v1 · padrão canônico

Lição 96 — Vibrações mecânicas: massa-mola-amortecedor

m x'' + c x' + k x = F(t). Frequência natural, amortecimento, ressonância. Subamortecido, crítico, superamortecido.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · Leistungskurs alemão Klasse 12 · University Physics (global)

m\ddot x + c\dot x + kx = F(t) \quad\Longleftrightarrow\quad \ddot x + 2\zeta\omega_0\dot x + \omega_0^2 x = \frac{F(t)}{m}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Vollständiger Osszillator — vier Regime

Charakteristisches Polynom und Regime

$\lambda^2 + 2\zeta\omega_0\lambda + \omega_0^2 = 0$ . Diskriminante: $\Delta = 4\omega_0^2(\zeta^2 - 1)$ .

Theorem· Vier Regime des Osszillators

Ungedämpft ( $c = 0$ , $\zeta = 0$ ): $\lambda = \pm i\omega_0$ . $x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)$

Unterdämpft ( $0 < \zeta < 1$ ): $\lambda = -\zeta\omega_0 \pm i\omega_d$ , mit $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ . $x(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$

Kritisch gedämpft ( $\zeta = 1$ ): Doppelwurzel $\lambda = -\omega_0$ . $x(t) = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}$

Überdämpft ( $\zeta > 1$ ): $\lambda_{1,2} = \omega_0(-\zeta \pm \sqrt{\zeta^2-1}) < 0$ . $x(t) = Ae^{\lambda_1 t} + Be^{\lambda_2 t}$

"The most important case is $b^2 - 4km < 0$ , which occurs when the damping is small... In this case the solution oscillates with exponentially decaying amplitude." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.4

Erzwungene harmonische Antwort

Für $F(t) = F_0\cos\omega t$ : Partikulärlösung (Stationärzustand)

$x_p(t) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + 4\zeta^2\omega_0^2\omega^2}}\cos(\omega t - \phi)$

wobei $\tan\phi = 2\zeta\omega_0\omega/(\omega_0^2 - \omega^2)$ .

Qualitativer Diagramm der Regime

Freie Antwort ( $F = 0$ , $x(0) = x_0 > 0$ , $\dot x(0) = 0$ ): unterdämpft oszilliert während es abklingt; kritisch und über konvergieren monoton.

Gelöste Beispiele

Example— 1· Freier unterdämpfter Osszillator mit Anfangsbedingungen

Problem. $m = 1\,\text{kg}$ , $k = 4\,\text{N/m}$ , $c = 2\,\text{N.s/m}$ . $x(0) = 1\,\text{m}$ , $\dot x(0) = 0$ . Finde $x(t)$ .

Strategie. Berechne $\omega_0$ , $\zeta$ , identifiziere das Regime, löse das AWP.

Lösung.

$\omega_0 = \sqrt{4/1} = 2$ rad/s. $\zeta = 2/(2\sqrt{1 \cdot 4}) = 2/4 = 0{,}5$ . Da $\zeta < 1$ : unterdämpft.

$\omega_d = 2\sqrt{1-0{,}25} = 2\sqrt{0{,}75} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ rad/s.

$x(t) = e^{-t}(A\cos\sqrt{3}\,t + B\sin\sqrt{3}\,t)$ .

AB: $x(0) = A = 1$ . $\dot x(0) = -A + \sqrt{3}\,B = 0 \Rightarrow B = 1/\sqrt{3}$ .

$x(t) = e^{-t}\!\left(\cos\sqrt{3}\,t + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\sqrt{3}\,t\right)$

Verifikation. Die Amplitude klingt mit $e^{-t}$ ab und oszilliert mit $\omega_d = \sqrt{3}$ . Bei $t = 0$ : $x = 1$ . $\dot x(0) = -1 + \sqrt{3}/\sqrt{3} = -1 + 1 = 0$ . Korrekt.

Quelle. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.4, Example 2.4.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Kritische Dämpfung

Problem. $m = 1\,\text{kg}$ , $k = 9\,\text{N/m}$ , $c$ kritisch gewählt. $x(0) = 2\,\text{m}$ , $\dot x(0) = -6\,\text{m/s}$ .

Strategie. $c_c = 2\sqrt{mk} = 6$ . $\zeta = 1$ . $\lambda = -\omega_0 = -3$ .

Lösung.

$x(t) = (A + Bt)e^{-3t}$ .

$x(0) = A = 2$ . $\dot x(0) = B - 3A = -6 \Rightarrow B = -6 + 6 = 0$ .

$x(t) = 2e^{-3t}$

Das System kehrt exponentiell rein zum Gleichgewicht zurück, ohne zu oszillieren.

Verifikation. $\dot x = -6e^{-3t}$ , $\ddot x = 18e^{-3t}$ . $\ddot x + 6\dot x + 9x = 18 - 36 + 18 = 0$ . Korrekt.

Quelle. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.4, Example 2.4.2 — CC-BY-SA.

Example— 3· Sinusförmige Erregung und stationärer Zustand

Problem. $\ddot x + 2\dot x + 5x = 10\cos 2t$ . Finde die vollständige Lösung mit $x(0) = 0$ , $\dot x(0) = 0$ .

Strategie. $y_h$ mit Wurzeln $-1 \pm 2i$ ; $y_p$ mit Koeffizienten zu bestimmen.

Lösung.

$y_h = e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)$ .

Ansatz: $x_p = A\cos 2t + B\sin 2t$ .

$x_p'' = -4A\cos 2t - 4B\sin 2t$ , $x_p' = -2A\sin 2t + 2B\cos 2t$ .

Einsetzen: $(5A - 4A + 4B)\cos 2t + (5B - 4B - 4A)\sin 2t = 10\cos 2t$ .

$(A + 4B)\cos 2t + (B - 4A)\sin 2t = 10\cos 2t$ .

System: $A + 4B = 10$ , $B - 4A = 0 \Rightarrow B = 4A$ . Dann $A + 16A = 10 \Rightarrow A = 10/17$ , $B = 40/17$ .

$x = e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) + \frac{10}{17}\cos 2t + \frac{40}{17}\sin 2t$ .

AB $x(0) = 0$ : $C_1 + 10/17 = 0 \Rightarrow C_1 = -10/17$ .

$\dot x(0) = 0$ : $-C_1 + 2C_2 + 80/17 = 0 \Rightarrow C_2 = -50/17$ .

$x(t) = \frac{e^{-t}}{17}(-10\cos 2t - 50\sin 2t) + \frac{10\cos 2t + 40\sin 2t}{17}$

Verifikation. Bei $t \to \infty$ : $x \to x_p = (10\cos 2t + 40\sin 2t)/17$ — der stationäre Zustand. Amplitude = $10\sqrt{1+16}/17 = 10\sqrt{17}/17 = 10/\sqrt{17} \approx 2{,}43$ m.

Quelle. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.6, Example 2.6.1 — CC-BY-SA.

Example— 4· Reine Resonanz

Problem. $\ddot x + \omega_0^2 x = F_0\cos\omega_0 t$ (ohne Dämpfung, Erregung bei Eigenfrequenz). Zeige, dass die Amplitude unbegrenzt wächst.

Strategie. $\omega = \omega_0$ ist die Resonanzfrequenz; Modifikationsregel.

Lösung.

$x_h = C_1\cos\omega_0 t + C_2\sin\omega_0 t$ .

Da $\cos\omega_0 t$ in $x_h$ ist, ist der Ansatz $x_p = t(A\cos\omega_0 t + B\sin\omega_0 t)$ .

$x_p'' = \omega_0^2 x_p \cdot (-) + (-2\omega_0 A\sin\omega_0 t + 2\omega_0 B\cos\omega_0 t)$ .

Einsetzen in $\ddot x + \omega_0^2 x = F_0\cos\omega_0 t$ :

$-2\omega_0 A\sin\omega_0 t + 2\omega_0 B\cos\omega_0 t = F_0\cos\omega_0 t$ .

Also $A = 0$ , $B = F_0/(2\omega_0)$ .

$x_p(t) = \frac{F_0}{2\omega_0} t\sin(\omega_0 t)$

Die Amplitude $\frac{F_0}{2\omega_0} t$ wächst linear — reine Resonanz.

Verifikation. $x_p = t\sin(\omega_0 t) \cdot F_0/(2\omega_0)$ . Ableiten und Einsetzen bestätigt die Gleichung.

Quelle. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.6, Example 2.6.2 — CC-BY-SA.

Example— 5· Überdämpft: Einschwingzeit

Problem. $m = 2\,\text{kg}$ , $k = 8\,\text{N/m}$ , $c = 12\,\text{N.s/m}$ . $x(0) = 0{,}1\,\text{m}$ , $\dot x(0) = 0$ . Berechne $\zeta$ , die Lösung $x(t)$ und die Zeit für $|x| < 0{,}01\,\text{m}$ .

Strategie. $\omega_0 = 2$ , $\zeta = 12/(2\sqrt{16}) = 12/8 = 1{,}5$ : überdämpft.

Lösung.

$\lambda_{1,2} = 2(-1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25-1}) = 2(-1{,}5 \pm \sqrt{1{,}25}) = -3 \pm \sqrt{5}$ .

$\lambda_1 \approx -3 + 2{,}236 = -0{,}764$ ; $\lambda_2 \approx -5{,}236$ .

$x(t) = Ae^{-0{,}764t} + Be^{-5{,}236t}$ .

AB: $A + B = 0{,}1$ ; $-0{,}764A - 5{,}236B = 0$ .

Lösen: $B = -0{,}764A/5{,}236$ . Dann $A(1 + 0{,}764/5{,}236) = 0{,}1 \Rightarrow A \approx 0{,}0838$ , $B \approx 0{,}0162$ .

Für $|x| < 0{,}01$ : dominiert von $Ae^{-0{,}764t} < 0{,}01 \Rightarrow t > \ln(A/0{,}01)/0{,}764 \approx \ln(8{,}38)/0{,}764 \approx 2{,}75$ s.

Verifikation. $x(0) = A + B \approx 0{,}1$ . $\dot x(0) = -0{,}764A - 5{,}236B \approx -0{,}064 + 0{,}085 \approx 0$ . Korrekt.

Quelle. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.4, Exercise 2.4.4 — CC-BY-SA.

Exercise list

24 exercises · 6 with worked solution (25%)

Application 12Understanding 2Modeling 5Challenge 3Proof 2

Ex. 96.1Application
Feder ohne Dämpfung: $m = 1\,\text{kg}$ , $k = 4\,\text{N/m}$ . Berechne $\omega_0$ , Periode und schreibe die allgemeine Lösung auf.
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Ex. 96.2Application
$m = 1\,\text{kg}$ , $k = 16\,\text{N/m}$ . Klassifiziere das Regime für: (a) $c = 2$ , (b) $c = 8$ , (c) $c = 10$ .
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Ex. 96.3ApplicationAnswer key
$\ddot x + 6\dot x + 9x = 0$ , $x(0) = 1$ , $\dot x(0) = -1$ . Klassifiziere und löse.
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Ex. 96.4Application
$\ddot x + 4\dot x + 8x = 0$ , $x(0) = 3$ , $\dot x(0) = 0$ . Löse und berechne $\omega_d$ .
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Ex. 96.5Application
$\ddot x + 6\dot x + 5x = 0$ , $x(0) = 2$ , $\dot x(0) = -4$ . Überdämpft — löse.
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Ex. 96.6Application
$\ddot x + 4x = \cos t$ (ohne Dämpfung). Berechne die Amplitude des stationären Zustands.
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Ex. 96.7Application
Löse $\ddot x + 4x = 2\cos 3t$ .
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Ex. 96.8ApplicationAnswer key
Reine Resonanz: löse $\ddot x + 4x = \cos 2t$ . Was passiert mit der Amplitude?
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Ex. 96.9Application
Löse $\ddot x + 2\dot x + 5x = 5\cos t$ .
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Ex. 96.10ApplicationAnswer key
In einem Vibrationstest messen zwei aufeinanderfolgende Spitzen $x_1 = 1{,}20$ m und $x_2 = 0{,}89$ m. Berechne das logarithmische Dekrement und den Dämpfungsfaktor $\zeta$ .
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Ex. 96.11Modeling
Federung im Auto: $m = 100\,\text{kg}$ , $k = 50000\,\text{N/m}$ , $c = 2000\,\text{N.s/m}$ . Berechne $\omega_0$ , $c_c$ und $\zeta$ . Ist sie unter oder überdämpft?
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Ex. 96.12Modeling
$m = 1\,\text{kg}$ , $k = 100\,\text{N/m}$ , $c = 2$ N.s/m. Berechne $\omega_0$ , $\zeta$ , Spitzenfrequenz und Verstärkungsfaktor.
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Ex. 96.13Modeling
Pendel der Länge $L = 1\,\text{m}$ . Berechne $\omega_0$ und die Periode $T$ . (Verwende $g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$ .)
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Ex. 96.14Modeling
Vibrationsisolation: um eine Maschine von 4 Hz Vibration (vom Fußboden) zu isolieren, welche Höchstfrequenz sollte der Träger haben?
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Ex. 96.15Modeling
RLC-Reihenschaltung: $L = 0{,}01\,\text{H}$ , $C = 100\,\mu\text{F}$ , $R = 10\,\Omega$ . Berechne $\omega_0$ und $Q$ .
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Ex. 96.16Understanding
Wie verhält sich die gedämpfte Frequenz $\omega_d$ zur Eigenfrequenz $\omega_0$ im unterdämpften Regime?
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Ex. 96.17Understanding
In der Regelungstechnik, wann bevorzugt man kritische Dämpfung gegenüber unterdämpfter?
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Ex. 96.18Application
Zwei Federn mit $k_1 = 200\,\text{N/m}$ und $k_2 = 300\,\text{N/m}$ in Reihe mit Masse $m = 5\,\text{kg}$ verbunden. Berechne $k_{\text{eq}}$ und $\omega_0$ .
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Ex. 96.19Application
Für den gedämpften Osszillator mit $F = F_0\cos\omega t$ , schreibe die Formel für Amplitude und Phase des stationären Zustands auf.
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Ex. 96.20ChallengeAnswer key
Vergleiche die Antwort bei $\omega = \omega_0$ für (a) $\zeta = 0$ und (b) $\zeta = 0{,}05$ . Welche maximale Amplitude hat jeder Fall?
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Ex. 96.21ChallengeAnswer key
Schwebung: $\ddot x + 4x = \cos 2{,}1t$ , $x(0) = 0$ , $\dot x(0) = 0$ . Berechne die Schwebungsfrequenz und skizziere qualitativ die Lösung.
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Ex. 96.22Challenge
Wende Variation der Parameter auf den unterdämpften Osszillator $\ddot x + 2\dot x + 5x = e^{-t}\sin t$ an.
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Ex. 96.23ProofAnswer key
Zeige, dass die Gesamtenergie $E = \frac{1}{2}m\dot x^2 + \frac{1}{2}kx^2$ des gedämpften Osszillators ( $c > 0$ ) streng fallend ist.
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Ex. 96.24Proof
Nutze Abels Theorem, um zu zeigen, dass die Wronskian von $y_1 = e^{-\zeta\omega_0 t}\cos\omega_d t$ und $y_2 = e^{-\zeta\omega_0 t}\sin\omega_d t$ immer nicht-null ist ( $0 < \zeta < 1$ ).
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Quellen

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §2.4–2.6 · EN · CC-BY-SA. Primärquelle.
University Physics Volume 1 — OpenStax · §15.4–15.6 · EN · CC-BY.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §6.1–6.2 · EN · offen.