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Lição 83 — Teorema Fundamental do Cálculo

TFC Parte 1 e Parte 2. A ponte entre derivada e integral. Regra de Leibniz para limites variáveis. Newton e Leibniz, séc. XVII.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Aussage und Beweise

HDI — Teil 1: das Integral ableiten

"Der HDI Teil 1 besagt, dass die Ableitung der durch ein Integral mit variabler oberer Grenze definierten Funktion gleich dem Integranden ausgewertet an der oberen Grenze ist." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3

Beweis des HDI1. Nach Definition der Ableitung:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) - G(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\, dt.$

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung existiert $c_h$ zwischen $x$ und $x+h$ mit $\int_x^{x+h} f(t)\, dt = f(c_h) \cdot h$ . Daher:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} f(c_h).$

Da $c_h \to x$ wenn $h \to 0$ und $f$ stetig ist, folgt $f(c_h) \to f(x)$ . Deshalb $G'(x) = f(x)$ . $\square$

HDI — Teil 2: das Integral berechnen

Beweis des HDI2. Nach HDI1 erfüllt $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ die Bedingung $G' = f$ . Da $F' = f$ auch, hat $F - G$ eine Ableitung von null auf $(a, b)$ , also $F(x) = G(x) + C$ für eine Konstante $C$ . Daher:

$F(b) - F(a) = [G(b) + C] - [G(a) + C] = G(b) - G(a) = \int_a^b f - 0 = \int_a^b f. \quad \square$

Regel von Leibniz (variable Grenzen)

Gelöste Beispiele

Example— 1· HDI2 auf ein Polynom angewendet (Basis)

Aufgabe. Berechne $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx$ .

Strategie. Eine Stammfunktion mit HDI2 finden: $F(x)$ mit $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Dann $F(3) - F(1)$ .

Lösung. $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - x.$

$\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx = F(3) - F(1) = \left(9 + 9 - 3\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 1\right) = 15 - \frac{1}{3} = \frac{44}{3}.$

Überprüfung. $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Stimmt.

Quelle. APEX Calculus, §5.4, Beispiel 5.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 3· HDI1 um ein Integral abzuleiten (Mittelstufe)

Aufgabe. Berechne $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt$ .

Strategie. HDI1 kombiniert mit Kettenregel: die obere Grenze ist $v(x) = x^3$ .

Lösung. $\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt = \cos((x^3)^2) \cdot (x^3)' = \cos(x^6) \cdot 3x^2.$

Überprüfung. Die allgemeine Regel von Leibniz: $\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)} f(t)\, dt = f(v(x)) \cdot v'(x)$ . Angewendet mit $f(t) = \cos(t^2)$ , $v(x) = x^3$ : $\cos(x^6) \cdot 3x^2$ . Stimmt.

Quelle. APEX Calculus, §5.4, Beispiel 5.4.5 — CC-BY-NC.

Example— 4· Leibniz-Regel mit beiden Grenzen variabel (Mittelstufe)

Aufgabe. Berechne $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt$ für $x > 0$ .

Strategie. Allgemeine Leibniz-Regel: $f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$ mit $v(x) = x^2$ , $u(x) = x$ , $f(t) = 1/t$ .

Lösung. $\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \frac{1}{x^2} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.$

Überprüfung. Alternativ: $\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \ln(x^2) - \ln x = 2\ln x - \ln x = \ln x$ . Ableitung: $(\ln x)' = 1/x$ . Stimmt.

Quelle. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3, Übung 5.132 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Fläche zwischen Kurve und Achse mit Vorzeichenwechsel (Herausforderung)

Aufgabe. Berechne die Gesamtfläche zwischen $y = x^2 - 4$ und der $x$ -Achse in $[-3, 3]$ .

Strategie. Die Funktion $f(x) = x^2 - 4$ ist negativ in $(-2, 2)$ und positiv außerhalb. Teile das Intervall an den Nullstellen, um Flächen mit korrektem Vorzeichen zu addieren.

Lösung. Nullstellen: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

In $[-3, -2]$ und $[2, 3]$ : $f \geq 0$ . In $[-2, 2]$ : $f \leq 0$ .

$A = \int_{-3}^{-2}(x^2-4)\, dx + \left|\int_{-2}^{2}(x^2-4)\, dx\right| + \int_2^3(x^2-4)\, dx.$

$F(x) = x^3/3 - 4x$ .

$F(-2) - F(-3) = (-8/3 + 8) - (-9 + 12) = 16/3 - 3 = 7/3$ .
$F(2) - F(-2) = (8/3 - 8) - (-8/3 + 8) = -32/3$ . Absolutwert: $32/3$ .
$F(3) - F(2) = (9 - 12) - (8/3 - 8) = -3 + 16/3 = 7/3$ .

Gesamtfläche: $7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3$ .

Überprüfung. Das Integral $\int_{-3}^3 (x^2 - 4)\, dx = F(3) - F(-3) = (9-12) - (-9+12) = -3 - 3 = -6 \neq 46/3$ . Das bestimmte Integral unterscheidet sich von der geometrischen Fläche, wenn $f$ das Vorzeichen wechselt.

Quelle. Active Calculus, §4.4, Übung 4.4.5 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 3Challenge 4Proof 1

Ex. 83.1Application
Berechne $\int_0^3 2x\, dx$ mit HDI2.
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Ex. 83.2Application
Berechne $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
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Ex. 83.3Application
Berechne $\int_0^\pi \sin x\, dx$ .
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Ex. 83.4Application
Berechne $\int_0^2 e^x\, dx$ .
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Ex. 83.5Application
Berechne $\int_0^2 (x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
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Ex. 83.6Application
Berechne $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
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Ex. 83.7Application
Wenn $G(x) = \int_0^x (t^2 + 1)\, dt$ , berechne $G'(x)$ mit HDI1.
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Ex. 83.8Application
Berechne $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} \sin t\, dt$ .
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Ex. 83.9Application
Berechne $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
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Ex. 83.10Application
Berechne $\int_1^9 \sqrt{x}\, dx$ .
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Ex. 83.11Application
Berechne $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3} \sqrt{1 + t^2}\, dt$ .
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Ex. 83.12Application
Berechne $\int_0^\pi (\cos x + \sin x)\, dx$ .
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Ex. 83.13Application
Berechne $\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\, dx$ .
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Ex. 83.14UnderstandingAnswer key
Wenn $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ , was ist $G'(x)$ nach HDI1?
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Ex. 83.15Understanding
Wenn $F'(x) = f(x)$ , welche ist der korrekte Ausdruck für $\int_a^b f(x)\, dx$ nach HDI2?
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Ex. 83.16ApplicationAnswer key
Berechne $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^1 t^3\, dt$ .
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Ex. 83.17Application
Berechne $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx$ .
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Ex. 83.18ModelingAnswer key
Ein Objekt hat Geschwindigkeit $v(t) = t^2 - 4t + 3$ m/s. Berechne die Nettoverschiebung und die zurückgelegte Gesamtstrecke von $t = 0$ bis $t = 4$ s.
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Ex. 83.19ApplicationAnswer key
Berechne $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} e^{t^2}\, dt$ .
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Ex. 83.20Application
Berechne $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2)\, dx$ .
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Ex. 83.21Modeling
Die Grenzkosten einer Fabrik sind $C'(q) = 2q + 50$ Reais pro Einheit. Berechne die Gesamtkosten für die Herstellung der ersten 100 Einheiten.
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Ex. 83.22ChallengeAnswer key
Definiere $G(x) = \int_1^x (2t - 1)\, dt$ . Berechne $G(x)$ explizit, überprüfe dass $G'(x) = 2x - 1$ , und evaluiere $G(1)$ und $G(3)$ .
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Ex. 83.23ApplicationAnswer key
Gegeben dass $\int_0^5 f(x)\, dx = 12$ und $\int_0^2 f(x)\, dx = 5$ , berechne $\int_2^5 f(x)\, dx$ .
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Ex. 83.24Challenge
Berechne die Fläche der Region zwischen $y = x^2 - x$ und der $x$ -Achse in $[0, 1]$ .
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Ex. 83.25Application
Berechne $\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\, dx$ .
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Ex. 83.26Application
Berechne $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \cos(t^2)\, dt$ ohne die Stammfunktion zu berechnen.
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Ex. 83.27ModelingAnswer key
Die Elektroenergie einer Fabrik variiert gemäß $P(t) = 3 + 0{,}5t$ kW ( $t$ in Stunden). Berechne die in den ersten 12 Betriebsstunden verbrauchte Energie und die Kosten zum Preis von R$ 0,85 pro kWh.
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Ex. 83.28Challenge
Berechne $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x} t^2\, dt$ .
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Ex. 83.29Challenge
Berechne den Mittelwert von $f(x) = x^2$ auf $[0, 3]$ und finde den Punkt $c$ , der vom Mittelwertsatz für Integrale garantiert wird.
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Ex. 83.30Proof
Beweise HDI2 aus HDI1: wenn $F' = f$ und $f$ ist stetig auf $[a,b]$ , dann $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ .
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Quellen

Active Calculus — Boelkins · §4.4 · CC-BY-NC-SA. Physikalische Motivation, Entdeckungsaktivität der beiden Teile des HDI.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.4 · CC-BY-NC. Beweise von HDI1 und HDI2, Leibniz-Regel, verschiedene Aufgaben.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · CC-BY-NC-SA. Geschichtlicher Kontext Newton/Leibniz, Beispiele für Differentiation von Integralen.