung $\sigma$ für die Daten $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .

Strategie: Wende die Definition in vier Schritten an: Durchschnitt, Abweichungen, Quadrate der Abweichungen, Durchschnitt der Quadrate.

Lösung:

Durchschnitt: $\mu = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$ .
Abweichungen $x_i - \mu$ : $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
Quadrierte Abweichungen: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ . Summe $= 32$ .
Populationsvarianz: $\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$ .
Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{4} = 2$ .

Verifikation: $\sigma = 2$ hat die gleiche Einheit wie die Daten. Wir prüfen: Das Intervall $[\mu - \sigma, \mu + \sigma] = [3, 7]$ enthält die Werte 4, 4, 4, 5, 5, 7 — sechs von acht Daten (75%), konsistent mit der empirischen Regel (mindestens 68% für eine glockenförmige Verteilung, Tschebyscheff garantiert mindestens 75% für jede Verteilung).

Quelle. OpenIntro Statistics §2.1, Beispiel "Toy data for variance" — Lizenz CC-BY-SA.

Example— 2· Stichprobenvarianz mit Besselscher Korrektur (Anwendung)

Aufgabe: Acht Schüler haben eine Statistikprüfung geschrieben. Die Noten waren: 72, 85, 90, 68, 78, 92, 81, 74. Berechne die Stichprobenvarianz $s^2$ und die Stichprobenstandardabweichung $s$ .

Strategie: Nutze den Divisor $n-1$ , weil die Daten eine Stichprobe aus einer größeren Klasse sind. Ich verwende die Rechenformel $s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}$ zur Effizienz.

Lösung:

$n = 8$ . Summe: $72+85+90+68+78+92+81+74 = 640$ . Durchschnitt: $\bar{x} = 640/8 = 80$ .
$\sum x_i^2 = 5184 + 7225 + 8100 + 4624 + 6084 + 8464 + 6561 + 5476 = 51718$ .
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 51718 - 8 \times 6400 = 51718 - 51200 = 518$ .
$s^2 = \frac{518}{7} \approx 74{,}0$ .
$s = \sqrt{74{,}0} \approx 8{,}6$ Punkte.

Verifikation: Bei Inspektion der Daten liegen alle Werte zwischen 68 und 92, Spannweite 24. Eine Standardabweichung von 8,6 ist angemessen — etwa ein Drittel der Spannweite, typischer Wert.

Quelle. OpenStax Statistics §2.7, Beispiel "Find the Standard Deviation" — Lizenz CC-BY.

Example— 3· Varianz einer diskreten Zufallsvariablen (Fortgeschrittenes Niveau)

Aufgabe: Ein fairer 6er-Würfel. Sei $X$ das Ergebnis. Berechne $\text{Var}(X)$ .

Strategie: Nutze die Formel $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ mit der diskreten Gleichverteilung.

Lösung:

$P(X = k) = 1/6$ für $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .
$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ .
$E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$ .
$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$ .
Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ .

Verifikation: Die allgemeine Formel für $X$ gleichverteilt auf $\{1, \ldots, n\}$ ist $\text{Var}(X) = (n^2-1)/12$ . Für $n=6$ : $(36-1)/12 = 35/12$ . Stimmt.

Quelle. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, Ch. 6, Beispiel 6.1 — Lizenz GNU FDL.

Example— 4· Linearitätseigenschaft und Variationskoeffizient (Fortgeschrittenes Niveau)

Aufgabe: Eine Maschine füllt Flaschen mit durchschnittlichem Volumen $\mu = 500$ mL und $\sigma = 4$ mL. Das Unternehmen verkauft sie in Kartons von 12 Flaschen. (a) Welche Standardabweichung hat das Gesamtvolumen eines Kartons, unter der Annahme unabhängiger Flaschen? (b) Welcher Variationskoeffizient ( $CV$ ) für eine einzelne Flasche?

Strategie: Nutze für (a) die Unabhängigkeitseigenschaft: $\text{Var}(X_1 + \cdots + X_{12}) = 12\sigma^2$ . Für (b) wende $CV = \sigma/\mu$ an.

Lösung:

(a) Sei $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$ mit unabhängigen und identisch verteilten $X_i$ .

$\text{Var}(S) = 12 \cdot \sigma^2 = 12 \cdot 16 = 192 \text{ mL}^2$ .

$\sigma_S = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}9$ mL.

(b) $CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{4}{500} = 0{,}008 = 0{,}8\%$ .

Ein $CV$ von 0,8% ist sehr niedrig — die Maschine ist konsistent.

Verifikation: Bei 12 unabhängigen Flaschen wächst die Standardabweichung mit $\sqrt{12}$ , nicht mit 12. $4\sqrt{12} \approx 13{,}9$ . Konsistent mit der Berechnung.

Quelle. OpenStax Statistics §2.7, Übung zu Eigenschaften — Lizenz CC-BY.

Example— 5· Tschebyscheff-Ungleichung — Wahrscheinlichkeitsschranken (Modellierung)

Aufgabe: Eine Produktionslinie stellt Teile mit Durchschnittsmasse $\mu = 200$ g und Standardabweichung $\sigma = 5$ g her. Ohne die genaue Verteilung zu kennen, bestimme eine untere Schranke für den Anteil der Teile mit Masse zwischen 185 g und 215 g.

Strategie: Tschebyscheff bietet eine universelle Schranke: $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - 1/k^2$ . Identifiziere $k$ aus dem geforderten Bereich.

Lösung:

Georderter Bereich: $[185, 215] = [\mu - 15, \mu + 15]$ .
$15 = 3\sigma$ (da $\sigma = 5$ ). Also $k = 3$ .
Tschebyscheff: $P(|X - 200| < 15) \geq 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88{,}9\%$ .

Mindestens 88,9% der Teile liegen im Toleranzbereich, unabhängig von der Verteilung.

Verifikation: Wäre die Produktion normal, mit $k=3$ hätten wir 99,7% — deutlich mehr. Tschebyscheff ist konservativ. Der Wert 88,9% ist die schlechtestmögliche Schranke für jede Verteilung mit $\mu = 200, \sigma = 5$ .

Quelle. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §8.1, Tschebyscheff-Ungleichung — Lizenz GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 3Modeling 9Proof 4

Ex. 72.1Application
Berechne die Populationsvarianz und die Standardabweichung von $\{4, 6, 8\}$ .
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Ex. 72.2Application
Berechne die Stichprobenvarianz $s^2$ und die Stichprobenstandardabweichung $s$ für $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.3Application
Berechne die Populationsstandardabweichung von $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.4ApplicationAnswer key
Welche Varianz hat $\{10, 10, 10, 10\}$ ? Erkläre geometrisch.
Solve online
Ex. 72.5ApplicationAnswer key
Berechne die Populationsvarianz von $\{0, 100\}$ .
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Ex. 72.6Application
Gehälter (Tausend R$): $3, 3, 4, 4, 5, 20$ . Berechne Durchschnitt und Stichprobenstandardabweichung. Kommentiere die Auswirkung des Ausreißers.
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Ex. 72.7Application
Verwende die Rechenformel $\overline{x^2} - \bar{x}^2$ zur Berechnung der Varianz von $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
Solve online
Ex. 72.8Application
Wartezeit (min) bei 8 Bedienungen: $5, 7, 6, 8, 4, 5, 6, 7$ . Berechne die Stichprobenstandardabweichung.
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Ex. 72.9ApplicationAnswer key
Gewichte (kg) von 6 Melonen: $8, 9, 9, 10, 11, 13$ . Berechne $s^2$ und $s$ .
Solve online
Ex. 72.10Application
$X$ nimmt Werte $1, 2, 3$ mit Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ an. Berechne $\text{Var}(X)$ .
Solve online
Ex. 72.11Application
Fairer 6er-Würfel. Berechne $\text{Var}(X)$ .
Solve online
Ex. 72.12ApplicationAnswer key
Summe von zwei unabhängigen fairen Würfeln. Berechne $\text{Var}(S)$ unter Verwendung der Unabhängigkeitseigenschaft.
Solve online
Ex. 72.13Application
Höchsttemperatur (°C) an 7 Tagen: $10, 7, 4, 9, 8, 11, 5$ . Berechne die Stichprobenvarianz.
Solve online
Ex. 72.14Application
Verwende die Rechenformel $E[X^2] - (E[X])^2$ zur Berechnung der Varianz von $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.15ApplicationAnswer key
Wenn $\text{Var}(X) = 9$ , berechne $\text{Var}(2X + 5)$ .
Solve online
Ex. 72.16Application
Wenn $\sigma_X = 4$ , welche Standardabweichung hat $3X$ ?
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Ex. 72.17ApplicationAnswer key
$\text{Var}(X) = 4$ , $\text{Var}(Y) = 9$ , $X$ und $Y$ unabhängig. Berechne $\text{Var}(X+Y)$ und $\text{Var}(X-Y)$ .
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Ex. 72.18Application
Standardisiere $X = 80$ wenn $\mu = 70$ , $\sigma = 5$ . Berechne den z-Score.
Solve online
Ex. 72.19Application
$F = 1{,}8C + 32$ (Celsius zu Fahrenheit-Umwandlung). Wenn $\sigma_C = 5$ °C, welches $\sigma_F$ ?
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Ex. 72.20Application
Berechne den Variationskoeffizienten $CV = \sigma/\mu$ für Höhen ( $\mu = 170$ cm, $\sigma = 8$ cm) und Gewichte ( $\mu = 70$ kg, $\sigma = 12$ kg). Welcher Datensatz ist relativ variabler?
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Ex. 72.21Application
Standardisiere $\{60, 70, 80\}$ unter Verwendung von $\mu = 70, \sigma = 10$ . Welche Durchschnitt und Standardabweichung haben die z-Scores?
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Ex. 72.22Application
$\text{Var}(X) = 16$ . Welches $\text{Var}(-X)$ ?
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Ex. 72.23ApplicationAnswer key
Stichprobendurchschnitt von $n = 25$ unabhängigen Beobachtungen mit $\sigma = 10$ . Welche Standardabweichung hat der Durchschnitt?
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Ex. 72.24Application
Summe von 100 unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit $\sigma = 1$ . Welche Standardabweichung hat die Summe?
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Ex. 72.25Understanding
Warum verwendet die Stichprobenvarianz den Divisor $n-1$ anstelle von $n$ ?
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Ex. 72.26Understanding
Um Streuung zwischen Gehältern (R$) und Höhen (cm) zu vergleichen, bevorzugst du $\sigma$ oder $CV$ ? Warum?
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Ex. 72.27Understanding
Kann Varianz negativ sein?
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Ex. 72.28Modeling
Produktionslinie: Durchschnittsmasse 500 g, $\sigma = 5$ g. Toleranz $\pm 15$ g. Wie viel $\sigma$ repräsentiert die Toleranz?
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Ex. 72.29ModelingAnswer key
Zwei Fonds mit erwarteter Rendite 8%, aber $\sigma_A = 5\%$ und $\sigma_B = 15\%$ . Welchen als risikoavers wählen? Warum?
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Ex. 72.30Modeling
Du misst einen Widerstand 10 Mal: $\bar{R} = 100\,\Omega$ , $s = 0{,}5\,\Omega$ . Schätze die Standardabweichung des Durchschnitts.
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Ex. 72.31Modeling
Fahrtzeit Haus-Arbeit: $\mu = 30$ min, $\sigma = 5$ min. Unter Verwendung der Tschebyscheff-Ungleichung als konservative Schranke, wie viele Minuten früher solltest du losfahren, um mindestens 95% Chance zu haben, rechtzeitig anzukommen?
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Ex. 72.32Modeling
Six-Sigma-Prozess: $\mu = 10{,}00$ mm, Toleranz $9{,}94$ bis $10{,}06$ mm. Welches höchste $\sigma$ erfüllt noch die Six-Sigma-Anforderung?
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Ex. 72.33ModelingAnswer key
Aktien A: $\sigma_A = 1\%$ ; Aktien B: $\sigma_B = 2\%$ . 50-50 Portefeuille, Korrelation Null. Portefeuille-Varianz.
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Ex. 72.34Modeling
Gleiches Portefeuille wie zuvor, aber mit Korrelation $-0{,}5$ zwischen den Aktien. Varianz. Vergleiche mit dem Fall Korrelation Null.
Solve online
Ex. 72.35Modeling
Beim Machine Learning, warum sollten Features mit unterschiedlichen Skalierungen vor dem Trainieren gradienten-basierter Modelle standardisiert werden?
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Ex. 72.36Modeling
ENEM-Noten in Mathematik: $\mu \approx 520$ , $\sigma \approx 110$ Punkte. Ein Schüler bekam 740. Berechne den z-Score und interpretiere (in wie vielen Standardabweichungen über dem Durchschnitt liegt er?).
Solve online
Ex. 72.37Proof
Zeige, dass $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ ausgehend von der Definition $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .
Solve online
Ex. 72.38Proof
Zeige, dass $\text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X)$ für beliebige Konstanten $a, b$ .
Solve online
Ex. 72.39ProofAnswer key
Zeige, dass $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ wenn $X$ und $Y$ unabhängig sind.
Solve online
Ex. 72.40Proof
Zeige die Tschebyscheff-Ungleichung: $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^2}$ für $k > 0$ .
Solve online

Quellen

OpenIntro Statistics (4. Aufl.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Primärquelle dieser Lektion. §2.1–§2.2 behandeln Stichprobenvarianz, Standardabweichung, Boxplot und angewendete Beispiele.
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. §2.7 behandelt Dispersionsmaße, Rechenformel, Übungen mit Rechner und Daten aus Bildung/Gesundheit.
Introduction to Probability — Grinstead & Snell (Dartmouth) — GNU FDL. Ch. 6 behandelt Varianz diskreter Zufallsvariablen, algebraische Eigenschaften, Tschebyscheff und Verbindung zum Gesetz der großen Zahlen.