Lição 99 — Lei de Newton do Resfriamento

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 22$ °C, $k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Schreiben Sie $T(t)$ auf und berechnen Sie $T(15)$.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $T(10) = 55$ °C. Bestimmen Sie $k$.

$T_0 = 5$ °C (kaltes Objekt), $T_{\text{amb}} = 25$ °C, $k = 0{,}06$ min$^{-1}$. Berechnen Sie $T(20)$.

$T_0 = 90$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Berechnen Sie die Halbwertzeit der Temperaturdifferenz und die Temperatur zu diesem Zeitpunkt.

$T_0 = 80$ °C, $T_{\text{amb}} = -10$ °C, $k = 0{,}03$ min$^{-1}$. Berechnen Sie $\tau$ und $T(\tau)$.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Wie lange dauert es, bis $T = 40$ °C erreicht wird?

$k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Wie lange dauert es, bis die Temperaturdifferenz auf weniger als 1 % des anfänglichen Werts fällt?

Leiche gefunden um 22 Uhr: $T = 33$ °C. $T_{\text{amb}} = 18$ °C, $T_{\text{normal}} = 37$ °C, $k = 0{,}06$ h$^{-1}$. Schätzen Sie die Todeszeit.

Behälter mit Flüssigkeit: $h = 20$ W/(m²K), $A = 0{,}04$ m², $m = 0{,}3$ kg, $c_p = 4000$ J/(kgK). Berechnen Sie $k$ und die Zeitkonstante $\tau$.

Leiten Sie die Formel für $k$ aus zwei Temperaturmessungen $T_1$ (zu $t_1$) und $T_2$ (zu $t_2$) mit bekanntem $T_{\text{amb}}$ her.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 25$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Verwenden Sie Euler mit $h = 5$ min, um $T(15)$ zu schätzen, und vergleichen Sie mit dem exakten Wert.

Die Temperaturdifferenz zwischen Objekt und Umgebung fällt in 10 min von 80 °C auf 40 °C. Wie lange dauert es danach zusätzlich, bis sie von 40 auf 20 °C fällt?

Zeigen Sie, dass wenn $T_0 = T_{\text{amb}}$, die Lösung konstant ist. Interpretieren Sie dies physikalisch.

Milch: $T_0 = 72$ °C, $T_{\text{amb}}^{\text{kalt}} = 0$ °C, $k = 0{,}15$ s$^{-1}$. Wie lange dauert es, auf 4 °C abzukühlen?

Forensischer Fall. Leiche gefunden um 23 Uhr mit $T = 30$ °C. $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}07$ h$^{-1}$. Schätzen Sie die Todeszeit. Diskutieren Sie die Unsicherheiten der Methode.

Objekt mit konstanter interner Wärmequelle: $T' = -k(T - T_a) + H$, wobei $H = Q/(mc_p)$. Mit $T_a = 22$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$, $H = 5$ °C/min. Was ist die Gleichgewichtstemperatur?

Sich erwärmendes Objekt: Messungen $T(0) = 20$, $T(30) = 40$, $T(60) = 55$ °C. Schätzen Sie $T_{\text{amb}}$ und $k$ unter der Annahme, dass eine der drei Gleichungen möglicherweise gestört ist.

Prozessor mit Wärmeabgabe $H = 2$ °C/min, $T_a = 25$ °C. Um $T \leq 40$ °C zu halten, welche minimale $k$ ist im Kühlsystem notwendig?

Wie variiert die Abkühlungsrate $|T'(t)|$ über die Zeit für ein Objekt mit $T_0 > T_{\text{amb}}$?

Wie hängt $k$ von den physikalischen Eigenschaften des Systems ab? Was passiert mit der Zeitkonstante $\tau$, wenn $k$ zunimmt?

In welchen Situationen verliert das Newtonsche Abkühlungsgesetz seine Gültigkeit?

Zwei Messungen: $T(0) = 30$ °C, $T(1) = 28$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C. Bestimmen Sie $k$ und schätzen Sie $T(5)$.

$T(0) = 30$ °C, $T(1) = 28$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C. Bestimmen Sie $k$ und berechnen Sie $T(5)$.

Server: $P = 2000$ W, $hA = 200$ W/K, $T_a = 24$ °C. Wie ist die Gleichgewichtstemperatur? Was ist notwendig, um unter 27 °C zu bleiben?

$T_a(t) = 20 + 8\cos(\pi t/12)$ °C (Tagesvariationen mit Periode 24 h). Schreiben Sie die formale Lösung für $T' = -k(T - T_a(t))$ auf und diskutieren Sie, wie die Amplitude der Schwingungen von $T$ sich zu der von $T_a$ verhält.

Zeigen Sie, dass das AWP $T' = -k(T - T_a)$, $T(0) = T_0$ für alle $t \geq 0$ eine eindeutige Lösung hat.

Verifizieren Sie durch direkte Substitution, dass $T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-kt}$ die ODE und die Anfangsbedingung erfüllt.

Gegenseitige Abkühlung. Zwei Objekte tauschen Wärme untereinander aus: $T_1' = -k_1(T_1-T_2)$, $T_2' = -k_2(T_2-T_1)$. $T_1(0) = 100$ °C, $T_2(0) = 20$ °C. Finde die Gleichgewichtstemperatur und die Annäherungsrate.

Stahlwerkstück: $T_0 = 850$ °C, $T_{\text{amb}} = 30$ °C, $k = 0{,}02$ min$^{-1}$. Wie lange dauert es, auf 200 °C abzukühlen?

Vergleichen Sie das Newtonsche Abkühlungsgesetz mit radioaktivem Zerfall. Was sind die mathematischen Ähnlichkeiten? Welcher ist der Unterschied im Gleichgewicht?