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Lição 97 — Circuitos RLC

Equação diferencial do circuito RLC série — análogo elétrico do massa-mola. Resposta livre, forçada e ressonância.

Used in: Spécialité Maths Terminale (França) · Leistungskurs Physik Klasse 12 (Alemanha) · H3 Mathematics (Singapura)

L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = V(t)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Rigorose Herleitung und Klassifikation

Kirchhoffsches Spannungsgesetz

In einer RLC-Reihenschaltung mit einer Quelle $V(t)$ entspricht die Summe der Spannungsabfälle der Quelle:

$V_L + V_R + V_C = V(t)$

Mit $V_L = L\,\dot I$ , $V_R = RI$ , $V_C = Q/C$ und $I = \dot Q$ :

L\,\ddot{Q} + R\,\dot{Q} + \frac{Q}{C} = V(t)

what this means · Differenzialgleichung der RLC-Schaltung — lineare gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

"The equation $LQ'' + RQ' + Q/C = V(t)$ is the standard form of the RLC circuit equation and has exactly the same mathematical form as the damped mass-spring system $mx'' + cx' + kx = F(t)$ , with $L$ playing the role of mass, $R$ the damping constant, and $1/C$ the spring constant." — Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6

Tabelle der elektromechanischen Analogie

Vollständige elektromechanische Analogie. Jede Lösungstechnik für das Masse-Feder-System überträgt sich direkt auf die RLC-Schaltung.

Klassifikation nach der charakteristischen Gleichung

Homogene Gleichung ( $V = 0$ ): $L\lambda^2 + R\lambda + 1/C = 0$ .

$\Delta = R^2 - 4L/C$

Definition· Drei Freiheitsgrade der Freigang-Antwort

Übergedämpft ( $\zeta > 1$ , $\Delta > 0$ ): zwei negative reelle Nullstellen. Langsame exponentielle Rückkehr zum Gleichgewicht. $Q_h(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$
Kritisch gedämpft ( $\zeta = 1$ , $\Delta = 0$ ): doppelte Nullstelle $\lambda = -R/(2L)$ . Schnellere Rückkehr ohne Oszillation. $Q_h(t) = (C_1 + C_2 t)\,e^{\lambda t}$
Untergedämpft ( $\zeta < 1$ , $\Delta < 0$ ): $\lambda = -\zeta\omega_0 \pm i\omega_d$ . Gedämpfte Oszillation. $Q_h(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}\bigl(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t\bigr)$

Stationäre Antwort (erzwungen)

Für $V(t) = V_0\cos(\omega t)$ , besondere Lösung:

$Q_p(t) = \frac{V_0/L}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}\cos(\omega t - \phi)$

mit $\tan\phi = \dfrac{2\zeta\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$ .

Gelöste Beispiele

Example— 97.1· Regime-Klassifikation — Komponentendaten

Problem. RLC-Reihenschaltung: $L = 1$ H, $R = 6$ $\Omega$ , $C = 1/8$ F. Klassifizieren Sie das Regime und schreiben Sie die allgemeine homogene Lösung auf.

Strategie. Berechnen Sie $\Delta = R^2 - 4L/C$ ; identifizieren Sie das Regime; schreiben Sie $Q_h$ .

Lösung.

$\Delta = 36 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 > 0$ — übergedämpft.

Charakteristische Gleichung: $\lambda^2 + 6\lambda + 8 = 0 \Rightarrow \lambda = (-6 \pm 2)/2$ , also $\lambda_1 = -2$ , $\lambda_2 = -4$ .

$Q_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-4t}$

Verifikation. $Q_h' = -2C_1 e^{-2t} - 4C_2 e^{-4t}$ , $Q_h'' = 4C_1 e^{-2t} + 16C_2 e^{-4t}$ . Einsetzen in $Q'' + 6Q' + 8Q$ : Koeffizient von $e^{-2t}$ : $4C_1 - 12C_1 + 8C_1 = 0$ ✓. Koeffizient von $e^{-4t}$ : $16C_2 - 24C_2 + 8C_2 = 0$ ✓.

Quelle. Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Example 2.6.1 — CC-BY-SA

Example— 97.2· Untergedämpftes Regime mit Anfangsbedingungen

Problem. $L = 1$ H, $R = 2$ $\Omega$ , $C = 1/2$ F, $V = 0$ . Bedingungen: $Q(0) = 1$ C, $I(0) = 0$ A. Finden Sie $Q(t)$ .

Strategie. Berechnen Sie $\Delta$ , identifizieren Sie untergedämpftes Regime, wenden Sie Anfangsbedingungen an, um $C_1, C_2$ zu bestimmen.

Lösung.

$\Delta = 4 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ — untergedämpft.

$\lambda = -1 \pm i$ , also $\alpha = 1$ , $\omega_d = 1$ .

$Q_h(t) = e^{-t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$

AB: $Q(0) = C_1 = 1$ .

$\dot Q = e^{-t}[(-C_1 + C_2\omega_d)\cos t + (-C_2 - C_1\omega_d)\sin t]$ ... mit $\omega_d = 1$ :

$\dot Q(0) = -C_1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 1$ .

$Q(t) = e^{-t}(\cos t + \sin t) = \sqrt{2}\,e^{-t}\cos\!\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$

Verifikation. $Q(0) = 1$ ✓; $\dot Q(0) = -1 + 1 = 0$ ✓. Amplitude fällt wie $\sqrt{2}e^{-t}$ ✓.

Quelle. Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Exercise 2.6.2 — CC-BY-SA

Example— 97.3· Erzwungene Antwort — stationärer Zustand

Problem. $L = 0{,}1$ H, $R = 10$ $\Omega$ , $C = 10^{-3}$ F, $V(t) = 50\cos(100t)$ V. Finden Sie den stationären Strom $I_p(t) = \dot Q_p$ .

Strategie. Berechnen Sie $Z(j\omega)$ und verwenden Sie $\hat I = \hat V/Z$ .

Lösung.

$\omega = 100$ rad/s. $\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}1 \times 10^{-3}} = 100$ rad/s — Resonanz!

$Z(j100) = 10 + j(100 \times 0{,}1 - 1/(100 \times 10^{-3})) = 10 + j(10 - 10) = 10$ $\Omega$ .

$I_p(t) = \frac{50}{10}\cos(100t) = 5\cos(100t)$ A.

Bei Resonanz ist die Impedanz rein ohmscher und der Strom erreicht den Maximalwert.

Verifikation. $|Z|_{\omega=100} = 10$ $\Omega$ ✓; $I_{\max} = V_0/R = 50/10 = 5$ A ✓.

Quelle. OpenStax University Physics Vol. 2, §14.5 Example 14.5 — CC-BY

Example— 97.4· Gütefaktor und Bandbreite

Problem. AM-Radioempfänger: $L = 0{,}5$ mH, $C = 25$ pF, $R = 5$ $\Omega$ . Berechnen Sie $f_0$ , $Q_f$ und $\Delta f$ (Bandbreite).

Strategie. Wenden Sie die Formeln für $f_0$ , $Q_f$ und Bandbreite direkt an.

Lösung.

$\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}5 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-12}} = 1/\sqrt{1{,}25 \times 10^{-14}} \approx 8{,}94 \times 10^6$ rad/s.

$f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 1{,}42$ MHz (AM-Bereich).

$Q_f = \omega_0 L/R = (8{,}94 \times 10^6 \times 0{,}5 \times 10^{-3})/5 = 4470/5 = 894$ .

$\Delta f = f_0/Q_f = 1{,}42 \times 10^6/894 \approx 1{,}59$ kHz.

AM-Kanal hat 10 kHz Breite — $Q_f = 894$ ist zu selektiv für AM, aber angemessen für FM-Stereo.

Verifikation. $\zeta = 1/(2Q_f) = 1/1788 \approx 5{,}6 \times 10^{-4} \ll 1$ — stark untergedämpft ✓.

Quelle. OpenStax University Physics Vol. 2, §14.6 — CC-BY

Example— 97.5· LC-Schaltung ohne Widerstand — reine Oszillation

Problem. $L = 4$ H, $C = 1/16$ F, $R = 0$ , $V = 0$ . $Q(0) = 0$ , $I(0) = 2$ A. Finden Sie $Q(t)$ und die Gesamtenergie.

Strategie. Ungedämpfter Fall: $\ddot Q + \omega_0^2 Q = 0$ , allgemeine Lösung Sinus/Cosinus.

Lösung.

$\omega_0 = 1/\sqrt{4 \times 1/16} = 1/\sqrt{1/4} = 2$ rad/s.

$Q(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t)$ .

$Q(0) = A = 0 \Rightarrow Q(t) = B\sin(2t)$ .

$\dot Q(0) = 2B = 2 \Rightarrow B = 1$ .

$Q(t) = \sin(2t), \quad I(t) = 2\cos(2t)$

Energie: $E = \frac{1}{2}L I^2 + \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}(4)(4\cos^2 2t) + \frac{\sin^2 2t}{2(1/16)} = 8\cos^2 2t + 8\sin^2 2t = 8$ J (konstant ✓).

Quelle. Trench, Elementary Differential Equations §6.2, Exercise 6.2.3 — offen

Exercise list

34 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 4Modeling 9Challenge 1Proof 2

Ex. 97.1ApplicationAnswer key
RLC-Schaltung mit $L = 1$ H, $R = 4$ $\Omega$ , $C = 1/4$ F, $V = 0$ . Identifizieren Sie das Regime und schreiben Sie die allgemeine homogene Lösung auf.
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Ex. 97.2Application
$L = 1$ H, $R = 1$ $\Omega$ , $C = 1/2$ F, $V = 0$ . Klassifizieren und schreiben Sie $Q_h$ .
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Ex. 97.3Application
$L = 1$ H, $R = 2$ $\Omega$ , $C = 1/2$ F, $V = 0$ , $Q(0) = 1$ C, $I(0) = 2$ A. Lösen Sie das Anfangswertproblem.
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Ex. 97.4ApplicationAnswer key
Berechnen Sie die Eigenfrequenz $\omega_0$ und $f_0$ einer LC-Schaltung mit $L = 2$ H und $C = 0{,}02$ F.
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Ex. 97.5ApplicationAnswer key
Welche Bedingung auf $R$ , $L$ und $C$ garantiert kritische Dämpfung?
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Ex. 97.6Application
$L = 0{,}1$ H, $R = 10$ $\Omega$ , $C = 10^{-3}$ F. Berechnen Sie $\zeta$ und klassifizieren Sie das Regime.
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Ex. 97.7ApplicationAnswer key
$V_0 = 100$ V, $R = 20$ $\Omega$ . Welcher Maximalstrom tritt bei Resonanz auf?
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Ex. 97.8Application
$L = 10$ mH, $C = 100$ $\mu$ F, $R = 5$ $\Omega$ . Berechnen Sie den Gütefaktor $Q_f$ und die Bandbreite.
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Ex. 97.9Application
Zu einem bestimmten Zeitpunkt: $L = 0{,}5$ H, $I = 4$ A, $C = 1$ $\mu$ F, $Q = 2$ mC. Berechnen Sie die gespeicherte Gesamtenergie.
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Ex. 97.10Application
$L = 1$ H, $R = 6$ $\Omega$ , $C = 1/8$ F, $V = 0$ , $Q(0) = Q_0$ , $I(0) = 0$ . Skizzieren Sie die Lösung $Q(t)$ und erklären Sie, warum sie nicht oszilliert.
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Ex. 97.11Application
$\omega_0 = 4$ rad/s, $\zeta = 0{,}5$ . Berechnen Sie die gedämpfte Oszillationsfrequenz $\omega_d$ .
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Ex. 97.12Application
Untergedämpfte Schaltung mit $\alpha = 1$ s $^{-1}$ und $\omega_d = 3$ rad/s. Welche Oszillationsperiode und um welchen Faktor fällt die Amplitude pro Zyklus?
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Ex. 97.13ModelingAnswer key
Leiten Sie den allgemeinen Ausdruck für die spezielle Lösung $Q_p(t)$ für $V(t) = V_0\cos(\omega t)$ her.
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Ex. 97.14Modeling
Für $V(t) = 120\cos(2\pi \times 60\,t)$ V und $|Z| = 40$ $\Omega$ mit Phasenwinkel 30 Grad, berechnen Sie die durchschnittliche dissipierte Leistung.
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Ex. 97.15Modeling
AM-Radio: $L = 0{,}25$ mH. Welche Kapazität stimmt 1000 kHz ab?
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Ex. 97.16Modeling
RC-Filter: $R = 10$ k $\Omega$ , $C = 10$ $\mu$ F, $V_s = 5$ V. Wie lange bis $V_C = 3{,}16$ V?
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Ex. 97.17ModelingAnswer key
RL-Schaltung: $L = 2$ H, $R = 4$ $\Omega$ , DC-Quelle $V_0 = 12$ V, $I(0) = 0$ . Finden Sie $I(t)$ und den stationären Strom.
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Ex. 97.18ModelingAnswer key
Ideale LC-Schaltung ( $R = 0$ ) mit $L = 0{,}1$ H, $C = 100$ pF, $I(0) = 5$ mA, $Q(0) = 0$ . Welche maximale Ladung sitzt am Kondensator?
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Ex. 97.19Understanding
Was passiert mit der Amplitude der erzwungenen Antwort einer LC-Schaltung (ohne Widerstand), wenn $\omega \to \omega_0$ ?
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Ex. 97.20Understanding
Um die Periode der freien Oszillation einer untergedämpften RLC-Schaltung zu erhöhen, was sollte man tun?
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Ex. 97.21Understanding
Welcher ist der korrekte Ausdruck für den Gütefaktor $Q_f$ und was bedeutet er physikalisch?
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Ex. 97.22UnderstandingAnswer key
In der elektromechanischen Analogie zwischen der RLC-Schaltung und dem Masse-Feder-System, welcher elektrischen Komponente entspricht die Masse $m$ ?
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Ex. 97.23Application
Finden Sie die Pole der RLC-Schaltung mit $R = 5$ $\Omega$ , $L = 0{,}5$ H, $C = 0{,}02$ F. Stellen Sie sie in der komplexen Ebene dar.
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Ex. 97.24Application
$R = 10$ $\Omega$ , $L = 0{,}1$ H, $C = 100$ $\mu$ F, $f = 50$ Hz. Berechnen Sie die Impedanz $|Z|$ .
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Ex. 97.25Application
Untergedämpfte RLC-Schaltung mit $L = 1$ H, $R = 2$ $\Omega$ . In welcher Zeit fällt die Amplitude der freien Oszillation auf die Hälfte?
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Ex. 97.26Application
ODE: $\ddot Q + 6\dot Q + 25Q = 0$ , $Q(0) = 0$ , $\dot Q(0) = 2$ . Lösen Sie.
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Ex. 97.27Application
$\ddot Q + 4\dot Q + 13Q = 0$ . Finden Sie die allgemeine Lösung und die Frequenz der gedämpften Oszillation.
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Ex. 97.28Modeling
Zeigen Sie, dass die RLC-Schaltung mit $L, R, C > 0$ und $V = 0$ immer asymptotisch stabil ist (alle Transiente zerfallen auf null).
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Ex. 97.29Modeling
Warum konvergiert die vollständige Antwort einer RLC-Schaltung mit $R > 0$ immer zum stationären Zustand $Q_p$ unabhängig von den Anfangsbedingungen?
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Ex. 97.30Modeling
FM-Empfänger (88–108 MHz), $L = 0{,}1$ mH. Welcher Bereich von Kapazitäten ist erforderlich? Diskutieren Sie die Machbarkeit.
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Ex. 97.31Application
$\ddot Q + 4\dot Q + 13Q = 10\cos(2t)$ . Finden Sie die spezielle Lösung mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten.
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Ex. 97.32Challenge
Zeigen Sie, dass die Spannung am Kondensator einer RLC-Schaltung bei Resonanz die Quellenspannung um einen Faktor $Q_f$ übersteigen kann. Berechnen Sie für $Q_f = 100$ , $V_0 = 5$ V.
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Ex. 97.33Proof
Zeigen Sie, dass die durchschnittliche von einer RLC-Schaltung mit sinusförmiger Quelle dissipierte Leistung bei Resonanz maximal und gleich $V_0^2/(2R)$ ist.
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Ex. 97.34Proof
Beweisen Sie, dass die Energie $E(t) = \frac{1}{2}LI^2 + \frac{Q^2}{2C}$ in der freien RLC-Schaltung ( $V = 0$ , $R > 0$ ) monoton nicht-wachsend ist.
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Quellen

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Version 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — Primäre Referenz; §2.6 behandelt RLC als Anwendung von ODEs zweiter Ordnung.
Trench, William F. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. Brooks-Cole (offen). digitalcommons.trinity.edu/mono/9 — Kap. 6 behandelt RL-, RC- und RLC-Schaltungen mit klassischer Herangehensweise.
OpenStax. University Physics Volume 2. CC-BY. openstax.org/details/books/university-physics-volume-2 — §14.5–14.6: Resonanz, Gütefaktor, Bandbreite, physikalische Perspektive.