Lição 73 — Quartis, percentis e boxplot

Daten: 1, 3, 5, 7, 9. Berechnen Sie Median, $Q_1$ und $Q_3$.

Daten: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Berechnen Sie die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung.

Noten: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10. Berechnen Sie $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$.

Berechnen Sie den $IQR$ der Daten: 12, 14, 18, 22, 25, 28, 32.

Alter: 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 30, 35, 60. Wenden Sie die Regel 1,5 IQR an. Gibt es einen Ausreißer?

Gehälter (R$Tausend): 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 50. Berechnen Sie Median und$IQR$.

Für $n = 100$ geordnete Daten, welche ist die Position von $Q_3$ nach linearer Interpolationsmethode?

Zeiten (s): 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 100. Berechnen Sie Tukey-Grenzen und identifizieren Sie den/die Ausreißer.

Gewichte (kg): 60, 62, 64, 65, 65, 67, 70, 72, 75, 80. Beschreiben Sie alle Elemente des Boxplots.

Für $Z \sim \mathcal N(0,1)$, $Q_3 - Q_1 = ?$

Daten mit $IQR = 6{,}7$. Mit robustem Schätzer $\hat\sigma = IQR/1{,}349$ berechnen Sie $\hat\sigma$.

Wie viele Punkte über $Q_3 + 3 \cdot IQR$ würden Sie in einer Stichprobe von 1000 Normalverteilungen erwarten?

Boxplot A: schmale Box, zentrierter Median. Boxplot B: breite Box, Median nahe $Q_1$. Vergleichen Sie Streuung und Schiefe der beiden Datensätze.

Verteilung mit langem rechtem Schwanz. Der Mittelwert liegt an welcher Position relativ zum Median?

Datensatz A hat $IQR = 5$, Datensatz B hat $IQR = 20$. In welchem ist die Streuung der mittleren Daten größer?

Median von $A = B = 50$. $Q_3$ von $A = 55$, von $B = 80$. Welche der beiden Verteilungen ist asymmetrischer nach rechts?

$P_{90}$ der Unternehmensgehälter = R$ 30 Tausend. Interpretieren Sie diese Information.

Ein Schüler liegt im $P_{85}$ des ENEM. Was bedeutet das?

Wenn $Q_1 = Q_2 = Q_3$, was kann über die Daten gesagt werden?

Ist die Aussage "die Regel 1,5 IQR markiert 5% der Daten als Ausreißer" korrekt für normalverteilte Daten?

Alter (Jahre): 40, 52, 55, 58, 62, 66, 72. Berechnen Sie die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung und überprüfen Sie auf Ausreißer.

Noten von 10 Schülern: 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10. Vollständiger Boxplot (mit Ausreißer-Überprüfung).

Klasse mit 100 Schülern: $Q_1 = 5$, $Q_3 = 8$. Ein Schüler hat 9,5 erreicht — liegt er in den top 25%?

Warum veröffentlicht der IBGE den Medianeinkommen statt nur des Durchschnitts in Berichten über Ungleichheit in Brasilien?

Produzierte Teile mit Durchmesser: $Q_1 = 9{,}98$ mm, $Q_3 = 10{,}02$ mm. Spezifikation: $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Ist der Prozess zentriert? Gibt es signifikantes Ablehnungsrisiko?

A/B-Test der Website: Variante A Median 1,2 s und $IQR = 0{,}3$; Variante B Median 1,1 s und $IQR = 1{,}5$. Welche würden Sie produktiv setzen? Begründen Sie mit Streuungsstatistiken.

Sie entdecken einen Ausreißer in Finanztransaktionen, der verdächtig nach Betrug aussieht. Sollten Sie ihn vor der Analyse entfernen? Begründen Sie statistisch.

Antwortzeiten (ms): 120, 130, 135, 140, 142, 145, 148, 150, 155, 380. Berechnen Sie die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung und bewerten Sie, ob das System SLA von 200 ms basierend auf Quartilen erfüllt.

Krankenhaus mit 4 Stationen. Verweildauern (Tage): Station A: 5, 8, 9, 10, 12; Station B: 3, 4, 4, 5, 20; Station C: 7, 8, 8, 9, 10; Station D: 2, 3, 15, 18, 25. Konstruieren Sie Fünf-Zahlen-Zusammenfassungen und identifizieren Sie, welche Station bei der Bettenverwaltung vorhersagbarer ist.

ENEM-Noten nach Schule. Schule A: Median 650, $IQR = 80$. Schule B: Median 620, $IQR = 200$. Welche Schule hat einheitlichere Leistung? Was deutet jedes Muster für die Pädagogikrichtlinie an?

Durchschnittliche monatliche Niederschläge in São Paulo (mm): 234, 181, 130, 83, 68, 52, 44, 47, 82, 122, 145, 201. Berechnen Sie die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung und interpretieren Sie die Saisonalität.

Immobilienpreise in einem Stadtteil (R$ Tausend): 250, 280, 310, 320, 340, 350, 380, 390, 420, 1800. Berechnen Sie Median und Mittelwert. Warum sollte ein Käufer den Median als Referenz für typischen Preis verwenden?

Erklären Sie in Ihren eigenen Worten, warum Median und IQR "robust" sind, während Mittelwert und Standardabweichung nicht robust sind. Verwenden Sie ein konkretes Beispiel.

Kann ein Boxplot eine bimodale Verteilung verbergen? Konstruieren Sie ein konkretes Beispiel einer bimodalen Verteilung, die denselben Boxplot wie eine unimodale Verteilung hat.

Für $X \sim \text{Uniform}(0, 1)$ ist der $IQR$:

Berechnen Sie analytisch den $IQR$ von $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$. Drücken Sie als Funktion von $\lambda$ aus.

Argumentieren Sie, warum der Durchbruchpunkt des $IQR$ 25%, der Median 50% und der Mittelwert 0% ist.

Beweisen Sie: wenn $X$ eine stetige Zufallsvariable mit um $\mu$ symmetrischer Dichte ist, dann ist $\mu$ der Median von $X$.

Zeigen Sie, dass für $n \to \infty$ und iid Stichproben von Uniform(0,1) der empirische Schätzer von $Q_1$ gegen 0,25 konvergiert. Verwenden Sie Eigenschaften von Ordnungsstatistiken.

Beweisen Sie, dass der Median $E[|X - c|]$ über alle Werte $c \in \mathbb{R}$ minimiert.