Lição 117 — Decomposição em valores singulares (SVD)

Erkläre den Unterschied zwischen Eigenwerten und Singulärwerten einer Matrix $$. Für welche Art von Matrix stimmen sie überein?

Berechne die SVD von $$.

Berechne die kompakte SVD von $$. Was ist der Rang von $$?

Wenn die SVD von $$ Singulärwerte $$ hat, was ist der Rang von $$? Welche Dimension hat $$?

Die SVD von $$ hat Singulärwerte $$. Berechne den Frobenius-Fehler und den spektralen Fehler der besten Rang-1-Approximation.

Beschreibe, wie man die Pseudoinverse $$ von $$ mit Singulärwerten $$ und Rang 2 berechnet. Welche Dimension hat $$?

Eine Matrix $$ hat Singulärwerte $$ und $$. Berechne $$ und interpretiere, was das für die numerische Lösung von $$ bedeutet.

Eine Matrix hat Singulärwerte $$. Was ist das kleinste $$ so dass die Rang-k-Approximation mindestens 95% der Frobenius-Varianz erklärt?

Zeige, dass für eine symmetrische positiv semidefinite Matrix $$ die SVD $$ und $$ hat. Was sind die Singulärwerte in diesem Fall?

Ein Graustufenbild ist eine $$-Matrix. Wenn du die SVD-Truncation mit $$ Komponenten speicherst, wie viele Floats speicherst du im Vergleich zum Original? Was ist der Kompressionsfaktor?

Welche Aussage über die Interpretation von $$ und $$ in der SVD ist korrekt?

Die SVD von $$ hat Singulärwerte $$. Berechne die Spektralnorm $$ und die Frobenius-Norm $$.

Ein Bild $$ hat numerischen Rang $$. Was ist das Kompressionsverhältnis wenn man die komplette SVD von Rang $$ speichert statt der Originalmatrix?

Erkläre geometrisch, was die SVD über die Transformation der Einheitssphäre von $$ durch die Matrix $$ aussagt. Welche Länge haben die Halbachsen des resultierenden Ellipsoids?

Zeige, dass in der SVD $$ für alle $$ gilt. Verwende das um zu verifizieren, dass $$.

In der latent semantic analysis (LSA) wird die SVD einer Term-Dokument-Matrix auf die $$ größten Singulärwerte trunciert. Erkläre konzeptionell, warum das "latente Themen" in den Dokumenten erfasst.

Formuliere das Eckart-Young-Theorem und skizziere die Idee des Beweises, dass $$ tatsächlich die beste Rang-k-Approximation in Spektralnorm ist.

Wenn $$ Singulärwerte $$ hat, welche sind die Singulärwerte von $$? Berechne $$ und $$.

Eine Matrix hat Singulärwerte $$. Verwende Schwelle $$ relativ zum größten Singulärwert. Welche ist der numerische Rang?

Beweise, dass eine orthogonale Matrix alle Singulärwerte gleich 1 hat. Welche ist die Konditionszahl einer orthogonalen Matrix?

Erkläre, wie die SVD der Aktienrendite-Matrix "Risikofaktoren" in einem Portfolio identifiziert. Was repräsentieren die ersten rechten Singularvektoren $$ wirtschaftlich?

Beweise, dass $$ und $$ dieselben nicht-null Singulärwerte haben.

Leite die Ridge-Regression-Lösung $$ in Bezug auf die SVD von $$ her.

Die brasilianische Zinsstrukturkurve hat tägliche Yield-Daten in 10 verschiedenen Fälligkeiten. SVD dieser Matrix identifiziert 3 Hauptfaktoren. Welche sind diese Faktoren wirtschaftlich?

Für welche Werte von $$ nimmt die SVD-Truncation eines Bildes $$ weniger Speicher auf als das Original? Leite die allgemeine Bedingung her.

Die Frobenius-Norm $$ ist gleich:

Wenn $$ Singulärwerte $$ hat, welche sind die Singulärwerte von $$?

Demonstriere, dass die Spalten von $$ und $$ in der SVD von $$ orthonormale Basen der 4 fundamentalen Untervektorräume von $$ bilden. Formuliere jeden Untervektorraum und seine Basis explizit.

Beschreibe den Algorithmus zur Empfehlung durch kollaborative SVD: gegeben eine dünn besetzte Benutzer-Artikel-Matrix, wie kann die SVD-Truncation fehlende Bewertungen vorhersagen und Artikel empfehlen?

Beschreibe den randomisierten SVD-Algorithmus von Halko-Martinsson-Tropp (2011) in 5 Schritten. Warum ist er vorteilhaft für große Matrizen mit niedrigem numerischen Rang? Welche Komplexität hat er im Vergleich zu exakter SVD?