Lektion 114 — Eigenwerte und Eigenvektoren

Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Berechne die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ und finde die entsprechenden Eigenvektoren.

Berechne die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Berechne die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$.

Analysiere die Diagonalisierbarkeit von $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Berechne algebraische und geometrische Vielfachheit.

Berechne die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

Berechne die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$.

Berechne die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Berechne die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ und bestimme, ob es diagonalisierbar ist.

Berechne die Eigenwerte von $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Falls $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ die Eigenwerte $1$ und $-1$ hat, welche sind die Eigenwerte von $A^{10}$? Berechne $A^{10}$.

Eine Matrix $A$ hat Eigenwerte $2$ und $3$. Welche sind die Eigenwerte von $A^2 + I$?

Eine $3 \times 3$-Matrix hat Eigenwerte $1$, $2$, $4$. Berechne $\det A$ und $\operatorname{tr}(A)$.

Eine $2 \times 2$-Matrix hat $\operatorname{tr}(A) = 5$ und $\det A = 6$. Berechne die Eigenwerte.

Zeige, dass falls $\lambda$ ein Eigenwert von invertierbar $A$ ist, dann ist $1/\lambda$ ein Eigenwert von $A^{-1}$.

Berechne die Eigenwerte der Drehungsmatrix $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ für $\theta \in (0, \pi)$.

Erkläre, warum eine Matrix mit $\det A = 0$ notwendigerweise $0$ als Eigenwert hat.

Zeige, dass $A$ und $A^T$ dasselbe charakteristische Polynom (und damit die gleichen Eigenwerte) haben.

Falls $B = P^{-1}AP$ (ähnliche Matrizen), was kann man über die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A$ und $B$ schlussfolgern?

Falls $A^2 = I$, welche sind die einzigen möglichen Eigenwerte von $A$?

Welche sind die Eigenwerte einer orthogonalen Projektion $P$ (mit $P^2 = P$)?

Zeige, dass Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind (Fall zweier Eigenvektoren).

Zeige, dass echte Eigenwerte einer orthogonalen Matrix $Q$ (mit $Q^T Q = I$) das Kriterium $|\lambda| = 1$ erfüllen.

Eine Markov-Kette zweier Regionen (Südosten und Nordosten) hat Übergangsmatrix $P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$. Finde die stationäre Verteilung über Eigenvektor von $\lambda = 1$.

Die Fibonacci-Folge wird durch $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ erzeugt. Berechne die Eigenwerte und erkläre das Wachstum der Folge.

Für das Kontrollsystem $\dot{x} = Ax$ mit $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$: überprüfe Stabilität durch Analyse der Eigenwerte.

Eine Hessian-Matrix am kritischen Punkt ist $H = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$. Identifiziere die Eigenwerte und klassifiziere den kritischen Punkt (Maximum/Minimum/Sattelpunkt).

Für den Pfad-Graphen mit 3 Knoten (1—2—3) stelle den Laplacian $L = D - W$ auf, berechne die Eigenwerte und identifiziere die Anzahl der zusammenhängenden Komponenten.

Zeige, dass falls $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ mit Eigenvektor $\vec{v}$ ist, dann ist $\lambda + c$ ein Eigenwert von $A + cI$ mit dem gleichen Eigenvektor $\vec{v}$.

In Finanzen ist die Kovarianzmatrix zweier identischer Aktien mit Varianz $\sigma^2$ und Korrelation $\rho$ die Matrix $\Sigma = \sigma^2 \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}$. Berechne die Eigenwerte und interpretiere.

Zeige, dass falls $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ mit Eigenvektor $\vec{v}$ ist, dann ist $\lambda^k$ ein Eigenwert von $A^k$ für jedes positive Ganzzahl-$k$.

Zeige, dass Eigenwerte einer idempotenten Matrix ($A^2 = A$) nur $0$ oder $1$ sind.

Konstruiere eine $2 \times 2$-Matrix mit Eigenwerten $1$ und $-1$ so, dass $(1, 1)$ ein Eigenvektor von $\lambda = 1$ ist und $(1, -1)$ ein Eigenvektor von $\lambda = -1$ ist.

Zeige, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.

Zeige, dass eine Triangularmatrix (oben oder unten) ihre Eigenwerte gleich den Elementen der Hauptdiagonalen hat.

Zeige (durch Induktion), dass Eigenvektoren zu $k$ verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind.

Zeige, dass jede reelle symmetrische Matrix nur echte Eigenwerte hat.