Lição 8 — Crescimento exponencial, polinomial e logarítmico

Uma colônia de bactérias começa com 500 e dobra a cada hora. Quantas haverá após 6 horas?

Bactérias dobram a cada 30 minutos. Inicialmente 100. Quantas após 3 horas? Escreva o modelo $N(t)$ com $t$ em horas.

A meia-vida de um isótopo radioativo é 5 anos. Que fração da quantidade original sobra após 25 anos?

R$ 5.000 aplicados a 8% a.a. com capitalização contínua. Saldo após 10 anos?

R$ 2.000 aplicados a 8% a.a. com capitalização anual. Saldo após 10 anos? Use a regra dos 70 para verificar.

Carbono-14 ($\tau_{1/2} = 5.730$ anos). Um osso contém 30% do C-14 original. Qual a idade do osso?

Uma quantidade duplica a cada 7 anos. Qual a taxa de crescimento contínuo $k$?

Uma cidade cresce 2% ao ano (composto anual). Em quantos anos a população triplica?

Constante de crescimento contínua $r = 0{,}05$/ano. Em quantos anos a população cresce 50%?

Droga com meia-vida de 6 horas; dose inicial 200 mg. (a) Quanto resta após 12 h? (b) Após 24 h? (c) Quando cai abaixo de 10 mg?

Discriminação conceitual. Qual das afirmações descreve corretamente a função $f(x) = \ln x$?

Discriminação conceitual. Qual modelo é caracterizado pela propriedade "a taxa relativa de variação $N'(t)/N(t)$ é constante"?

Três modalidades para R$ 5.000 a 8% a.a. em 10 anos: (a) juros simples; (b) capitalização anual; (c) capitalização contínua. Calcule e compare os saldos. Qual modalidade rende mais?

A população mundial era 6 bilhões em 2000 e 8 bilhões em 2024. (a) Estime a taxa anual contínua $r$. (b) Escreva o modelo. (c) Em que ano atinge 10 bilhões (mantida a taxa)?

A população mundial era 7,8 bilhões em 2020 e cresce a 1,1% ao ano. Estime a população em 2050.

Isótopo com meia-vida de 5 anos. Quantos por cento decaíram após 25 anos? Quanto resta?

Carbono-14 ($\tau_{1/2} = 5.730$ anos). Num tecido orgânico, quanto tempo até 90% do C-14 original ter decaído?

Depreciação em balança decrescente: $V(t) = 50.000 \cdot (0{,}85)^t$. (a) Valor após 5 anos? (b) Depreciação total em 10 anos?

Uma cultura de bactérias cresce de 1.000 para 8.000 em 6 horas. Determine o tempo de duplicação.

O Brasil cresceu de 190 milhões (2010) para 215 milhões (2024). Estime a taxa anual contínua de crescimento.

Regra dos 72: $T_\text{dupl} \approx 72/r\%$. Compare com a fórmula exata $T = \ln 2/\ln(1+r)$ para $r = 5\%$, $10\%$, $20\%$. A regra é boa?

Produto novo cresce 8% ao mês. Em quantos meses dobra?

Inflação anual de 4% (composta). Em quantos anos os preços dobram?

R$ 1.000 a 6% a.a.: (a) capitalização contínua; (b) capitalização anual. Quanto rende mais em 10 anos? Por quê?

Mostre que se $N(t) = N_0 e^{kt}$, então $\ln N$ vs $t$ é uma reta com inclinação $k$. Por que isso é útil para identificar crescimento exponencial em dados?

Lei de Moore: Intel 4004 (1971) — 2.300 transistores; Apple M2 Ultra (2023) — $\sim 2 \times 10^{10}$ transistores. Quantas duplicações ocorreram? Em quantos anos por duplicação?

Discriminação conceitual. Qual a diferença fundamental entre crescimento logístico $\dot N = rN(1-N/K)$ e exponencial $\dot N = rN$?

Mostre que meia-vida $\tau_{1/2} = \ln 2/|k|$ e tempo de duplicação $T_\text{dupl} = \ln 2/k$ são análogos — mesma fórmula, sentido oposto.

Demonstração. Mostre que se $N(t)$ satisfaz $\dot N = kN$ com $k$ constante e $N > 0$, então $N(t) = N(0)\,e^{kt}$. (Use separação de variáveis; isto será formalizado no Trim 10.)

Crescimento logístico: $N(t) = K/(1 + A e^{-rt})$ com $K = 1.000$, $A = 9$, $r = 0{,}1$/ano. Calcule $N(20)$.

Café a $90\,°C$ esfria em sala de $20\,°C$. Após 5 min está a $70\,°C$. Modele $T(t)$. Calcule $T(15)$.

Lei de Newton: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a) e^{-kt}$. Mostre que a "meia-vida da diferença" $D(t) = T - T_a$ é $\ln 2/k$. Calcule para o café do exercício 8.31.

Modelo SIR na fase inicial ($I \ll N$): $I(t) \approx I_0 e^{(\beta N - \gamma)t}$. Para $R_0 = \beta N/\gamma = 2{,}5$ e $\gamma = 1/5$ dia, calcule o tempo de duplicação de infectados.

Desafio. Mostre que $e^x / x^{100} \to \infty$ quando $x \to \infty$. (Aplique L'Hôpital 100 vezes ou estime numericamente para $x = 1.000$.)

Comparação financeira. Banco A: 12% a.a. capitalização anual. Banco B: 11,5% a.a. capitalização contínua. Qual rende mais em 5 anos? Calcule para R$ 10.000.

Capacitor: $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$, $\tau = RC$. Para $R = 1\,\text{k}\Omega$, $C = 100\,\mu$F, $V_0 = 12$ V: (a) $\tau$? (b) $V(0{,}1\,\text{s})$? (c) Quando $V = 1$ V?

Circuito RL: $I(t) = (V/R)(1 - e^{-Rt/L})$. Para $V = 12$ V, $R = 4\,\Omega$, $L = 2$ H: (a) constante de tempo? (b) $I(0{,}5)$? (c) Quando $I = 90\%$ do máximo?

Reator nuclear: potência residual $P(t) = P_0 e^{-\lambda t}$, $\lambda = 0{,}05$/h. Quanto tempo até a potência cair a 1%?

Uma amostra orgânica contém 80% do carbono-14 original. Qual a idade? ($\tau_{1/2} = 5.730$ anos.)

Tc-99m: meia-vida de 6 horas, dose inicial 25 mCi. Quanto resta após 24 horas?

Datação por urânio-238 ($\tau_{1/2} = 4{,}5$ bilhões de anos). Rocha de zircão com 80% do U-238 original. Qual a idade?

Após o pico epidêmico, infectados decaem: $I(t) = I_0 e^{-\gamma t}$, $\gamma = 0{,}1$/dia. Quanto tempo até cair 90%?

Datação por potássio-argônio: meia-vida K-40 = 1,25 bilhão de anos. Rocha com razão Ar/K = 0,3. Qual a idade aproximada?

Desafio. Para o modelo logístico $\dot N = rN(1-N/K)$ com $K = 1.000$, $r = 0{,}1$/ano: (a) Qual o ponto de inflexão $N^*$ onde o crescimento é máximo? (b) Qual a taxa de crescimento máxima \dot N_\max?

Demonstração. Prove que $\ln x / x^p \to 0$ quando $x \to \infty$, para qualquer $p > 0$. (Use L'Hôpital ou substitua $u = x^p$.) Conclua que $\ln x$ cresce mais devagar que qualquer potência positiva.