Lição 75 — Distribuição binomial

$X \sim \text{Bin}(5, 0{,}5)$. Berechne $P(X = 3)$.

$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$. Berechne $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$. Berechne $P(X = 2)$.

$X \sim \text{Bin}(6, 1/6)$. Berechne $P(X \geq 1)$ per Komplement.

$X \sim \text{Bin}(4, 0{,}5)$. Erstelle die komplette PMF-Tabelle für $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

$X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$. Berechne $E[X]$ und $\text{Var}(X)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}5)$. Berechne $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.

Werfe 10 Münzen. Berechne $P(\text{genau 5 Köpfe})$.

Werfe 10 Münzen. Berechne $P(\text{mindestens 8 Köpfe})$.

Werfe einen Würfel 6-mal. Berechne $P(\text{genau 2 Sechser})$.

Werfe einen Würfel 6-mal. Berechne $P(\text{keine Sechs})$.

Für $X \sim \text{Bin}(n, p)$, berechne $P(X = 0) + P(X = n)$ als Funktion von $n$ und $p$.

Für $X \sim \text{Bin}(n, p)$, leite das Verhältnis $P(X = k)/P(X = k-1)$ als Funktion von $n$, $p$ und $k$ her.

Zeige, dass der Modus von $\text{Bin}(n, p)$ gleich $\lfloor (n+1)p \rfloor$ ist. Berechne den Modus von $\text{Bin}(10, 0{,}3)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$. Approximiere $P(X \leq 25)$ mit der Normalverteilung (verwende Stetigkeitskorrektur).

$X \sim \text{Bin}(1000, 0{,}001)$. Verwende Poisson-Approximation für $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}5)$. Approximiere $P(X \geq 30)$ mit der Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur.

$X_1 \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ und $X_2 \sim \text{Bin}(20, 0{,}3)$ unabhängig. Wie ist die Verteilung von $X_1 + X_2$?

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}02)$. Verwende Poisson-Approximation für $P(X = 0)$, $P(X = 1)$ und $P(X = 2)$.

Wahl: $p = 0{,}52$, $n = 1000$. Approximiere $P(\hat p < 0{,}50)$, die Chance, dass die Umfrage den Anführer falsch einschätzt.

Für $X \sim \text{Bin}(n, 0{,}5)$, ab welchem $n$ wird Normalapproximation als gut betrachtet? Begründe.

Zeige, dass die Varianz von $\text{Bin}(n, p)$ für festes $n$ bei $p = 0{,}5$ maximiert wird.

Spam-Filter mit 90% Recall. In 500 echten Spam-E-Mails, $P(\text{markieren} \geq 470)$.

Warum kann die Formel $\text{Var}(X) = np(1-p)$ aus der Zerlegung in Bernoulli-Variablen hergeleitet werden?

Produktionslinie: 3% fehlerhafte Teile. Los von 50 Teilen. Berechne $P(\text{mindestens 3 fehlerhafte})$.

Impfstoff: Wirksamkeit 85%. In 100 Geimpften, $P(\geq 90 \text{ geschützt})$. Verwende Normalapproximation.

A/B-Test: Variante A, 100 Besucher, 14 kauften. Variante B, 100 Besucher, 22 kauften. Berechne den p-Wert des z-Tests für Differenz von Anteilen.

Wahlumfrage: $n = 1500$, gewünschte Fehlerquote $\pm 2{,}5\%$ auf 95%-Niveau. Ist die Größe ausreichend?

Genetik: Kreuzung $Aa \times Aa$, jedes Nachkommen hat Wahrscheinlichkeit $1/4$, $AA$ zu sein. In 8 Nachkommen, $P(\text{genau 2 sind } AA)$.

Call-Center: 5% der Anrufe fallen aus. In 200 Anrufen, berechne Erwartungswert und $\sigma$ von Ausfällen.

Six Sigma (mit 1,5σ-Anpassung): Rate von 3,4 ppm. In 1 Million Teilen, verwende Poisson-Approximation für $P(0 \text{ Fehler})$ und $E[\text{Fehler}]$.

Wette: 30% Chance, R$100 zu gewinnen. Jedes Spiel kostet R$ 25. In 20 Spielen, wie groß ist der erwartete Gesamtgewinn?

Lead-Konversionsrate: 1%. Um durchschnittlich 5 Geschäfte pro Monat abzuschließen, wie viele Leads musst du generieren?

ENEM: 60% der Kandidaten erreichen Mindestpunktzahl im Aufsatz. In Klasse von 20 Schülern, berechne $E[X]$, $\sigma$ und $P(X \geq 15)$.

Urne mit 30% roten Bällen. 50 Ziehungen mit Zurücklegen. Warum ist die Binomialverteilung anwendbar? Berechne $E[X]$ und $P(X = 15)$.

Öffentlicher Wettbewerb: 8% Zulassungsquote. Klasse von 30 Schülern. $E[\text{zugelassene}]$ und $P(\text{mindestens 1 zugelassener})$.

Warum gilt die Binomialverteilung nicht für Ziehung ohne Zurücklegen? Gib ein numerisches Gegenbeispiel, wo Binomial falsche Antwort gibt.

Was ist der fundamentale Unterschied zwischen Binomialverteilung und hypergeometrischer Verteilung?

Beweise $E[X] = np$ und $\text{Var}(X) = np(1-p)$ über Zerlegung $X = Y_1 + \cdots + Y_n$ in Bernoulli-Variablen.

Beweise den Poisson-Grenzwert: $\text{Bin}(n, \lambda/n) \to \text{Poisson}(\lambda)$ wenn $n \to \infty$ mit fixiertem $\lambda$.

Beweise, dass $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$ unter Verwendung des Binomialsatzes.

Beweise Additivität: wenn $X \sim \text{Bin}(n_1, p)$ und $Y \sim \text{Bin}(n_2, p)$ unabhängig (gleiches $p$), dann $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$.