Lição 10 — Consolidação Trim 1: workshop integrador

Encontre o domínio máximo de $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$. Expresse em notação de intervalo.

Resolva $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

Determine a equação da reta que passa pelo vértice da parábola $y = x^2 - 4 x + 7$ e tem inclinação $2$.

Sejam $f(x) = 2^x$ e $g(x) = \log_2 x$. Calcule $f(g(8))$ e $g(f(3))$. O que os resultados revelam sobre a relação entre $f$ e $g$?

Calcule a TVM de $f(x) = 2 x + 3$ no intervalo $[1, 4]$.

Sejam $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = \sqrt{x}$. Determine $(f \circ g)(x)$ e o domínio dessa composição.

Encontre a inversa de $f(x) = 3^{x + 1}$.

Para $f(x) = 3^x$, calcule TVM em $[0, 2]$ e compare com TVM em $[2, 4]$. Qual é a conclusão conceitual?

Determine o domínio de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x - 5}$. Expresse em notação de intervalo.

Determine $a$ para que $f(x) = (a - 1) x^2 + 3 x - 2$ tenha vértice em $x = 1$.

A função $f(x) = (1/2)^{x - 1}$ é crescente ou decrescente? Justifique e determine a imagem.

Resolva $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 5$.

Qual é o domínio máximo de $f(x) = \sqrt{x-3}/(x-5)$?

Determine a inversa de $f(x) = 2x - 5$ e verifique que $f(f^{-1}(x)) = x$.

Para $f(x) = 3^x$, calcule a TVM nos intervalos $[0, 2]$ e $[2, 4]$.

Sejam $f(x) = 2x - 1$ e $g(x) = \sqrt{x}$. Calcule $(g \circ f)(x)$ e determine seu domínio.

Resolva $2^{x+1} = 16$.

Para $f(x) = x^2 - 5x + 6$: (a) encontre as raízes; (b) determine o vértice; (c) esboce o gráfico indicando concavidade e imagem.

Encontre todos os $x > 0$ tais que $x^{\log_{10} x} = 100 x$.

Dados $A = [1, 4)$ e $B = [2, 5]$, determine $A \cup B$ e $A \cap B$.

ENEM-style. Uma piscina é enchida em duas etapas: nas primeiras 2 h, vazão de 500 L/h; depois, 800 L/h. Modele $V(t)$ como função por partes e determine o tempo total para encher 6.000 L.

Uma cidade tem $P(t) = 50\,000 \cdot (1{,}025)^t$ (anos, a partir de 2020). Em qual ano a população atinge 100.000?

Capacitor: $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$, com $\tau = 0{,}5$ s e $V_0 = 12$ V. (a) Tensão em $t = 1$ s. (b) Tempo para cair a 1 V. (c) Meia-vida (tempo para cair pela metade).

A renda familiar $R$ (em R$) aumenta linearmente com a escolaridade $e$ (anos de estudo): $R = 800 + 200 e$. (a) Quanto a renda aumenta por ano de estudo? (b) Para qual $e$ a renda atinge R$ 5.000?

Uma empresa tem custo $C(q) = 50 + 20 q + 0{,}5 q^2$ e receita $R(q) = 60 q$. (a) Quando o lucro é zero? (b) Qual a quantidade que maximiza o lucro?

Cultura $A$ cresce com taxa $r_A = 0{,}05$/h; cultura $B$ com $r_B = 0{,}10$/h. Em $t = 0$: $A = 1.000$ células, $B = 200$. Quando $A$ e $B$ têm o mesmo tamanho?

Nível sonoro: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ dB. Dados $I = 10^{-6}$ W/m² e $I_0 = 10^{-12}$ W/m², calcule $L$. Qual é a interpretação física da escala logarítmica aqui?

Um carro percorre 60 km em 1 h e depois 90 km em 1,5 h. Calcule a velocidade média total.

Um remédio tem meia-vida de 3 h. Você toma 100 mg agora e outra dose de 100 mg em 6 h. Modele a concentração total $C(t)$ para $t \geq 0$. Calcule $C(6)$ e $C(12)$.

$P(t) = 200/(1 + 9 e^{-0{,}5 t})$ (modelo logístico). (a) Capacidade de suporte ($t \to \infty$). (b) Em que tempo $t$ a população atinge 100 (metade da capacidade)?

Operário A: salário fixo R$ 3.000/mês. Operário B: salário $0{,}1 \cdot V$ (V = vendas mensais). Para qual volume $V$ o salário de B excede o de A?

Custo médio: $C(q) = (1\,000 + 5 q)/q$. Reescreva como soma e determine o comportamento quando $q \to \infty$.

Um investimento de R$ 1.000 rende juros contínuos a 5% ao ano: $M(t) = 1000 e^{0{,}05 t}$. Calcule a TVM no primeiro ano $[0, 1]$ e no décimo ano $[10, 11]$. Por que a TVM é maior no décimo ano?

Em quanto tempo o capital dobra a juros compostos de 5% ao ano? Use logaritmo. Confirme com a "regra do 72" ($n \approx 72/r$).

Carbono-14 tem meia-vida de 5.730 anos. Uma amostra retém 75% do carbono original. Qual a idade estimada da amostra?

Para $f(x) = x^2$, calcule a TVM no intervalo $[1, 4]$. Interprete geometricamente como inclinação de uma reta secante.

Química: $p_H = -\log_{10}[\text{H}^+]$. Uma solução de suco de laranja tem $[\text{H}^+] = 2 \times 10^{-4}$ mol/L. Calcule o pH.

Mostre que a TVM de $f(x) = x^2$ no intervalo $[a, b]$ é $a + b$. Use esse resultado para calcular a TVM nos intervalos $[1, 3]$ e $[0, 4]$.

EJU-style. Para $f(x) = x^2 - 6 x + 8$: (a) raízes; (b) vértice; (c) maior intervalo onde $f$ é injetora; (d) inversa nesse intervalo.

Resolva o sistema $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5 \\ x - y = 16 \end{cases}$ com $x, y > 0$.

Resolva o sistema de inequações $\begin{cases} 1 \leq x < 4 \\ (x - 3)^2 \leq 1 \end{cases}$. Expresse a solução em notação de intervalo.

Para $f(x) = (2 x - 1)/(x + 3)$: (a) determine domínio e imagem; (b) verifique se é injetora; (c) encontre a inversa $f^{-1}$.

Determine $a$ tal que $f(x) = e^{2 x} + a e^x + 1$ tenha mínimo igual a zero em $\mathbb{R}$.

Suneung-style. Para $f(x) = a x + b$ tal que $f(f(x)) = 4 x + 9$, encontre todos os pares $(a, b)$.

Ponte para o cálculo. Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ no intervalo $[x_0, x_0 + h]$ em função de $x_0$ e $h$. O que acontece quando $h \to 0$? O que essa expressão representa?

Encontre todos os $x > 0$ tais que $x^{\log_{10} x} = 100 x$. (Aplique log dos dois lados e substitua $u = \log x$.)

Abitur-style. Simplifique $\log_2 x \cdot \log_x 8$ para $x > 0, x \neq 1$. (Use a regra de mudança de base.)

Determine o domínio e a imagem de $f(x) = \ln(\ln x)$.

Desafio integrador. (a) Mostre que $f(x) = e^x$ pode ser decomposta como soma de uma parte par e uma parte ímpar. (b) Identifique essas partes pelos nomes matemáticos canônicos.

Demonstre que toda função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ pode ser escrita como soma de uma função par e uma ímpar.

Demonstre que se $a, b > 0$ e $a + b = c$ (constante), então $a^2 + b^2$ é mínimo quando $a = b = c/2$.

Demonstre que $\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y$ para $x, y > 0$ e $b > 0, b \neq 1$.

Demonstre que a composição de duas funções injetoras é injetora.

Demonstre que $f(x) = a^x$ é estritamente crescente quando $a > 1$, usando a definição de função crescente.

Demonstre que a taxa de variação média de $f(x) = ax + b$ é sempre igual a $a$, independente do intervalo escolhido. Contraste com o comportamento da função quadrática.