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Lesson 11 — Trigonometric ratios in the right triangle

Sine, cosine, and tangent as ratios between sides of the right triangle. From Babylon (1800 B.C.) to your phone's GPS.

Used in: 1st year HS · Basic Physics (vectors) · Surveying · Japanese Math I · German Klasse 10

\sin\theta = \frac{\text{op}}{\text{hip}},\quad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hip}},\quad \tan\theta = \frac{\text{op}}{\text{adj}}

Razões trigonométricas no triângulo retângulo. Definidas para um ângulo agudo θ; só dependem do ângulo, nunca do tamanho do triângulo. É a base de toda a trigonometria.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Triângulo retângulo. Seno = oposto/hipotenusa, cosseno = adjacente/hipotenusa, tangente = oposto/adjacente. Mnemônico SOH-CAH-TOA.

Por que as razões só dependem do ângulo?

Semelhança de triângulos (Tales): triângulos com os mesmos três ângulos são semelhantes — todos os seus lados são proporcionais. Num triângulo retângulo com ângulo agudo $\theta$ , qualquer ampliação ou redução preserva os três ângulos (90°, $\theta$ e $90°-\theta$ ). A razão $a/c$ é portanto a mesma para todos esses triângulos — depende apenas de $\theta$ .

"If two right triangles have an acute angle of equal measure, the triangles are similar; therefore, the ratios of the corresponding sides will be equal." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §5.2

Identidade fundamental

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

(1)

what this means · Vem de a² + b² = c² (Pitágoras), dividindo ambos os lados por c²: (a/c)² + (b/c)² = 1, ou seja sin²θ + cos²θ = 1.

Valores notáveis — tabela e derivação

Os valores de 30°, 45° e 60° surgem de dois triângulos elementares:

Esquerda: metade de um triângulo equilátero de lado 2 gera o 30-60-90. Direita: diagonal do quadrado de lado 1 gera o 45-45-90.

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Derivação 30-60-90: Pega um triângulo equilátero de lado 2 e traça a altura, bissectando a base. Obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa 2, base 1 e altura $\sqrt{4-1} = \sqrt{3}$ . O ângulo menor é 30° (base), o maior é 60° (topo).

Derivação 45-45-90: Triângulo retângulo isósceles tem catetos iguais $a = b$ . Por Pitágoras: $c = a\sqrt{2}$ . Logo $\sin 45° = a/(a\sqrt{2}) = \sqrt{2}/2$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· Calcular sin, cos, tan num triângulo 3-4-5 (aplicação)

Problema: Num triângulo retângulo, o cateto oposto a $\theta$ mede 3 e o cateto adjacente mede 4. Calcule $\sin\theta$ , $\cos\theta$ e $\tan\theta$ .

Estratégia: Aplicar SOH-CAH-TOA diretamente. Antes, obter a hipotenusa por Pitágoras.

Resolução:

Hipotenusa: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .
Razões:

$\sin\theta = \frac{3}{5}, \quad \cos\theta = \frac{4}{5}, \quad \tan\theta = \frac{3}{4}$

Verificação (identidade pitagórica): $(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 1$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 — CC-BY 4.0.

Example— 2· Lados de um triângulo 30-60-90 com hipotenusa dada (aplicação)

Problema: Num triângulo retângulo com ângulo agudo $30°$ e hipotenusa $20$ cm, calcule os dois catetos.

Estratégia: Usar os valores notáveis $\sin 30° = 1/2$ e $\cos 30° = \sqrt{3}/2$ .

Resolução:

Cateto oposto a 30°: $\sin 30° = \text{op}/20 \Rightarrow \text{op} = 20 \times 1/2 = 10$ cm.
Cateto adjacente a 30°: $\cos 30° = \text{adj}/20 \Rightarrow \text{adj} = 20 \times \sqrt{3}/2 = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ cm.

Verificação (Pitágoras): $10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 300 = 400 = 20^2$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Altura de prédio por ângulo de elevação (intermediário)

Problema: Um observador está a 50 m da base de um prédio. O ângulo de elevação até o topo é $40°$ . Determine a altura do prédio. (Dado: $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)

Estratégia: O observador, a base do prédio e o topo formam um triângulo retângulo. A altura é o cateto oposto ao ângulo de $40°$ ; a distância horizontal é o cateto adjacente. A razão correta é a tangente.

Resolução:

$\tan 40° = h/50$
$h = 50 \times 0{,}839 \approx 41{,}95$ m.

Verificação: Linha de visada $\approx \sqrt{42^2 + 50^2} \approx 65{,}3$ m; $\sin 40° \approx 42/65{,}3 \approx 0{,}643$ . Bate com a tabela. ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 (Applications) — CC-BY 4.0.

Example— 4· Distância horizontal por ângulo de depressão (avançado)

Problema: Um drone voa a $100$ m de altura e detecta uma pessoa no chão sob ângulo de depressão de $25°$ (medido para baixo a partir da horizontal). Qual a distância horizontal entre o drone e a pessoa? (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ .)

Estratégia: O ângulo de depressão no drone é alternos internos com o ângulo de elevação que a pessoa veria. Logo no triângulo retângulo "drone–projeção no chão–pessoa", o ângulo agudo em cima é $25°$ , oposto é a altura $100$ m e o adjacente é a distância $d$ .

Resolução:

$\tan 25° = 100/d$
$d = 100/0{,}466 \approx 214{,}6$ m.

Verificação: $\arctan(100/214{,}6) \approx 25°$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 (Elevation/Depression) — CC-BY 4.0.

Example— 5· Altura de morro por dois ângulos de visada (modelagem real)

Problema: Um topógrafo em $A$ vê o topo de um morro sob ângulo de elevação $25°$ . Caminha $100$ m em direção ao morro até $B$ e o ângulo passa a $40°$ . Calcule a altura $h$ . (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ e $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)

Estratégia: O pé do morro está a $x$ m de $B$ . Obtemos duas equações em $h$ e $x$ , que resolvemos por substituição.

Resolução:

Triângulo desde $B$ : $h = x\tan 40°$ .
Triângulo desde $A$ : $h = (x + 100)\tan 25°$ .
Igualando: $x(0{,}839 - 0{,}466) = 100 \times 0{,}466 \Rightarrow x \approx 46{,}6/0{,}373 \approx 124{,}9$ m.
$h = 124{,}9 \times 0{,}839 \approx 104{,}8$ m.

Verificação: $\tan(\text{ângulo em }A) \approx 104{,}8/224{,}9 \approx 0{,}466$ , correspondendo a $25°$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.3 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 6Modeling 9Challenge 1

Ex. 11.1UnderstandingAnswer key
Quando um triângulo retângulo com hipotenusa 1 é inscrito num círculo de raio 1, quais lados do triângulo correspondem às coordenadas $x$ e $y$ do ponto no círculo?
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O cateto adjacente ao ângulo e o cateto oposto correspondem às coordenadas x e y, respectivamente.A hipotenusa e o cateto oposto correspondem às coordenadas x e y.Os dois catetos são iguais à hipotenusa no círculo unitário.Apenas a hipotenusa corresponde à coordenada x.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 2
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Num círculo de raio 1, a coordenada x do ponto na circunferência é o cosseno (cateto adjacente) e a coordenada y é o seno (cateto oposto). Portanto, os lados do triângulo retângulo inscrito que correspondem às coordenadas x e y são o cateto adjacente e o cateto oposto, respectivamente.
Ex. 11.2UnderstandingAnswer key
A tangente de um ângulo compara quais lados do triângulo retângulo?
Select the correct option
O cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.O cateto oposto dividido pela hipotenusa.O cateto adjacente dividido pela hipotenusa.A hipotenusa dividida pelo cateto oposto.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 3
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A tangente compara o cateto oposto ao ângulo com o cateto adjacente ao ângulo: $\tan\theta = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$ . Mnemônico SOH-CAH-TOA: TOA = Tangente é Oposto sobre Adjacente.
Ex. 11.3Understanding
Qual é a relação entre os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo?
Select the correct option
Os dois ângulos agudos são complementares: somam 90°.Os dois ângulos agudos são suplementares: somam 180°.Os dois ângulos agudos são sempre iguais a 45°.Os dois ângulos agudos somam 60°.
Select an option first
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 4
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Num triângulo retângulo, um ângulo já mede 90°; como a soma dos três ângulos é 180°, os outros dois devem somar 90°, ou seja, são complementares. Isso explica por que $\cos\theta = \sin(90°-\theta)$ — daí o nome co-seno (complemento do seno).
Ex. 11.4UnderstandingAnswer key
Explique a identidade de cofunção. O que ela afirma sobre seno e cosseno de ângulos complementares?
Select the correct option
A função trigonométrica de um ângulo é igual à cofunção do ângulo complementar. Por exemplo, $\sin\theta = \cos(90°-\theta)$ .A função trigonométrica de um ângulo é igual à cofunção do ângulo suplementar.As cofunções são iguais apenas para ângulos de 45°.A identidade de cofunção afirma que $\sin\theta = \cos\theta$ para todo $\theta$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 5
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A identidade de cofunção diz que seno e cosseno são cofunções: $\sin\theta = \cos(90°-\theta)$ e $\cos\theta = \sin(90°-\theta)$ . Da mesma forma, $\tan\theta = \cot(90°-\theta)$ e $\sec\theta = \csc(90°-\theta)$ . Todas as cofunções são iguais quando aplicadas a ângulos complementares.
Show step-by-step (with the why)
1. No triângulo retângulo com ângulos $\theta$ e $90°-\theta$ , o cateto oposto a $\theta$ é o adjacente a $90°-\theta$ .
2. Portanto $\sin\theta = \text{op}/\text{hip} = \cos(90°-\theta)$ .
3. O mesmo raciocínio dá todas as identidades de cofunção.
Ex. 11.5Application
Complete usando a identidade de cofunção: $\cos(34°) = \sin(\text{\_\_\_}°)$ .
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$56°$ $34°$ $124°$ $46°$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 6
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Pela identidade de cofunção, $\cos(34°) = \sin(90°-34°) = \sin(56°)$ . Logo o ângulo faltante é 56°. (Resp: 56°)
Ex. 11.6Application
Complete usando a identidade de cofunção: $\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\!(\text{___})$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 7
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Pela identidade de cofunção em radianos: $\cos(\pi/3) = \sin(\pi/2 - \pi/3) = \sin(\pi/6)$ . O ângulo faltante é $\pi/6$ . (Resp: $\pi/6$ )
Ex. 11.7Application
Complete usando a identidade de cofunção: $\csc(21°) = \sec(\text{\_\_\_}°)$ .
Select the correct option
$69°$ $21°$ $111°$ $79°$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 8
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A cofunção da cossecante é a secante: $\csc(21°) = \sec(90°-21°) = \sec(69°)$ . (Resp: 69°)
Ex. 11.8Application
Complete usando a identidade de cofunção: $\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cot\!(\text{___})$ .
Select the correct option
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 9
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A cofunção da tangente é a cotangente: $\tan(\pi/4) = \cot(\pi/2 - \pi/4) = \cot(\pi/4)$ . O ângulo faltante é $\pi/4$ . (Resp: $\pi/4$ )
Ex. 11.9Application
Num triângulo retângulo, $\cos B = \tfrac{4}{5}$ e $a = 10$ . Encontre os lados $b$ e $c$ (hipotenusa).
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 10
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Dado $\cos B = 4/5$ e $a = 10$ (cateto adjacente a B): $\cos B = a/c \Rightarrow c = a/\cos B = 10/(4/5) = 12{,}5$ . Pela identidade pitagórica: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{156{,}25 - 100} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5$ . (Resp: $b = 7{,}5,; c = 12{,}5$ )
Show step-by-step (with the why)
1. Use $\cos B = \text{adj}/\text{hip}$ : o lado adjacente a B é $a = 10$ , então $c = a/\cos B = 10/(4/5) = 12{,}5$ .
2. Pitágoras: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{12{,}5^2 - 10^2} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5$ .
Ex. 11.10ApplicationAnswer key
Num triângulo retângulo, $\sin B = \tfrac{1}{2}$ e $a = 20$ (cateto oposto a A). Encontre os lados $b$ e $c$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 11
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Dado $\sin B = 1/2$ e o cateto adjacente $a = 20$ : como $\sin B = \text{op}/\text{hip}$ e B é o ângulo em questão, o cateto oposto é $b$ e o adjacente é $a$ . $\tan B = b/a \Rightarrow \sin B/\cos B = b/20$ . Com $\sin B = 1/2$ , temos $B = 30°$ , então $c = a/\cos 30° = 20/(\sqrt{3}/2) = 40/\sqrt{3} \approx 23{,}1$ ... Na interpretação padrão do livro, $a$ é o cateto oposto a A (adjacente a B): $\sin B = a/c \Rightarrow c = a/\sin B = 20/(1/2) = 40$ e $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{1600-400} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3}$ . (Resp: $b = 20\sqrt{3},\; c = 40$ )
Ex. 11.11Application
Num triângulo retângulo, $\tan A = \tfrac{5}{12}$ e $b = 6$ . Encontre os lados $a$ e $c$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 12
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Com $\tan A = 5/12$ e $b = 6$ (cateto adjacente a A): $\tan A = a/b \Rightarrow a = 6 \times 5/12 = 2{,}5$ . Hipotenusa: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6{,}25 + 36} = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5$ . (Resp: $a = 2{,}5,; c = 6{,}5$ )
Show step-by-step (with the why)
1. $\tan A = a/b \Rightarrow a = b \cdot \tan A = 6 \times (5/12) = 2{,}5$ .
2. Pitágoras: $c = \sqrt{2{,}5^2 + 6^2} = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5$ .
Ex. 11.12ApplicationAnswer key
Num triângulo retângulo, $\tan A = 100$ e $b = 100$ . Encontre os lados $a$ e $c$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 13
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Com $\tan A = 100$ e $b = 100$ : $a = b \cdot \tan A = 100 \times 100 = 10000$ . Hipotenusa: $c = \sqrt{10000^2 + 100^2} = 100\sqrt{10001} \approx 10000{,}5$ . (Resp: $a = 10000,\; c \approx 10001$ )
Ex. 11.13Application
Num triângulo retângulo, $\sin B = \tfrac{1}{3}$ e $a = 2$ . Encontre os lados $b$ e $c$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 14
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Com $\sin B = 1/3$ e $a = 2$ : o ângulo B tem seno $1/3$ , então $\cos B = \sqrt{1 - 1/9} = \sqrt{8/9} = 2\sqrt{2}/3$ . Como $\sin B = a/c$ , temos $c = a/\sin B = 2/(1/3) = 6$ . E $b = c\cos B = 6 \times 2\sqrt{2}/3 = 4\sqrt{2}$ . (Resp: $b = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66,\; c = 6$ )
Ex. 11.14ApplicationAnswer key
Num triângulo retângulo, $a = 5$ e o ângulo $A = 60°$ . Encontre os lados $b$ e $c$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 15
Show solution
Com $a = 5$ e $A = 60°$ : $\sin 60° = a/c \Rightarrow c = 5/\sin 60° = 5/(\sqrt{3}/2) = 10/\sqrt{3} = 10\sqrt{3}/3 \approx 5{,}77$ . E $b = c\cos 60° = (10\sqrt{3}/3) \times (1/2) = 5\sqrt{3}/3 \approx 2{,}89$ . (Resp: $b = 5\sqrt{3}/3,\; c = 10\sqrt{3}/3$ )
Show step-by-step (with the why)
1. $\sin A = a/c \Rightarrow c = a/\sin A = 5/\sin 60° = 10\sqrt{3}/3$ .
2. $\cos A = b/c \Rightarrow b = c\cos 60° = (10\sqrt{3}/3) \cdot (1/2) = 5\sqrt{3}/3$ .
Ex. 11.15Application
Num triângulo retângulo, a hipotenusa $c = 12$ e o ângulo $A = 45°$ . Encontre os catetos $a$ e $b$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 16
Show solution
Com $c = 12$ e $A = 45°$ : $a = c\sin 45° = 12 \times \sqrt{2}/2 = 6\sqrt{2}$ . Como é triângulo isósceles (45-45-90), $b = a = 6\sqrt{2}$ . (Resp: $a = b = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ )
Ex. 11.16Application
Num triângulo retângulo, $b = 15$ e o ângulo $B = 15°$ . Usando $\sin 15° \approx 0{,}259$ e $\tan 15° \approx 0{,}268$ , encontre $a$ e a hipotenusa $c$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 37
Show solution
Com $b = 15$ e $B = 15°$ : $\tan B = b/a \Rightarrow a = b/\tan B = 15/\tan 15° \approx 15/0{,}2679 \approx 56{,}0$ . Hipotenusa: $c = b/\sin B = 15/\sin 15° \approx 15/0{,}2588 \approx 57{,}97$ . Nota: a opção correta aqui usa dados do exercício 37 do livro com $b=15,; B=15°$ : resultado padrão $a \approx 56{,}0,\; c \approx 57{,}97$ .
Ex. 11.17Application
Num triângulo retângulo, hipotenusa $c = 200$ e o ângulo $B = 5°$ . Usando $\sin 5° \approx 0{,}0872$ e $\cos 5° \approx 0{,}9962$ , encontre os catetos $a$ e $b$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 38
Show solution
Com $c = 200$ e $B = 5°$ : o cateto oposto a B é $b$ , o cateto adjacente a B é $a$ . $b = c\sin B = 200\sin 5° \approx 200 \times 0{,}0872 = 17{,}4$ e $a = c\cos B = 200\cos 5° \approx 200 \times 0{,}9962 = 199{,}2$ . (Resp: $b \approx 17{,}4,\; a \approx 199{,}2$ )
Ex. 11.18Application
Num triângulo retângulo, hipotenusa $c = 50$ e o ângulo $B = 21°$ . Usando $\sin 21° \approx 0{,}358$ e $\cos 21° \approx 0{,}934$ , encontre os catetos $a$ e $b$ .
Select the correct option
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 39
Show solution
Com $c = 50$ e $B = 21°$ : $b = c\sin 21° \approx 50 \times 0{,}3584 = 17{,}9 \approx 18{,}0$ e $a = c\cos 21° \approx 50 \times 0{,}9336 = 46{,}7$ . (Resp: $a \approx 46{,}7,\; b \approx 17{,}9$ )
Ex. 11.19Application
Num triângulo retângulo, $a = 30$ e o ângulo $A = 27°$ . Usando $\sin 27° \approx 0{,}454$ e $\cos 27° \approx 0{,}891$ , encontre os lados $b$ e $c$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 40
Show solution
Com $a = 30$ e $A = 27°$ : $\sin A = a/c \Rightarrow c = 30/\sin 27° \approx 30/0{,}454 \approx 66{,}1$ . E $b = c\cos 27° \approx 66{,}1 \times 0{,}891 \approx 58{,}9$ . (Resp: $b \approx 58{,}9,\; c \approx 66{,}1$ )
Ex. 11.20Application
Num triângulo retângulo, $b = 3{,}5$ e o ângulo $A = 78°$ . Usando $\tan 78° \approx 4{,}705$ e $\cos 78° \approx 0{,}208$ , encontre os lados $a$ e $c$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 41
Show solution
Com $b = 3{,}5$ e $A = 78°$ : $\tan A = a/b \Rightarrow a = 3{,}5 \times \tan 78° \approx 3{,}5 \times 4{,}705 \approx 16{,}5$ . Hipotenusa: $c = b/\cos A = 3{,}5/\cos 78° \approx 3{,}5/0{,}208 \approx 16{,}8$ . (Resp: $a \approx 16{,}5,\; c \approx 16{,}8$ )
Show step-by-step (with the why)
1. $\tan 78° \approx 4{,}705$ : cateto oposto $a = b \cdot \tan A = 3{,}5 \times 4{,}705 \approx 16{,}5$ .
2. $\cos 78° \approx 0{,}208$ : hipotenusa $c = b/\cos A \approx 16{,}8$ .
Ex. 11.21Modeling
Uma torre de rádio está a 400 pés de um edifício. De uma janela do edifício, o ângulo de elevação até o topo da torre é 36° e o ângulo de depressão até a base da torre é 23°. Qual é a altura da torre? Use $\tan 36° \approx 0{,}727$ e $\tan 23° \approx 0{,}4245$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 46
Show solution
A torre de rádio está a 400 pés do edifício. O ângulo de elevação até o topo da torre é 36° e o ângulo de depressão até a base é 23°. Altura acima da janela: $h_1 = 400\tan 36° \approx 400 \times 0{,}727 = 290{,}8$ pés. Altura abaixo da janela: $h_2 = 400\tan 23° \approx 400 \times 0{,}4245 = 169{,}8$ pés. Altura total: $h = h_1 + h_2 \approx 460{,}6$ pés. (Resp: $\approx 461 \text{ pés}$ )
Show step-by-step (with the why)
1. Altura da torre acima da janela: $h_1 = 400\tan 36° \approx 290{,}8$ pés.
2. Altura da torre abaixo da janela (ângulo de depressão): $h_2 = 400\tan 23° \approx 169{,}8$ pés.
3. Altura total: $h = h_1 + h_2 \approx 460{,}6$ pés.
Ex. 11.22ModelingAnswer key
Uma torre de rádio está a 325 pés de um edifício. De uma janela, o ângulo de elevação até o topo da torre é 43° e o ângulo de depressão até a base é 31°. Qual é a altura da torre? Use $\tan 43° \approx 0{,}9325$ e $\tan 31° \approx 0{,}6009$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 47
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Torre a 325 pés do edifício. Elevação ao topo: 43°. Depressão à base: 31°. Altura acima da janela: $h_1 = 325\tan 43° \approx 325 \times 0{,}9325 = 303{,}1$ pés. Altura abaixo: $h_2 = 325\tan 31° \approx 325 \times 0{,}6009 = 195{,}3$ pés. Total: $h \approx 498{,}4$ pés. (Resp: $\approx 498 \text{ pés}$ )
Ex. 11.23Modeling
Um monumento de 200 pés está a distância de um edifício. Da janela, o ângulo de elevação ao topo do monumento é 15° e o ângulo de depressão à base é 2°. Qual é a distância da janela ao monumento? Use $\tan 15° \approx 0{,}268$ e $\tan 2° \approx 0{,}035$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 48
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Monumento de 200 pés. Elevação ao topo: 15°. Depressão à base: 2°. Seja $d$ a distância horizontal e $h$ a altura da janela acima da base do monumento. Então: $\tan 15° = (200-h)/d$ e $\tan 2° = h/d$ . Somando: $d(\tan 15° + \tan 2°) = 200$ , logo $d = 200/(\tan 15° + \tan 2°) \approx 200/(0{,}2679 + 0{,}0349) \approx 200/0{,}3028 \approx 660 \text{ pés}$ . (Resp: $\approx 660 \text{ pés}$ )
Ex. 11.24Modeling
Uma antena está no topo de um edifício. De um ponto a 300 pés da base do edifício, o ângulo de elevação ao topo do edifício é 40° e ao topo da antena é 43°. Qual é a altura da antena? Use $\tan 40° \approx 0{,}839$ e $\tan 43° \approx 0{,}9325$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 50
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Edifício a 300 pés. Elevação ao topo do edifício: 40°. Elevação ao topo da antena: 43°. Altura do edifício: $H = 300\tan 40° \approx 300 \times 0{,}839 = 251{,}7$ pés. Altura da antena + edifício: $H + h = 300\tan 43° \approx 300 \times 0{,}9325 = 279{,}8$ pés. Altura da antena: $h \approx 279{,}8 - 251{,}7 = 28{,}1 \approx 28$ pés. (Resp: $\approx 28 \text{ pés}$ )
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1. Altura do edifício: $H = 300\tan 40° \approx 251{,}7$ pés.
2. Altura total (edifício + antena): $H + h = 300\tan 43° \approx 279{,}8$ pés.
3. Altura da antena: $h \approx 279{,}8 - 251{,}7 \approx 28$ pés.
Ex. 11.25Modeling
Um para-raios está no topo de um edifício. De um ponto a 500 pés da base, o ângulo de elevação ao topo do edifício é 36° e ao topo do para-raios é 38°. Qual é a altura do para-raios? Use $\tan 36° \approx 0{,}727$ e $\tan 38° \approx 0{,}7813$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 51
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Para-raios no topo de um edifício. A 500 pés: elevação ao topo do edifício 36°, ao topo do para-raios 38°. Altura do edifício: $H = 500\tan 36° \approx 500 \times 0{,}727 = 363{,}5$ pés. Altura total: $H + h = 500\tan 38° \approx 500 \times 0{,}7813 = 390{,}6$ pés. Altura do para-raios: $h \approx 390{,}6 - 363{,}5 = 27{,}1 \approx 27$ pés. (Resp: $\approx 27 \text{ pés}$ )
Ex. 11.26Modeling
Uma escada de 33 pés apoia-se num edifício formando ângulo de 80° com o chão. A que altura a escada toca o edifício? Use $\sin 80° \approx 0{,}985$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 52
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Uma escada de 33 pés encostada num edifício com ângulo de 80° entre a escada e o chão. A altura atingida é o cateto oposto: $h = 33\sin 80° \approx 33 \times 0{,}9848 \approx 32{,}5$ pés. (Resp: $\approx 32{,}5 \text{ pés}$ )
Ex. 11.27Modeling
Uma escada de 23 pés apoia-se num edifício formando ângulo de 80° com o chão. A que altura a escada toca o edifício? Use $\sin 80° \approx 0{,}985$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 53
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Escada de 23 pés a 80° com o chão: $h = 23\sin 80° \approx 23 \times 0{,}9848 \approx 22{,}7$ pés. (Resp: $\approx 22{,}7 \text{ pés}$ )
Ex. 11.28Modeling
O ângulo de elevação ao topo de um edifício em Charlotte (EUA), medido a 1 milha de distância no nível do chão, é 9°. Qual é a altura aproximada do edifício? (1 milha = 5280 pés; use $\tan 9° \approx 0{,}158$ .)
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 54
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Distância de 1 milha = 5280 pés. Ângulo de elevação 9°. Altura: $h = 5280\tan 9° \approx 5280 \times 0{,}1584 \approx 836$ pés. (Resp: $\approx 836 \text{ pés}$ )
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1. Converter: 1 milha = 5280 pés (distância horizontal).
2. Usar a tangente: $h = 5280 \times \tan 9°$ .
3. $\tan 9° \approx 0{,}1584 \Rightarrow h \approx 836$ pés.
Ex. 11.29Modeling
Uma sequoia de 370 pés cresce verticalmente. Se o ângulo de elevação ao topo da árvore, medido de um ponto no chão, é 60°, qual é a distância horizontal entre o observador e a base da árvore?
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 56
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Árvore de 370 pés com ângulo de elevação 60° desde certa distância. O enunciado pede a distância $d$ , não a altura: $d = 370/\tan 60° = 370/\sqrt{3} \approx 213{,}6$ pés. (Resp: $d \approx 213{,}6 \text{ pés}$ )
Ex. 11.30Application
Calcule o comprimento do arco de um círculo de raio 12 polegadas subentendido por um ângulo central de $\pi/4$ radianos.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 40
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Comprimento de arco: $s = r\theta$ , com raio $r = 12$ pol e ângulo central $\theta = \pi/4$ rad. Logo $s = 12 \times \pi/4 = 3\pi \approx 9{,}42$ pol. (Resp: $3\pi$ pol)
Ex. 11.31Application
Calcule o comprimento do arco de um círculo de raio 5,02 milhas subentendido por um ângulo central de $\pi/3$ radianos.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 41
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$s = r\theta = 5{,}02 \times \pi/3 \approx 5{,}02 \times 1{,}047 \approx 5{,}26$ milhas. (Resp: $5{,}02\pi/3 \approx 5{,}26$ mi)
Ex. 11.32ApplicationAnswer key
Calcule o comprimento do arco de um círculo de raio 10 cm subentendido por um ângulo central de 50°.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 43
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Converter 50° em radianos: $\theta = 50 \times \pi/180 = 5\pi/18 \approx 0{,}873$ rad. Comprimento: $s = r\theta = 10 \times 0{,}873 \approx 8{,}73$ cm. (Resp: $\approx 8{,}73$ cm)
Ex. 11.33Application
Um setor circular tem ângulo central 45° e raio 6 cm. Calcule a área do setor.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 46
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Área do setor: $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ , com raio $r = 6$ cm e ângulo central $\theta = 45° = \pi/4$ rad. Logo $A = \frac{1}{2}\times 36 \times \pi/4 = 9\pi/2 \approx 14{,}14$ cm²... Na fórmula correta: $A = \frac{1}{2}(6)^2(\pi/4) = 9\pi/2 \approx 14{,}14$ cm². (Resp: $9\pi/2 \approx 14{,}14$ cm²)
Ex. 11.34Application
Um setor circular tem ângulo central 30° e raio 20 cm. Calcule a área do setor.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 47
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$\theta = 30° = \pi/6$ rad, $r = 20$ cm. Área: $A = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}\times 400 \times \pi/6 = \frac{200\pi}{6} \cdot ... = \frac{200\pi}{3} \approx 209{,}4$ cm². (Resp: $200\pi/3 \approx 209{,}4$ cm²)
Ex. 11.35Understanding
É possível ter um triângulo retângulo com um ângulo agudo $\theta = 30°$ tal que $\sin 30° = 1/2$ ? Justifique usando as razões trigonométricas.
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Sim: $\sin 30° = 1/2 < 1$ , portanto o triângulo é valido e o ângulo de 30° é agudo.Não: o triângulo só existe se $\sin\theta > 1/2$ .Sim, mas apenas se os dois catetos forem iguais.Não: para um triângulo retângulo, $\sin\theta$ deve ser sempre menor que $\sqrt{2}/2$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 4
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Num triângulo retângulo, o seno de qualquer ângulo agudo está no intervalo $(0, 1)$ . Como $\sin 30° = 1/2$ está nesse intervalo, o triângulo existe e $\theta = 30°$ é geometricamente válido. Em particular, a hipotenusa é o dobro do cateto oposto a 30°.
Ex. 11.36UnderstandingAnswer key
À medida que o ângulo agudo $\theta$ de um triângulo retângulo aumenta de 0° a 90°, o valor de $\sin\theta$ é crescente, decrescente ou constante? Justifique geometricamente.
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Crescente: quando θ aumenta de 0° a 90°, o cateto oposto cresce enquanto a hipotenusa é fixa, logo sin θ aumenta.Decrescente: quando θ aumenta, sin θ diminui pois o ângulo fica maior.Constante: sin θ é o mesmo para todos os ângulos agudos.Crescente até 45°, depois decrescente.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 4
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Num triângulo retângulo, fixando a hipotenusa, o cateto oposto ao ângulo $\theta$ cresce conforme $\theta$ aumenta. Logo $\sin\theta = \text{oposto}/\text{hip}$ é crescente em $(0°, 90°)$ . No limite: $\sin 0° = 0$ e $\sin 90° = 1$ (ângulo degenera). Paralelamente, o cosseno é decrescente no mesmo intervalo.
Ex. 11.37Application
Usando a identidade de cofunção, qual das afirmações abaixo é verdadeira?
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$\sin 60° = \cos 30°$ $\sin 60° = \cos 60°$ $\sin 60° = \sin 30°$ $\cos 60° = \sin 60°$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 6
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Pela identidade de cofunção, $\sin\theta = \cos(90°-\theta)$ . Aplicando com $\theta = 60°$ : $\sin 60° = \cos(90°-60°) = \cos 30°$ . De fato, $\sin 60° = \sqrt{3}/2 = \cos 30°$ . (Resp: $\sin 60° = \cos 30°$ )
Ex. 11.38ApplicationAnswer key
Num triângulo retângulo 30-60-90 com hipotenusa 1, qual é o valor de $\cos 30°$ ?
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 15
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Num triângulo 30-60-90 com hipotenusa 1: o cateto oposto a 30° mede 1/2 e o cateto adjacente a 30° (oposto a 60°) mede $\sqrt{3}/2$ . Portanto $\cos 30° = \text{adj}/\text{hip} = (\sqrt{3}/2)/1 = \sqrt{3}/2$ . (Resp: $\sqrt{3}/2$ )
Ex. 11.39Application
Num triângulo retângulo 30-60-90 com hipotenusa 1, qual é o valor exato de $\tan 60°$ ?
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 15
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No triângulo 30-60-90: cateto oposto a 60° mede $\sqrt{3}/2$ e cateto adjacente a 60° (oposto a 30°) mede 1/2 (com hipotenusa 1). Logo $\tan 60° = (\sqrt{3}/2)/(1/2) = \sqrt{3}$ . (Resp: $\sqrt{3}$ )
Ex. 11.40Challenge
A partir da identidade pitagórica fundamental $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , qual das seguintes identidades se obtém dividindo ambos os lados por $\cos^2\theta$ ?
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 5
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Partindo de $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , dividindo ambos os lados por $\cos^2\theta$ (para $\cos\theta \neq 0$ ): $\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}$ , ou seja $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ . Essa identidade pitagórica auxiliar é fundamental em integração por substituição trigonométrica.
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1. Início: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .
2. Dividir por $\cos^2\theta$ : $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ .
3. Analogamente, dividindo por $\sin^2\theta$ : $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ .

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §5.2: razões trigonométricas, identidades pitagóricas, aplicações. Fonte primária dos blocos A, C e D.
Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.2–10.3: trigonometria de ângulo agudo, semelhança de triângulos, mais de 80 exercícios. Fonte do bloco B e do Exemplo 5.
Matemática elementar / Trigonometria — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · valores notáveis, triângulos especiais, exercícios em estilo brasileiro.
University Physics Vol. 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §2.3 (vetores), cap. 5 (plano inclinado), §15.1 (pêndulo). Fonte dos exercícios de física no bloco D.