Lição 101 — Amostragem: tipos, vieses e distribuição amostral

Eine Fabrik produziert Schrauben mit Mittelmasse $\mu$ und Standardabweichung $\sigma = 50$ g. Eine Stichprobe von $n = 100$ Schrauben wird erhoben. Berechnen Sie den Standardfehler des Stichprobenmittelwerts.

Eine Umfrage beginnt mit $n = 25$. Wie oft musst du $n$ erhöhen, um den Standardfehler auf die Hälfte zu reduzieren? Erkläre mit der Formel.

Die Wartezeit in einer Bank hat Normalverteilung mit $\mu = 120$ s und $\sigma = 15$ s. Eine Stichprobe von $n = 9$ Kunden wird erhoben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von $\bar X > 125$ s?

Ein Krankenhaus möchte die Patientenzufriedenheit mit dem Service schätzen. Der Direktor weiß, dass Geschlecht und Altersgruppe die Wahrnehmung stark beeinflussen. Welcher Stichprobentyp ist am geeignetsten? Begründen Sie.

Ein Online-Shop sendet nach jedem Kauf eine E-Mail um eine Bewertung zu bitten. Nur 12% der Kunden antworten. Identifizieren Sie den wahrscheinlichsten Bias-Typ und erklären Sie seine Auswirkung auf die Schätzung.

Eine Umfrage möchte den Anteil der Haushalte mit Internetugang im ländlichen Raum mit 4% Fehlerquote bei 95% Konfidenz schätzen. Wie groß ist die Mindeststichprobengröße?

Ein Berater analysiert das durchschnittliche Wachstum von 50 Startups, gegründet vor 5 Jahren und noch aktiv, und schlussfolgert, dass „Startups durchschnittlich 120% pro Jahr wachsen". Welcher Bias ist präsent?

Zeigen Sie, dass der Stichprobenmittelwert $\bar X$ (a) erwartungstreu, (b) konsistent und (c) effizient für $\mu$, in der Klasse der linearen Schätzer, ist.

Eine Studie über Ausgaben für öffentliche Verkehrsmittel sammelt $n = 400$ Aufzeichnungen. Die historische Standardabweichung ist \sigma = R\,40$. Berechnen Sie den Standardfehler und interpretieren Sie seine Bedeutung.

Das IBGE möchte das durchschnittliche Einkommen brasilianischer Unternehmen schätzen. Beschreiben Sie, wie eine EZS, eine geschichtete Stichprobe nach Sektor und eine nach Cluster durchgeführt würden. Welche wäre effizienter? Warum?

Für den Stichprobenmittelwert $\bar X$ mit festem $n$ und unabhängig identisch verteilter Bevölkerung, welche Aussage ist richtig?

Warum hat der Stichprobenmittelwert in vielen praktischen Umfragen eine näherungsweise Normalverteilung, ohne die genaue Bevölkerungsverteilung zu kennen?

Aussage: „In der einfachen Zufallsstichprobe hat jedes Individuum die gleiche Wahrscheinlichkeit ausgewählt zu werden. Das ist äquivalent zu sagen, dass jede Menge von $n$ Individuen die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, die Stichprobe zu sein." Ist die Aussage richtig?

Die historische durchschnittliche Note eines Prüfung ist $\mu = 3{,}5$ mit $\sigma = 1{,}5$. Für eine Klasse von $n = 36$, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Klassendurchschnitt kleiner als 3,2 ist?

Das IBGE muss den Zugang zu Grundversorgung in Gemeinden ganz Brasiliens mit begrenztem Budget schätzen. Die Liste der Haushalte ist nicht verfügbar, aber die Liste der Gemeinden und Straßen schon. Schlagen Sie einen Stichprobenplan vor.

Eine Umfrage mit $n = 400$ Wählern ergab $\hat p = 60\%$ Zustimmung zum Bürgermeister. Berechnen Sie den Standardfehler und die Fehlerquote bei 95% Konfidenz.

Berechnen Sie die Mindeststichprobengrößen um eine Proportion mit Fehlerquoten von (a) 5% und (b) 2,5%, beide bei 95% Konfidenz, zu schätzen. Erklären Sie die Beziehung zwischen den Ergebnissen.

Ein Unternehmen hat 3000 in Vertragsordnung sortierte Kunden. Es möchte 300 für eine Umfrage auswählen. Beschreiben Sie den Prozess der systematischen Stichprobenziehung und diskutieren Sie, wann sie Bias einführen kann.

Das Gewicht von Reissäcken hat $\mu = 70$ kg und $\sigma = 10$ kg. Für eine Stichprobe von $n = 64$, berechnen Sie $P(68 \leq \bar X \leq 72)$.

Eine Universität führt Zufriedenheitsumfrage unter derzeit angemeldeten Studierenden durch. Welcher Bias ist am relevantesten in diesem Ansatz?

Ohne vorherige Kenntnis von $p$, wie groß ist die Mindeststichprobengröße um eine Proportion mit Fehlerquote von 2% bei 95% zu schätzen?

Ein Forscher befragt Bewohner einer Stadt zwischen 9 Uhr und 17 Uhr an Werktagen. Er möchte das Durchschnittsfamilieneinkommen schätzen. Identifizieren Sie den Bias und beschreiben Sie seine Richtung (unterschätzt oder überschätzt er das Durchschnittseinkommen?).

Die ärztliche Konsultationsdauer hat $\sigma = 12$ min. Berechnen Sie den Standardfehler des Mittelwerts für $n = 25$ und $n = 100$, und vergleichen Sie.

Der monatliche Stromverbrauch einer Stadt hat $\mu = 500$ kWh und $\sigma = 80$ kWh. Für $n = 100$ ausgewählte Haushalte, berechnen Sie $P(\bar X > 510)$.

Das IBGE nutzt etwa 211.000 Haushalte in der PNAD Contínua. Die nationale Arbeitslosenquote ist etwa 12%. (a) Wie groß wäre das theoretische Minimum $n$ um Arbeitslosigkeit mit Fehlerquote von $\pm 0{,}5\%$ bei 95% zu schätzen? (b) Warum nutzt das IBGE ein viel größeres $n$?

Eine Bank möchte die durchschnittliche Ausfallquote in ihrem Kreditportfolio von 500.000 Kunden schätzen. Die Variabilität der Ausfallquote variiert stark nach Einkommensgruppe. Schlagen Sie einen effizienten Stichprobenplan vor und begründen Sie die Interview-Allokation nach Schicht.

Ein Finanzanalyst vergleicht die durchschnittliche historische Rendite aktiver Fonds und schlussfolgert, dass aktive Manager den Index schlagen. Die Daten enthalten nur Fonds, die noch heute existieren. Identifizieren Sie den Bias und erklären Sie, wie er die Schlussfolgerung beeinflusst.

Zeigen Sie algebraisch, dass $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar X)^2$ erwartungstreu für $\sigma^2$ ist. Warum ist der Divisor $n-1$ statt $n$?

Wenden Sie die Hoeffding-Ungleichung für $X_i \in [0, 1]$ an: $P(|\bar X - \mu| > t) \leq 2\exp(-2nt^2)$. Für $t = 0{,}05$ berechnen Sie die Schranke für $n = 100$ und $n = 1000$. Interpretieren Sie das Ergebnis.

Beweisen Sie formal, dass der Stichprobenmittelwert $\bar X = \frac{1}{n}\sum X_i$ (a) erwartungstreu und (b) konsistent für $\mu$ ist, mit Chebyshev-Ungleichung für Teil (b).