v1 · padrão canônico

Lição 91 — Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias

EDO: equação relacionando função e suas derivadas. Classificação, solução geral vs. particular, modelagem em ciência e engenharia.

Used in: Ano 3 EM — arco cálculo aplicado · Equiv. Spécialité Maths francesa (Terminale) · Equiv. Math III japonês avançado · Equiv. Leistungskurs DE (Klasse 12)

y' = f(x,\, y)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definition und Klassifizierung

Gewöhnliche Differentialgleichung

"Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Funktionen einer unabhängigen Variablen und deren Ableitungen enthält." — OpenStax Calculus Volume 2, §4.1

Klassifizierung

Definition· Ordnung, Linearität, Homogenität

Ordnung: die höchste auftretende Ableitung. $y'' + y = 0$ ist 2. Ordnung; $y' + y = x$ ist 1. Ordnung.
Linear vs. nichtlinear: Linear, wenn $y, y', \ldots, y^{(n)}$ linear auftreten (keine Produkte untereinander und keine nichtlinearen Funktionen davon). $y' + xy = 1$ ist linear; $y' + y^2 = 0$ nicht.
Homogen vs. nicht-homogen (für lineare GDGs): Homogen, wenn der Term ohne Ableitungen null ist. $y'' + 3y' + 2y = 0$ ist homogen; $y'' + 3y' + 2y = \sin x$ nicht.
Konstante vs. variable Koeffizienten: $y'' + 3y' + 2y = 0$ hat konstante Koeffizienten; $xy'' + y = 0$ hat variablen Koeffizient $x$ .

Allgemeine und partikuläre Lösung

"Die allgemeine Lösung von $y' = f(x)$ ist $y = F(x) + C$ , wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist und $C$ eine willkürliche Konstante. Um einen eindeutigen Wert für $C$ zu bestimmen, ist eine Anfangsbedingung notwendig." — OpenStax Calculus Volume 2, §4.1

Existenz und Eindeutigkeit (Picard-Lindelöf)

Praktische Konsequenz: Man überprüft Picard-Lindelöf für jede GDG, bevor man Eindeutigkeit behauptet. Die GDG $y' = \sqrt{|y|}$ , $y(0) = 0$ verletzt die Hypothese (partielle Ableitung unstetig bei $y = 0$ ) und hat unendlich viele Lösungen.

Die fundamentale GDG: exponentielles Wachstum/Zerfall

y' = ky \implies y(x) = y_0\, e^{kx}

what this means · Die Ableitung von y ist proportional zu y. Lösung: Exponentialfunktion. Erscheint bei kontinuierlichen Zinsen, radioaktivem Zerfall, Newtons Abkühlungsgesetz, Pharmakokinetik, Bakterienwachstum.

Familie von Lösungen von y' = ky. Wachstum (k größer als 0, blaue Kurve) und Zerfall (k kleiner als 0, orange Kurve). Alle starten bei y₀ bei x = 0.

Gelöste Beispiele

Example— 1· Verifikation von Lösung und Anfangsbedingung (Anwendung)

Problem: Verifiziere, dass $y(x) = 3e^{2x}$ eine Lösung von $y' = 2y$ mit $y(0) = 3$ ist. Schreibe dann die allgemeine Lösung und die Familie von Kurven auf.

Strategie: Um eine Lösung zu überprüfen, leitet man die Kandidatenfunktion ab und setzt sie in die GDG ein. Die AB bestimmt die Konstante der allgemeinen Lösung.

Lösung:

Leite ab $y = 3e^{2x}$ : $y' = 6e^{2x}$ .
Setze in die GDG ein: $y' = 6e^{2x}$ und $2y = 2 \cdot 3e^{2x} = 6e^{2x}$ . Sie sind gleich — bestätigt.
Überprüfe die AB: $y(0) = 3e^0 = 3$ . Bestätigt.
Allgemeine Lösung: $y = Ce^{2x}$ (Familie von Exponentialfunktionen). Für jeden Wert von $C \in \mathbb{R}$ erhalten wir eine andere Kurve, die $y' = 2y$ erfüllt.
AB bestimmt $C = 3$ : von $y(0) = Ce^0 = C = 3$ .

Verifikation: $y' = 2Ce^{2x} = 2y$ für beliebiges $C$ — die GDG ist für die ganze Familie erfüllt.

Quelle. OpenStax — Calculus Volume 2 §4.1, Example 4.2 — Lizenz CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Lösung durch direkte Integration (Mittelstufe)

Problem: Löse das Anfangswertproblem $y'' = 6x$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 2$ .

Strategie: GDG 2. Ordnung ohne $y$ oder $y'$ explizit — löst man durch zwei Integrationen hintereinander, jede führt eine Konstante ein. Die zwei ABs bestimmen beide Konstanten.

Lösung:

Erste Integration: $y'' = 6x \implies y' = 3x^2 + C_1$ .
Wende AB $y'(0) = 2$ an: $2 = 3(0) + C_1 \implies C_1 = 2$ . Also $y' = 3x^2 + 2$ .
Zweite Integration: $y' = 3x^2 + 2 \implies y = x^3 + 2x + C_2$ .
Wende AB $y(0) = 1$ an: $1 = 0 + 0 + C_2 \implies C_2 = 1$ .
Partikuläre Lösung: $y(x) = x^3 + 2x + 1$ .

Verifikation: $y' = 3x^2 + 2$ ; $y'' = 6x$ — erfüllt die GDG. $y(0) = 1$ und $y'(0) = 2$ — beide ABs erfüllt.

Quelle. Jiří Lebl — Notes on Diffy Qs §0.2 — Lizenz CC-BY-SA.

Example— 3· Modellierung: Newtons Abkühlungsgesetz (Mittelstufe)

Problem: Eine Tasse Tee bei 85 °C wird in einem Raum bei 20 °C aufgestellt. Die Abkühlungskonstante beträgt $k = 0{,}04$ min $^{-1}$ . (a) Schreibe und löse die GDG. (b) Nach wie vielen Minuten erreicht die Temperatur 50 °C?

Strategie: Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsrate proportional zur Differenz zwischen Objekttemperatur und Umgebung. Ersetze $u = T - T_a$ , um auf $u' = -ku$ zu reduzieren.

Lösung:

Stelle die GDG auf: $T' = -k(T - 20) = -0{,}04(T - 20)$ , $T(0) = 85$ .
Substitution $u = T - 20$ : $u' = T'= -0{,}04\,u$ , $u(0) = 65$ .
Lösung: $u(t) = 65\,e^{-0{,}04\,t}$ , also $T(t) = 20 + 65\,e^{-0{,}04\,t}$ .
Finde $t$ so dass $T = 50$ :

$50 = 20 + 65\,e^{-0{,}04\,t} \implies e^{-0{,}04\,t} = \frac{30}{65} \implies t = \frac{-\ln(30/65)}{0{,}04} \approx \frac{0{,}771}{0{,}04} \approx 19{,}3 \text{ min}$

Verifikation: $T(19{,}3) = 20 + 65\,e^{-0{,}04 \times 19{,}3} = 20 + 65 \times 0{,}462 \approx 50$ °C. Konsistent.

Quelle. OpenStax — Calculus Volume 2 §4.4, Example 4.14 — Lizenz CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Klassifizierung und Linearität (Mittelstufe)

Problem: Klassifiziere jede GDG unten nach Ordnung, Linearität und (wenn linear) Homogenität: (a) $y''' - 2y' + y = e^x$ (b) $y'' + (y')^2 = x$ (c) $xy' - y = 0$

Strategie: Für jede Gleichung: (i) identifiziere die höchste Ableitung für die Ordnung; (ii) überprüfe, ob $y$ und Ableitungen nur linear auftreten (ohne Produkte untereinander, ohne nichtlineare Funktionen davon); (iii) für lineare GDGs überprüfe, ob die rechte Seite null ist.

Lösung:

(a) $y''' - 2y' + y = e^x$ :

Ordnung: 3 (höchste Ableitung ist $y'''$ ).
Linear: ja — $y$ , $y'$ , $y'''$ treten mit Grad 1 auf, ohne Produkte.
Homogen: nein — rechte Seite $e^x \neq 0$ .

(b) $y'' + (y')^2 = x$ :

Ordnung: 2.
Linear: nein — der Term $(y')^2$ ist quadratisch in $y'$ .

Ordnung: 1.
Linear: ja — $y'$ und $y$ treten mit Grad 1 auf. Der Koeffizient von $y'$ ist $x$ (variabel), aber das beeinflusst nicht die Linearität in $y$ .
Homogen: ja — rechte Seite ist null.

Verifikation: Vergleiche mit der Standardform $a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_0(x)y = g(x)$ . Linear, wenn alle Koeffizienten nur von $x$ abhängen.

Quelle. Jiří Lebl — Notes on Diffy Qs §0.2 — Lizenz CC-BY-SA.

Example— 5· Modellierung: Zerfall mit Radiokarbon (Modellierung)

Problem: Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren. Ein Fossilienfragment enthält 30% des Kohlenstoff-14 eines lebenden Organismus heute. Schätze das Alter des Fossils.

Strategie: Radioaktiver Zerfall folgt $N' = -\lambda N$ . Die Halbwertszeit gibt $\lambda$ . Mit $N(t)/N_0 = 0{,}30$ löst man nach $t$ .

Lösung:

Zerfallskonstante: $\lambda = \ln 2 / \tau_{1/2} = \ln 2 / 5730 \approx 1{,}21 \times 10^{-4}$ Jahr $^{-1}$ .
Lösung der GDG: $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ .
Wende Bedingung $N(t)/N_0 = 0{,}30$ an:

$0{,}30 = e^{-\lambda t} \implies -\lambda t = \ln(0{,}30) \implies t = \frac{-\ln(0{,}30)}{\lambda} = \frac{\ln(10/3)}{1{,}21 \times 10^{-4}}$

$t = \frac{1{,}204}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 9\,950 \text{ Jahre}$

Antwort: Das Fossil ist etwa 9.950 Jahre alt.

Verifikation: Mit $t = 5730$ Jahren, $N/N_0 = e^{-(\ln 2 / 5730) \times 5730} = e^{-\ln 2} = 0{,}5$ (50%) — konsistent mit der Definition der Halbwertszeit.

Quelle. Jiří Lebl — Notes on Diffy Qs §1.1 — Lizenz CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 4Modeling 11Proof 2

Ex. 91.1Application
Klassifiziere $y''' + y'' - y = 0$ : Ordnung, ob linear und ob homogen.
Solve online
Ex. 91.2ApplicationAnswer key
Klassifiziere $y' + xy = 0$ : Ordnung, linear/nichtlinear, homogen.
Solve online
Ex. 91.3ApplicationAnswer key
Klassifiziere $y' + y^2 = x$ : Ordnung und linear/nichtlinear.
Solve online
Ex. 91.4Application
Klassifiziere $y'' + y = \sin x$ : Ordnung, linear/nichtlinear, homogen.
Solve online
Ex. 91.5Application
Verifiziere, dass $y = e^{2x}$ Lösung von $y' = 2y$ ist.
Solve online
Ex. 91.6Application
Verifiziere, dass $y = \sin x$ Lösung von $y'' + y = 0$ ist.
Solve online
Ex. 91.7Application
Verifiziere, dass $y = x^2 + 3$ Lösung des AWP $y' = 2x$ , $y(0) = 3$ ist.
Solve online
Ex. 91.8Application
Verifiziere, dass $y = e^{-t}\cos t$ Lösung von $y'' + 2y' + 2y = 0$ ist.
Solve online
Ex. 91.9Application
Zeige, dass $y(t) = Ce^{-kt}$ die allgemeine Lösung von $y' = -ky$ ist.
Solve online
Ex. 91.10ApplicationAnswer key
Der freie Fall wird modelliert durch $y'' = -g$ (konstante Gravitationsbeschleunigung). Finde die allgemeine Lösung durch doppelte Integration.
Solve online
Ex. 91.11Application
Was ist die allgemeine Lösung von $y'' - y = 0$ ?
Solve online
Ex. 91.12Understanding
Was bestimmt eine Anfangsbedingung in der Lösung einer GDG?
Solve online
Ex. 91.13ApplicationAnswer key
Löse $y' = 3x^2$ , $y(0) = 5$ .
Solve online
Ex. 91.14Application
Löse $y' = \sin x$ , $y(0) = 1$ .
Solve online
Ex. 91.15ApplicationAnswer key
Löse $y'' = 6x$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 2$ .
Solve online
Ex. 91.16Application
Löse $y' = ky$ , $y(0) = y_0$ . Drücke in Termen von $k$ und $y_0$ aus.
Solve online
Ex. 91.17Application
Löse $y' = 2y$ , $y(0) = 5$ . Berechne $y(3)$ .
Solve online
Ex. 91.18Application
Löse $y' = -0{,}1\,y$ , $y(0) = 100$ . Berechne $y(20)$ .
Solve online
Ex. 91.19ApplicationAnswer key
Löse $y' = e^x$ , $y(0) = 0$ .
Solve online
Ex. 91.20Application
Löse $y'' = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = -3$ .
Solve online
Ex. 91.21Application
Löse $y' = 1/x$ , $y(1) = 0$ (Definitionsbereich $x > 0$ ).
Solve online
Ex. 91.22ApplicationAnswer key
Löse $y'' = -y$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ .
Solve online
Ex. 91.23Application
Löse $y'' + 2y' + 2y = 0$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ .
Solve online
Ex. 91.24Application
Kondensatorentladung: $V' = -V/(RC)$ . Für $V_0 = 12$ V und $RC = 1$ s, berechne $V(2)$ .
Solve online
Ex. 91.25Modeling
Bakterienkolonie verdoppelt sich jede Stunde. Anfangspopulation: 100. Schreibe die GDG und berechne $N(5)$ .
Solve online
Ex. 91.26Modeling
Investition von R$ 1.000 zu 5% p.a. mit kontinuierlicher Verzinsung. Schreibe die GDG und berechne den Betrag nach 10 Jahren.
Solve online
Ex. 91.27Modeling
Kaffee bei 90 °C, Raum 25 °C, $k = 0{,}04$ min $^{-1}$ . Schreibe die GDG, löse sie, und bestimme, wie lange es dauert, bis die Temperatur 50 °C erreicht.
Solve online
Ex. 91.28Modeling
Kohlenstoff-14 ( $\tau_{1/2} = 5730$ Jahre). Ein Fossil hat 25% des ursprünglichen C-14. Berechne sein Alter.
Solve online
Ex. 91.29Modeling
Medikament: Halbwertszeit 6 h, Dosis 200 mg. Schreibe die GDG und berechne, wie viel nach 18 h bleibt.
Solve online
Ex. 91.30ModelingAnswer key
Finanzanlage mit Selic-Rendite von 14,75% p.a. bei kontinuierlicher Kapitalisierung. In wie vielen Jahren verdoppelt sich das Kapital?
Solve online
Ex. 91.31Modeling
Epidemie vereinfacht: $I' = rI(1 - I/N)$ (logistische Gleichung). Identifiziere die Gleichgewichte und beschreibe das Verhalten der Lösung.
Solve online
Ex. 91.32Modeling
Fall mit Luftwiderstand: $m\dot{v} = mg - kv$ ( $k > 0$ ). Berechne die Grenzgeschwindigkeit $v_\infty$ (wenn die Beschleunigung aufhört).
Solve online
Ex. 91.33Modeling
Jod-131 ( $\tau_{1/2} = 8$ Tage). Schreibe die GDG und berechne, wie viel von 100 g nach 24 Tagen bleibt.
Solve online
Ex. 91.34Modeling
Ein Vermögenswert verliert 3% pro Jahr kontinuierlich an Wert. Schreibe die GDG und drücke den Wert nach 5 Jahren in Termen des Anfangswerts $P_0$ aus.
Solve online
Ex. 91.35ModelingAnswer key
(Rechtsmedizin) Leiche um 22 Uhr mit Temperatur 32 °C gefunden. Raum 21 °C, $k = 0{,}374$ h $^{-1}$ . Normale Körpertemperatur: 37 °C. Schreibe die GDG und finde $k$ mit den gegebenen Bedingungen.
Solve online
Ex. 91.36UnderstandingAnswer key
Was garantiert der Satz von Picard-Lindelöf über die GDG $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ ?
Solve online
Ex. 91.37Understanding
Warum hat die allgemeine Lösung einer GDG der Ordnung $n$ genau $n$ willkürliche Konstanten? Wie hängt das mit der Anzahl notwendiger Anfangsbedingungen zusammen?
Solve online
Ex. 91.38Understanding
Erkläre, warum $y' = \sqrt{|y|}$ , $y(0) = 0$ unendlich viele Lösungen hat. Welche Hypothese von Picard-Lindelöf wird verletzt?
Solve online
Ex. 91.39Proof
Beweise, dass $y = Ce^{kx}$ die eindeutige Familie von Lösungen von $y' = ky$ ist (bis auf Wahl von $C$ ). Hinweis: betrachte $z(x) = y(x)\,e^{-kx}$ .
Solve online
Ex. 91.40Proof
Beweise, dass die Lösung von $y' = ky$ , $y(0) = y_0$ gleich $y(t) = y_0 e^{kt}$ ist, mit der Technik der Variablentrennung (Preview der Lektion 92).
Solve online

Quellen

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · 2024 · v6.6 · EN · CC-BY-SA. §0.2–1.3: Definition von GDG, Klassifizierung, Modellierung, Beispiele aus radioaktivem Zerfall und Abkühlung. Primärquelle dieser Lection.
Calculus Volume 2 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA. §4.1–4.3: Verifikation von Lösungen, Anfangsbedingungen, Modelle aus Wachstum und Zerfall, separable Gleichungen.
Active Calculus — Matt Boelkins et al. · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA. §7.1–7.2: visuelle Einführung in GDGs, Richtungsfelder, qualitative Modellierung.