Lição 93 — EDOs lineares de 1ª ordem

Resolva $y' + y = 0$.

Resolva $y' + 2y = 6$, $y(0) = 1$.

Resolva $y' + 3y = e^{-x}$.

Resolva $y' - y = e^{2x}$, $y(0) = 0$.

Resolva $y' + 2xy = x$.

Resolva $y' + \frac{1}{x}\,y = 1$, $y(1) = 0$.

Resolva $x y' + 2y = x^3$.

Resolva $y' - y\sin x = \sin x$.

Resolva $y' + y\cot x = 2\cos x$.

Resolva $y' - 2xy = x$, $y(0) = 1$.

Resolva $y' + 4y = 8$ e indique o regime estacionário.

Resolva $y' + y = \sin x$.

Resolva $y' - 3y = 6e^{3x}$.

Resolva $y' + \frac{2}{x}\,y = x^2$.

Resolva $y' + y\cos x = \cos x$.

Resolva $(1+x^2)y' + 2xy = 4x$, $y(0) = 0$.

$y = e^{-x}$ resolve $y' + y = 0$?

Resolva $y' = 2y + 4$.

Encontre $\mu(x)$ para $y' + (\sin x)y = \cos x$ e discuta se a solução tem forma fechada.

Resolva $y' + 2y = t^2$ (variável independente $t$).

Circuito RC: $R = 2\,\text{k}\Omega$, $C = 50\,\mu\text{F}$, $V_s = 12\,\text{V}$ (degrau em $t = 0$), $V_C(0) = 0$. Encontre $V_C(t)$ e $\tau$.

Circuito RL: $L = 0{,}5\,\text{H}$, $R = 10\,\Omega$, $V = 5\,\text{V}$, $i(0) = 0$. Encontre $i(t)$ e $\tau = L/R$.

Reator CSTR: vazão $Q = 2\,\text{L/min}$, volume $V = 100\,\text{L}$, concentração de entrada $c_{in} = 5\,\text{g/L}$, $c(0) = 0$. Encontre $c(t)$.

Termômetro a $20\,\text{°C}$ imerso em água a $80\,\text{°C}$. Constante de tempo $\tau = 30\,\text{s}$. Quando marca $70\,\text{°C}$?

Conta corrente: saldo inicial nulo, rende $r = 5\%$ ao ano (contínuo) e recebe aporte contínuo de R$ 12 000/ano. Calcule o saldo após 10 anos.

Aquecedor: $\dot T = -k(T - T_{\text{amb}}) + P/C$, com $k = 0{,}1\,\text{min}^{-1}$, $T_{\text{amb}} = 20\,\text{°C}$, $P/C = 5\,\text{°C/min}$, $T(0) = 20\,\text{°C}$. Calcule $T_\infty$ e o tempo para atingir 90% de $T_\infty$.

Filtro RC passa-baixas com entrada $u(t) = \sin(\omega t)$. Calcule a amplitude da resposta estacionária para $\omega\tau = 0{,}1$, $\omega\tau = 1$ e $\omega\tau = 10$.

Tanque de 200 L contém 50 g de sal. Entra salmoura a 2 g/L a 4 L/min; sai mistura a 4 L/min. Quantidade de sal após 1 hora.

Mostre que, se $p$ e $q$ são contínuas em $I$, o PVI $y' + p\,y = q$, $y(x_0) = y_0$ tem solução única.

O fator integrante é único a menos de constante multiplicativa — isso afeta a solução final?

Enuncie o princípio da superposição para $\mathcal{L}y = y' + p\,y$.

Equação de Bernoulli: $y' + y = y^2$. Faça $u = 1/y$ para linearizar e resolva.

Resolva $y' + y\tan x = \sec x$ via variação de parâmetros e confirme que o resultado coincide com o do fator integrante.

Equação de Riccati: $y' = y^2 - 2xy + x^2 - 1$. Verifique que $y_1 = x + 1$ é solução particular e use a substituição $y = x + 1 + 1/v$ para reduzir a uma linear em $v$.

Demonstre rigorosamente que $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ transforma $y' + py = q$ em $(\mu y)' = \mu q$ e deduza a fórmula de solução geral.

Demonstre que $y(x) = \int_{x_0}^{x} G(x,s)\,q(s)\,ds$, com $G(x,s) = e^{-\int_s^x p(t)\,dt}$, resolve $y' + py = q$, $y(x_0) = 0$.