Lição 120 — Workshop final do Programa

Berechne $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos^3 x\, dx$.

Löse $y'' + 4y = 0$ mit $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.

Umsatz $R(q) = 120q - 2q^2$ und Kosten $C(q) = 200 + 40q + q^2$. Finde $q^*$, das den Gewinn $L = R - C$ maximiert.

Schreibe die Taylor-Reihe von $\cos x$ zentriert bei $x = 0$ bis zum Term in $x^4$.

Berechne $\dfrac{d}{dx} e^{x^2}$.

Berechne $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$ mit dem Fundamentalsatz.

Berechne $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.

Berechne das Volumen des Rotationskörpers, erzeugt durch $y = \sqrt{x}$, $x \in [0,4]$, rotiert um die $x$-Achse.

Berechne $\dfrac{d}{dx}[x^2 \sin x]$ mit der Produktregel.

Welche ist die korrekte Aussage des Fundamentalsatzes der Calculus (beide Teile)?

Diagonalisiere $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Finde $P$ und $D$.

Berechne die Inverse von $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$.

Warum ist jede reelle symmetrische Matrix orthogonal diagonalisierbar? Zitiere den relevanten Satz.

In $A = U\Sigma V^T$ (SVD), was stellen $U$ und $V^T$ geometrisch dar?

Gegeben das System $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}x = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$, stelle fest, ob es eine Lösung hat. Wenn ja, finde sie.

Für eine $m \times n$-Matrix $A$, welche ist die Dimension des Nullraums von $A$?

Wende die Rotationsmatrix von 30° auf den Punkt $(1, 0)$ an.

Finde den Einheitsvektor in der Richtung von $(3, 4)$.

$A$ symmetrisch $2\times 2$ mit Eigenwerten $\lambda_1, \lambda_2$. Zeige, dass $\operatorname{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \lambda_2^k$ für alle $k \geq 1$.

$X$ hat zwei linear abhängige Spalten. Zeige via SVD, dass $X^T X$ singulär ist.

5 Münzwürfe mit fairer Münze. Berechne $P(X = 3)$, wobei $X$ = Anzahl Köpfe.

$X \sim N(0,1)$. Berechne $P(X > 2)$.

Fünf Punkte: $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,5)$, $(4,4)$, $(5,6)$. Finde $\hat\beta_0$ und $\hat\beta_1$ der Regressionsgerade $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$.

A/B-Test: Konvertierung A = 10 %, B = 12 %, $n = 1000$ je. Führe bilateralen $z$-Test für Unterschied in Proportionen bei $\alpha = 0{,}05$ durch.

Welcher ist der korrekte Unterschied zwischen frequentischem 95 %-KI und bayessschem Glaubensintervall 95 %?

Beweise, dass $\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)$.

Prior $\mu \sim \mathcal{N}(0,1)$, Beobachtungen $x_i \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$ mit $\bar x = 2$, $n = 4$. Berechne die Posterior-Verteilung von $\mu$.

Stelle den Zentralen Grenzwertsatz auf und erkläre intuitiv, warum er funktioniert.

Beweise, dass $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ mittels Polarkoordinaten.

Warum produziert Mehrfach-Regression mit kolinearen Features instabiles $\hat\beta$? Erkläre via $X^TX$.

Gedämpfte Masse-Feder: $m=1$, $k=4$, $c=2$. Identifiziere die Art der Dämpfung und schreibe die allgemeine Lösung von $\ddot x + 2\dot x + 4x = 0$.

RC-Schaltung mit $\tau = RC = 0{,}1$ s. Wie lange, bis die Spannung auf 5 % des Anfangswertes fällt?

Masse-Feder: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m, Kraft $F\cos(\omega t)$, ohne Dämpfung. Für welches $\omega$ divergiert die Amplitude (Resonanz)?

Population wächst mit intrinsischer Rate 2 % pro Jahr mit Tragfähigkeit $K$ und Ernte von 1000 Individuen/Jahr. Modelliere die Differenzialgleichung und identifiziere die Gleichgewichtspunkte.

Verwende Newton-Raphson, um $\sqrt{2}$ zu approximieren, startend von $x_0 = 1$. Führe 3 Iterationen durch.

Markowitz-Portfolio: 2 Vermögenswerte mit $\sigma_1 = 0{,}1$, $\sigma_2 = 0{,}2$, $\rho = 0{,}3$, gleichgewichtet. Berechne die Volatilität des Portfolios.

Beweise $e^{i\pi} + 1 = 0$ mit Taylor-Reihen von $e^z$, $\cos\theta$, $\sin\theta$.

Beweise den Fundamentalsatz der Calculus (Teil 2): $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ wobei $F' = f$ und $f$ stetig auf $[a,b]$ ist.

Beweise: $\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$.

Gegeben $x^2 + xy + y^2 = 12$, finde die Punkte der Kurve, wo die Tangente horizontal ist.