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Lição 98 — Método de Euler (numérico)

Método de Euler explícito para EDOs: discretização, erro local O(h²), erro global O(h), implementação e comparação com Runge-Kutta.

Used in: Cálculo Numérico (UFRGS, USP, UNICAMP) · Spécialité Maths Terminale (França) · Mathematics 4 (IIT-JEE Advanced, Índia)

y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,\, y_n), \quad x_{n+1} = x_n + h

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Herleitung und Fehleranalyse

Anfangswertproblem

Gegeben sei das AWP:

$y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$

Wir möchten $y(x)$ auf $x \in [x_0, X]$ ohne geschlossenen Ausdruck approximieren.

Diskretisierung

Unterteile das Intervall in $N$ gleiche Teilintervalle:

$h = \frac{X - x_0}{N}, \qquad x_n = x_0 + n\,h, \quad n = 0, 1, \ldots, N$

"The simplest numerical method for solving $y' = f(x,y)$ , $y(x_0) = y_0$ , is Euler's method. We replace $y'$ with the difference quotient $(y_{n+1} - y_n)/h$ and evaluate $f$ at $x_n$ : this gives $y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)$ ." — Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7

Fehleranalyse mittels Taylor-Reihe

Vergleich von Verfahren

Vergleich von Einschrittverfahren für DGLn. RK4 ist der Industriestandard für Genauigkeit; implizites Euler für steife Gleichungen.

Gelöste Beispiele

Example— 98.1· Euler in 4 Schritten — exponentielle DGL

Problem. Verwende das Euler-Verfahren mit $h = 0{,}1$ um $y(0{,}4)$ zu approximieren, gegeben $y' = -y$ , $y(0) = 1$ . Vergleiche mit dem exakten Wert.

Strategie. Wende die Rekurrenz $y_{n+1} = y_n + h(-y_n) = y_n(1-h)$ vier Mal an.

Lösung.

$n$	$x_n$	$y_n$	$f = -y_n$	$y_{n+1}$
0	0	1,0000	-1,0000	0,9000
1	0,1	0,9000	-0,9000	0,8100
2	0,2	0,8100	-0,8100	0,7290
3	0,3	0,7290	-0,7290	0,6561

$y_4 = 0{,}6561$ . Exakt: $e^{-0{,}4} \approx 0{,}6703$ . Relativer Fehler: $\approx 2{,}12\%$ .

Überprüfung. Jeden Schritt multiplizieren wir mit $(1-h) = 0{,}9$ , daher $y_4 = (0{,}9)^4 = 0{,}6561$ ✓. Der Fehler wächst mit $h$ — für $h = 0{,}05$ würde der Fehler auf $\approx 1{,}06\%$ fallen.

Quelle. Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7, Example 1.7.1 — CC-BY-SA

Example— 98.2· Euler in nichtlinearer Gleichung

Problem. Schätze $y(1)$ für $y' = y^2$ , $y(0) = 0{,}5$ , mit Euler mit $h = 0{,}25$ .

Strategie. Die exakte Lösung ist $y = 1/(2-x)$ (Blow-up bei $x = 2$ ). Mit 4 Schritten bis $x = 1$ .

Lösung.

$n=0$ : $f(0, 0{,}5) = 0{,}25$ . $y_1 = 0{,}5 + 0{,}25 \times 0{,}25 = 0{,}5625$ .

$n=1$ : $f(0{,}25, 0{,}5625) = 0{,}31641$ . $y_2 = 0{,}5625 + 0{,}25 \times 0{,}31641 = 0{,}6416$ .

$n=2$ : $f(0{,}5, 0{,}6416) = 0{,}4117$ . $y_3 = 0{,}6416 + 0{,}25 \times 0{,}4117 = 0{,}7445$ .

$n=3$ : $f(0{,}75, 0{,}7445) = 0{,}5543$ . $y_4 = 0{,}7445 + 0{,}25 \times 0{,}5543 = 0{,}8831$ .

Exakt: $y(1) = 1/(2-1) = 1$ . Fehler: $11{,}7\%$ .

Überprüfung. Der Fehler ist groß, weil $f = y^2$ wächst und die Tangenten die Kurve unterschätzen. Reduktion auf $h = 0{,}1$ (10 Schritte) würde auf $\approx 5{,}8\%$ reduzieren, was die Ordnung 1 bestätigt.

Quelle. OpenStax Calculus Volume 2, §4.2, Example 4.2 — CC-BY-NC-SA

Example— 98.3· Vergleich Euler gegen RK4

Problem. Für $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ , approximiere $y(0{,}2)$ mit $h = 0{,}1$ mit (a) Euler und (b) RK4. Exakte Lösung: $y = 2e^x - x - 1$ .

Strategie. Wende die Formeln jedes Verfahrens an und vergleiche Fehler.

Lösung.

Exakt: $y(0{,}2) = 2e^{0{,}2} - 0{,}2 - 1 \approx 2 \times 1{,}2214 - 1{,}2 = 1{,}2428$ .

(a) Euler:

$n=0$ : $f(0,1) = 1$ . $y_1 = 1 + 0{,}1 \times 1 = 1{,}1$ .

$n=1$ : $f(0{,}1, 1{,}1) = 0{,}1 + 1{,}1 = 1{,}2$ . $y_2 = 1{,}1 + 0{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}22$ .

Fehler Euler: $|1{,}2428 - 1{,}22| = 0{,}0228$ .

(b) RK4 (Schritt $n=0 \to n=1$ , $h=0{,}1$ ):

$k_1 = 0 + 1 = 1$ ; $k_2 = (0{,}05) + (1 + 0{,}05) = 1{,}1$ ; $k_3 = 0{,}05 + (1 + 0{,}05) = 1{,}1$ ; $k_4 = 0{,}1 + (1 + 0{,}1) = 1{,}2$ .

$y_1 = 1 + (0{,}1/6)(1 + 2{,}2 + 2{,}2 + 1{,}2) = 1 + 0{,}1 \times 1{,}1\overline{0}\approx 1{,}1103$ .

Fehler RK4 (zwei Schritte): $< 10^{-6}$ — um Größenordnungen besser als Euler.

Überprüfung. Fehlerquotient bei halbierter Schrittweite: Euler 2:1 (1. Ordnung); RK4 16:1 (4. Ordnung) ✓.

Quelle. REAMAT UFRGS, Cálculo Numérico §8.3 — CC-BY-SA

Example— 98.4· Implizites Euler — Stabilität in steifen Gleichungen

Problem. $y' = -100y$ , $y(0) = 1$ . Vergleiche explizites Euler mit $h = 0{,}03$ (instabil) und $h = 0{,}01$ (stabil).

Strategie. Analysiere $|1 + h\lambda|$ mit $\lambda = -100$ .

Lösung.

Verstärkungsfaktor explizites Euler: $r = 1 + h\lambda = 1 - 100h$ .

$h = 0{,}03$ : $r = 1 - 3 = -2$ . $|r| = 2 > 1$ — instabil: $y_n = (-2)^n \to \pm\infty$ .
$h = 0{,}01$ : $r = 1 - 1 = 0$ . $|r| = 0 < 1$ — stabil (an der Grenze), $y_n = 0$ in 1 Schritt (Überamortisierung).
$h = 0{,}02$ : $r = 1 - 2 = -1$ . $|r| = 1$ — schwankt ohne Dämpfung.

Stabilitätsbereich Euler: $h < 2/|\lambda| = 0{,}02$ für diese Gleichung. Die exakte Lösung $e^{-100x}$ zerfällt bei $x \sim 0{,}01$ — Schritte viel kleiner als die Interessenskala.

Überprüfung. Implizites Euler: $r_{imp} = 1/(1-h\lambda) = 1/(1+100h)$ . Für alle $h > 0$ : $|r_{imp}| < 1$ ✓ — immer stabil.

Quelle. REAMAT UFRGS, Cálculo Numérico §8.4 — CC-BY-SA

Example— 98.5· Euler für Systemvon DGLn — Oszillator

Problem. System $x' = v$ , $v' = -x$ (harmonischer Oszillator), AB: $x(0) = 1$ , $v(0) = 0$ , $h = 0{,}1$ , simuliere 3 Schritte.

Strategie. Wende Euler auf jede Komponente gleichzeitig an.

Lösung.

Zustand: $x_n$ , $v_n$ . Funktionen $f_1 = v$ und $f_2 = -x$ .

Schritt 0: $x_0 = 1$ , $v_0 = 0$ . Steigungen: $\dot x = 0$ , $\dot v = -1$ .

$x_1 = 1 + 0.1 \times 0 = 1$ ; $v_1 = 0 + 0.1 \times (-1) = -0.1$ .

Schritt 1: $x_1 = 1$ , $v_1 = -0.1$ . Steigungen: $\dot x = -0.1$ , $\dot v = -1$ .

$x_2 = 1 + 0.1 \times (-0.1) = 0.99$ ; $v_2 = -0.1 + 0.1 \times (-1) = -0.2$ .

Schritt 2: $x_2 = 0.99$ , $v_2 = -0.2$ . Steigungen: $\dot x = -0.2$ , $\dot v = -0.99$ .

$x_3 = 0.99 + 0.1 \times (-0.2) = 0.97$ ; $v_3 = -0.2 + 0.1 \times (-0.99) = -0.299$ .

Exakt bei $t = 0.3$ : $x = \cos(0.3) \approx 0.9553$ , $v = -\sin(0.3) \approx -0.2955$ . Euler überschätzt $x$ — konserviert Energie nicht. Das simplektische Euler löst das: berechne $v_{n+1}$ zuerst, dann verwende es für $x_{n+1}$ .

Quelle. Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7, Exercise 1.7.4 — CC-BY-SA

Exercise list

28 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 3Modeling 5Challenge 1Proof 2

Ex. 98.1Application
Verwende Euler mit $h = 0{,}5$ um $y(1)$ zu approximieren gegeben $y' = y^2$ , $y(0) = 0$ .
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Ex. 98.2Application
Verwende Euler mit $h = 0{,}1$ um $y(0{,}2)$ zu approximieren gegeben $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ . Vergleiche mit dem exakten Wert $y = 2e^x - x - 1$ .
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Ex. 98.3ApplicationAnswer key
Verwende Euler mit $h = 0{,}25$ um $y(1)$ zu approximieren gegeben $y' = -y$ , $y(0) = 1$ . Exakt: $e^{-1}$ .
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Ex. 98.4Application
Wiederhole Übung 98.3 mit $h = 0{,}1$ . Vergleiche die Fehler und überprüfe die Ordnung 1 des Verfahrens.
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Ex. 98.5Application
Verwende Euler mit $h = 0{,}5$ für $y' = 2x$ , $y(0) = 0$ , und schätze $y(2)$ . Vergleiche mit dem exakten Wert.
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Ex. 98.6Application
Verwende Euler mit $h = 0{,}2$ für $y' = y - x^2 + 1$ , $y(0) = 0{,}5$ , und schätze $y(0{,}4)$ .
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Ex. 98.7ApplicationAnswer key
Für $y' = y$ , $y(0) = 1$ , schätze den lokalen Fehler des Euler-Verfahrens mit $h = 0{,}1$ auf $[0, 1]$ .
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Ex. 98.8Application
Bestimme die maximale Schrittweite $h_{\max}$ für Stabilität des expliziten Euler in $y' = -2y$ .
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Ex. 98.9Application
Wende implizites Euler mit $h = 0{,}5$ für $y' = -y$ , $y(0) = 1$ , an und schätze $y(1)$ .
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Ex. 98.10ApplicationAnswer key
Wende das Heun-Verfahren (RK2) mit $h = 0{,}5$ für $y' = -y$ , $y(0) = 1$ , an und schätze $y(0{,}5)$ .
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Ex. 98.11Application
Für $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ : berechne die Fehler bei $y(0{,}2)$ mit Euler für $h = 0{,}1$ und $h = 0{,}05$ . Überprüfe die Ordnung 1.
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Ex. 98.12Application
Wie viele Euler-Schritte sind erforderlich für $y' = y$ , $y(0) = 1$ , mit globalem Fehler kleiner als $10^{-4}$ auf $[0, 1]$ ?
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Ex. 98.13ApplicationAnswer key
Simuliere den Oszillator $x'' + x = 0$ , $x(0) = 1$ , $x'(0) = 0$ mit Euler und $h = 0{,}1$ . Berechne $(x_1, v_1)$ , $(x_2, v_2)$ , $(x_3, v_3)$ .
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Ex. 98.14Application
Überprüfe, dass das Euler-Verfahren die Energie des Oszillators $x'' + x = 0$ nicht konserviert. Vergleiche mit symplektischem Euler.
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Ex. 98.15Modeling
$P' = 0{,}3P(1 - P/1000)$ , $P(0) = 100$ . Verwende Euler mit $h = 1$ um $P(12)$ zu schätzen (12 Monate). Skizziere den Graphen der berechneten Punkte.
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Ex. 98.16ModelingAnswer key
RLC-Stromkreis: $L = 1$ H, $R = 0{,}5$ Ω, $C = 1$ F, $Q(0) = 1$ , $I(0) = 0$ . Verwende Euler mit $h = 0{,}1$ um $Q(t)$ über 3 Schritte zu simulieren.
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Ex. 98.17Modeling
$T' = -0{,}1(T - 20)$ , $T(0) = 90$ °C. Verwende Euler mit $h = 5$ min um $T(10)$ zu schätzen.
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Ex. 98.18Modeling
Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren. Verwende Euler mit $h = 500$ Jahren um den verbleibenden Anteil nach 5000 Jahren zu schätzen.
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Ex. 98.19Understanding
Warum hat das Euler-Verfahren globalen Fehler $O(h)$ , wenn jeder Schritt lokalen Fehler $O(h^2)$ hat?
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Ex. 98.20Understanding
In welcher Situation wird das explizite Euler-Verfahren durch numerische Instabilität unpraktikabel?
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Ex. 98.21Understanding
Was ist der Hauptvorteil von RK4 gegenüber dem Euler-Verfahren?
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Ex. 98.22ApplicationAnswer key
Verwende Euler mit $h = \pi/4$ um $y(\pi/2)$ zu approximieren gegeben $y' = \cos x$ , $y(0) = 0$ . Vergleiche mit $\sin(\pi/2) = 1$ .
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Ex. 98.23Application
Verwende Euler mit $h = 0{,}5$ für $y' = \sqrt{y}$ , $y(0) = 1$ . Schätze $y(1)$ und vergleiche mit dem exakten $(1{,}5)^2 = 2{,}25$ .
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Ex. 98.24Application
Für $y' = \sqrt{y}$ , $y(0) = 1$ , vergleiche Euler und Heun (RK2) mit $h = 0{,}5$ um $y(0{,}5)$ zu schätzen. Exakt: $y(0{,}5) = (1{,}25)^2 = 1{,}5625$ .
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Ex. 98.25Modeling
Beschreibe, wie man die Ordnung eines numerischen Verfahrens experimentell überprüft, indem man Fehler für $h$ und $h/2$ vergleicht.
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Ex. 98.26Proof
Leite den lokalen Fehler des Euler-Verfahrens mittels Taylor-Reihe von $y(x_{n+1})$ um $x_n$ her.
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Ex. 98.27Proof
Leite die Stabilitätsregion des expliziten Euler-Verfahrens in der $h\lambda$ -Ebene her und zeige, dass es die Disk $|1 + h\lambda| < 1$ ist.
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Ex. 98.28ChallengeAnswer key
Wende RK4 mit $h = 0{,}1$ auf $y' = y$ , $y(0) = 1$ , an. Vergleiche den Fehler mit dem des Euler-Verfahrens und bestätige, dass RK4 4. Ordnung ist.
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Quellen

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Version 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — §1.7 behandelt das Euler-Verfahren mit Fehleranalyse mittels Taylor-Reihe.
UFRGS Reamat. Cálculo Numérico (Python-Version). CC-BY-SA. ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico — Kap. 8: Euler, Heun, RK4, Stabilität und Fehleranalyse auf Portugiesisch mit Python-Code.
OpenStax. Calculus Volume 2. CC-BY-NC-SA. openstax.org/details/books/calculus-volume-2 — §4.2: Richtungsfelder und Euler-Verfahren mit graphischer Interpretation.