Lição 92 — EDOs separáveis

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = 5y$.

Lösen Sie das Anfangswertproblem $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{2}$, $y(0) = 4$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = xy$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$, $y(0) = 2$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = e^{x-y}$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = (1 + y^2)\cos x$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y}$, $y(1) = 2$.

Lösen Sie $y' = y\sqrt{x}$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos x}{y}$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^{2x}}{y}$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = -2xy^2$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 1$ über Partialbruchzerlegung.

Lösen Sie $y' = (1-y)/x$, $y(1) = 0$.

Verifizieren Sie, dass $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ die DGL $y' = y(1-y)$ erfüllt.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{1+y^2}$.

Lösen Sie $y'\sin x = y\cos x$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = y\tan x$, $y(0) = 1$.

Lösen Sie $y'\,e^x = y$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2}$, $y(1) = e$.

Lösen Sie $y' = \sqrt{1 - y^2}$. Diskutieren Sie den Definitionsbereich und die singulären Lösungen.

Radioaktiver Zerfall: ${}^{14}$C hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren. Wie viel Prozent bleiben nach 10 000 Jahren?

RC-Kondensator in Entladung: $V(0) = 12$ V, $R = 1\,\text{k}\Omega$, $C = 100\,\mu\text{F}$. Finden Sie $V(t)$.

Tank von 100 L mit reinem Wasser erhält 5 L/min Salzlösung bei 10 g/L und entwässert 5 L/min. Wie ist die Konzentration nach 30 Minuten?

Bakterienkolonie verdoppelt sich alle 3 h. Wie lange dauert es, um 100-fach zu wachsen?

Newtons Abkühlung: Kaffee bei 90°C in einem Zimmer bei 20°C erreicht 70°C in 5 Minuten. Wann erreicht er 30°C?

Freier Fall mit linearem Widerstand: $\dot v = g - kv$, $v(0) = 0$. Lösen Sie und bestimmen Sie die Endgeschwindigkeit $v_\infty$.

Arzneimittelkonzentration: $\dot C = -0{,}1C$, $C(0) = C_0$. In wie viel Zeit fällt sie auf 50% der ursprünglichen Dosis?

Investition mit stetigen Zinsen von 5% p.a.: $\dot S = 0{,}05 S$. In wie viel Zeit verdoppelt sich das Kapital?

Zeigen Sie, dass $y \equiv 0$ eine Lösung von $y' = y^2$ ist. Gehört sie zur allgemeinen Familie? Begründen Sie.

Für $y' = y^{2/3}$, $y(0) = 0$, zeigen Sie, dass unendlich viele Lösungen existieren. Warum schlägt die Picard-Eindeutigkeit fehl?

Warum gilt $\displaystyle\int \dfrac{dy}{y} = \ln|y| + C$ mit Betrag?

Für $\dot y = y(1-y)$ identifizieren Sie die Gleichgewichte und klassifizieren Sie diese als stabil oder instabil.

Welche der folgenden Formen für $dy/dx = F(x,y)$ entspricht einer separablen DGL?

Lösen Sie $y' = (x+y)^2$ über die Substitution $u = x+y$.

Zeigen Sie, dass $\dot y = y^2$, $y(0) = y_0 > 0$ in endlicher Zeit $T = 1/y_0$ explodiert. Bestätigen Sie mit dem Osgood-Kriterium.

Bernoulli-Gleichung $y' + P(x)y = Q(x)y^n$. Zeigen Sie, dass die Substitution $u = y^{1-n}$ sie in eine lineare DGL transformiert.

Skizzieren Sie den Beweis des Picard-Lindelöf-Satzes für $y' = f(x,y)$, $y(x_0) = y_0$, mit $f$ stetig und Lipschitz in $y$, via Picard-Iteration.

Für $\dot y = h(y)$ mit $h(y) > 0$ für alle $y \geq y_0$, zeigen Sie, dass die Lösung global ist genau dann, wenn $\displaystyle\int_{y_0}^{+\infty} \dfrac{dy}{h(y)} = +\infty$ (Osgood-Kriterium).

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = y^2 e^x$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 4$ über Partialbruchzerlegung. Identifizieren Sie die singulären Lösungen.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{1+y^2}$.

Lösen Sie $\dfrac{dy}{dx} = e^{-y}\sin x$.

Logistisches Wachstum: $\dot P = 0{,}06\,P(1 - P/500)$, $P(0) = 50$. Wann erreicht die Population die halbe Tragfähigkeit?

Analysieren Sie qualitativ $\dot y = y(2-y)$ ohne explizites Lösen: identifizieren Sie Gleichgewichte, Stabilität und Verhalten der Lösungen für verschiedene Anfangsbedingungen.

Für $\dot y = y^p$ mit $y(0) = y_0 > 0$ bestimmen Sie, für welche Werte von $p$ Blow-up in endlicher Zeit auftritt. Berechnen Sie $T$ in diesem Fall.