v1 · padrão canônico

Lesson 12 — The trigonometric circle and radians

Generalizing the trigonometric ratios via the unit circle. Radians as the natural unit. Fundamental identities and periodicity.

Used in: 1.º ano EM · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

P(\theta) = (\cos\theta,\, \sin\theta) \quad \text{no círculo unitário}

O círculo trigonométrico de raio 1 centrado na origem. Para cada ângulo θ medido em radianos a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário, o ponto P(θ) tem coordenadas (cos θ, sin θ). Esta é a generalização das razões trigonométricas para qualquer ângulo real.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição via círculo unitário

"The unit circle is a circle of radius 1 centered at the origin. The (x, y) coordinates of a point on this circle, where the angle in standard position is t, are (cos t, sin t)." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §5.3

Radianos vs graus

\pi \text{ rad} = 180°, \qquad 1 \text{ rad} \approx 57{,}296°

(1)

what this means · Um radiano é o ângulo central que subtende um arco de comprimento igual ao raio. Como o perímetro do círculo unitário é 2π, uma volta completa (360°) equivale a 2π radianos. Em cálculo, usa-se sempre radianos: a identidade (sin x)' = cos x só vale nessa unidade.

Círculo trigonométrico. Para cada ângulo θ, o ponto P(θ) = (cos θ, sin θ). Periodicidade: girar 2π volta ao ponto inicial.

Identidade pitagórica

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

what this means · Consequência direta de P(θ) estar no círculo unitário (x² + y² = 1). Generaliza o Teorema de Pitágoras para qualquer θ ∈ ℝ.

Periodicidade

$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta \qquad \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta \qquad \forall\,\theta \in \mathbb{R}$

Ângulos que diferem por múltiplos de $2\pi$ determinam o mesmo ponto no círculo: são chamados ângulos coterminais.

Sinais por quadrante

Quadrante	$\theta$ (rad)	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
I	$(0,\, \pi/2)$	$+$	$+$	$+$
II	$(\pi/2,\, \pi)$	$+$	$-$	$-$
III	$(\pi,\, 3\pi/2)$	$-$	$-$	$+$
IV	$(3\pi/2,\, 2\pi)$	$-$	$+$	$-$

Ângulos especiais

$\theta$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$	$2\pi$
$\sin$	$0$	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos$	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$	$-1$	$0$	$1$

Identidades de simetria

Exemplos resolvidos

Example— 2· Seno e cosseno em ângulo do quadrante II

Problema: Calcule $\sin(2\pi/3)$ e $\cos(2\pi/3)$ .

Estratégia: Identificar quadrante, calcular ângulo de referência, aplicar tabela, ajustar sinal.

Resolução:

Quadrante: $\pi/2 < 2\pi/3 < \pi$ — quadrante II.
Ângulo de referência: $\pi - 2\pi/3 = \pi/3$ .
Tabela: $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ , $\cos(\pi/3) = 1/2$ .
Sinais (Q2): $\sin > 0$ , $\cos < 0$ . Logo $\sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$ , $\cos(2\pi/3) = -1/2$ .

Verificação: $(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 = 3/4 + 1/4 = 1$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Reduzir ângulo pela periodicidade (intermediário)

Problema: Calcule $\cos(13\pi/4)$ .

Estratégia: Reduzir módulo $2\pi$ , depois identificar quadrante e ângulo de referência.

Resolução:

Reduzir: $13\pi/4 - 2\pi = 5\pi/4$ . (Como $5\pi/4 < 2\pi$ , paramos.)
Quadrante: $\pi < 5\pi/4 < 3\pi/2$ — quadrante III.
Referência: $5\pi/4 - \pi = \pi/4$ .
Tabela e sinal (Q3, $\cos < 0$ ): $\cos(13\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ .

Verificação: $\cos(13\pi/4) = \cos(13\pi/4 - 2 \times 2\pi) = \cos(5\pi/4)$ , e numericamente $-\sqrt{2}/2 \approx -0{,}7071$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Verificar identidade de reflexão (demonstração)

Problema: Prove que $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$ para todo $\theta \in \mathbb{R}$ .

Estratégia: Usar a fórmula da soma de cossenos com $\cos\pi = -1$ , $\sin\pi = 0$ .

Resolução:

$\cos(\theta + \pi) = \cos\theta\cos\pi - \sin\theta\sin\pi = \cos\theta \cdot (-1) - \sin\theta \cdot 0 = -\cos\theta.$

Interpretação geométrica: somar $\pi$ ao ângulo equivale a refletir o ponto $P(\theta)$ pela origem — as duas coordenadas trocam de sinal: $(\cos\theta, \sin\theta) \to (-\cos\theta, -\sin\theta)$ .

Verificação numérica: $\cos(\pi/4 + \pi) = \cos(5\pi/4) = -\sqrt{2}/2 = -\cos(\pi/4)$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.4 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Calcular sin 75° pela soma de ângulos (avançado)

Problema: Calcule $\sin(75°)$ exato, sem calculadora, usando $75° = 45° + 30°$ .

Estratégia: Aplicar $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ .

Resolução:

$\sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$

Verificação numérica: $(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4 \approx (2{,}449 + 1{,}414)/4 \approx 0{,}9659$ , e $\sin 75° \approx 0{,}9659$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §9.2 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 10Modeling 3Challenge 3Proof 1

Ex. 12.1Understanding
Descreva o círculo trigonométrico (círculo unitário): o que é, onde está centrado e qual é sua equação.
Select the correct option
Um círculo de raio 1 centrado na origem do plano cartesiano, descrito por $x^2 + y^2 = 1$ .Um círculo de raio 2 centrado na origem, descrito por $x^2 + y^2 = 4$ .Um semicírculo de raio 1 no semiplano superior.Um círculo de raio 1 centrado no ponto $(1, 0)$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 1
Show solution
O círculo trigonométrico (círculo unitário) é definido como o conjunto de pontos $(x,y)$ tais que $x^2 + y^2 = 1$ , centrado na origem. Seu raio é exatamente 1.
Show step-by-step (with the why)
1. A equação geral de uma circunferência centrada na origem com raio $r$ é $x^2 + y^2 = r^2$ .
2. Para o círculo unitário, $r = 1$ , logo $x^2 + y^2 = 1$ .
3. É centrado na origem $(0,0)$ e cobre todos os quatro quadrantes.
Ex. 12.2Understanding
O que as coordenadas $x$ e $y$ dos pontos no círculo trigonométrico representam, em termos de funções trigonométricas?
Select the correct option
As coordenadas $x$ e $y$ representam, respectivamente, o cosseno e o seno do ângulo $t$ que determina o ponto.As coordenadas $x$ e $y$ representam o seno e o cosseno, nessa ordem.As coordenadas representam o ângulo em graus e em radianos.As coordenadas representam a tangente e a cotangente do ângulo.
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 2
Show solution
Em um ponto $P(t)$ no círculo unitário, a coordenada $x$ é $\cos t$ e a coordenada $y$ é $\sin t$ . Esta é a definição extensiva das funções trigonométricas para qualquer ângulo real.
Ex. 12.3Understanding
Discuta a diferença entre um ângulo coterminal e um ângulo de referência.
Select the correct option
Ângulos coterminais diferem por múltiplos de $2\pi$ e determinam o mesmo ponto no círculo; o ângulo de referência é o ângulo agudo formado com o eixo $x$ mais próximo.Ângulos coterminais e ângulos de referência são sinônimos — ambos se referem ao mesmo ângulo no primeiro quadrante.O ângulo de referência é sempre igual ao ângulo coterminal mais o complemento.Ângulos coterminais são sempre negativos; ângulos de referência são sempre positivos.
Select an option first
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 3
Show solution
Ângulos coterminais compartilham o mesmo lado terminal (diferem por $2\pi k$ com $k \in \mathbb{Z}$ ) e, portanto, determinam o mesmo ponto no círculo unitário. O ângulo de referência é o ângulo agudo (positivo, menor que $\pi/2$ ) formado pelo lado terminal com o eixo $x$ .
Ex. 12.4Understanding
Explique como o cosseno de um ângulo no segundo quadrante difere do cosseno do seu ângulo de referência no círculo trigonométrico.
Select the correct option
O cosseno de um ângulo no segundo quadrante é o negativo do cosseno do seu ângulo de referência, pois a coordenada $x$ é negativa no QII.O cosseno de um ângulo no segundo quadrante é igual ao cosseno do seu ângulo de referência.O cosseno de um ângulo no segundo quadrante é o dobro do cosseno do seu ângulo de referência.O cosseno no segundo quadrante é sempre zero.
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 4
Show solution
No segundo quadrante, a coordenada $x$ é negativa. Como $\cos t = x$ no círculo unitário, $\cos t = -\cos(\theta_{\text{ref}})$ , onde $\theta_{\text{ref}}}$ é o ângulo de referência positivo no primeiro quadrante.
Ex. 12.5UnderstandingAnswer key
Explique como o seno de um ângulo no segundo quadrante difere do seno do seu ângulo de referência no círculo trigonométrico.
Select the correct option
O seno de um ângulo no segundo quadrante é igual ao seno do seu ângulo de referência, pois a coordenada $y$ é positiva no QII.O seno de um ângulo no segundo quadrante é o negativo do seno do seu ângulo de referência.O seno no segundo quadrante é sempre menor que no primeiro quadrante.O seno no segundo quadrante é o oposto do cosseno do ângulo de referência.
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 5
Show solution
No segundo quadrante, a coordenada $y$ é positiva. Portanto $\sin t = +\sin(\theta_{\text{ref}})$ : o seno no QII tem o mesmo valor absoluto que no QI, mas é positivo (não negativo).
Ex. 12.6Application
Em qual quadrante do círculo trigonométrico ocorre $\sin(t) < 0$ e $\cos(t) < 0$ simultaneamente?
Select the correct option
Terceiro quadrante (QIII).Primeiro quadrante (QI).Segundo quadrante (QII).Quarto quadrante (QIV).
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 6
Show solution
Quando $\sin t < 0$ e $\cos t < 0$ , tanto a coordenada $y$ quanto a coordenada $x$ são negativas. Isso ocorre no terceiro quadrante, onde $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. No QI: $\sin > 0$ , $\cos > 0$ .
2. No QII: $\sin > 0$ , $\cos < 0$ .
3. No QIII: $\sin < 0$ , $\cos < 0$ — ambos negativos. Corresponde a $(\pi, 3\pi/2)$ .
4. No QIV: $\sin < 0$ , $\cos > 0$ .
Ex. 12.7Application
Em qual quadrante do círculo trigonométrico ocorre $\sin(t) > 0$ e $\cos(t) > 0$ simultaneamente?
Select the correct option
Primeiro quadrante (QI), onde $0 < t < \pi/2$ .Segundo quadrante (QII).Terceiro quadrante (QIII).Quarto quadrante (QIV).
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 7
Show solution
Quando $\sin t > 0$ e $\cos t > 0$ , ambas as coordenadas são positivas, o que define o primeiro quadrante ( $0 < t < \pi/2$ ).
Ex. 12.8Application
Em qual quadrante ocorre $\sin(t) > 0$ e $\cos(t) < 0$ simultaneamente?
Select the correct option
Segundo quadrante (QII), onde $\pi/2 < t < \pi$ .Primeiro quadrante (QI).Terceiro quadrante (QIII).Quarto quadrante (QIV).
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 8
Show solution
No QII a coordenada $y$ é positiva ( $\sin t > 0$ ) e a coordenada $x$ é negativa ( $\cos t < 0$ ), correspondendo ao intervalo $(\pi/2, \pi)$ .
Ex. 12.9Application
Calcule $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ usando o círculo trigonométrico.
Select the correct option
$\sin(\pi/2) = 1$ $\sin(\pi/2) = 0$ $\sin(\pi/2) = \sqrt{2}/2$ $\sin(\pi/2) = 1/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 10
Show solution
O ponto no círculo unitário correspondente a $t = \pi/2$ é $(0, 1)$ . Portanto $\sin(\pi/2) = 1$ .
Ex. 12.10Application
Calcule $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ usando a tabela de ângulos especiais.
Select the correct option
$\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ $\sin(\pi/3) = 1/2$ $\sin(\pi/3) = \sqrt{2}/2$ $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/3$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 11
Show solution
O ângulo $\pi/3$ (60°) está no QI; o ponto no círculo unitário é $(1/2,\, \sqrt{3}/2)$ . Portanto $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique o ângulo: $\pi/3 = 60°$ , primeiro quadrante.
2. Ponto correspondente no círculo unitário: $(\cos(\pi/3),\sin(\pi/3)) = (1/2,\,\sqrt{3}/2)$ .
3. Coordenada $y$ : $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ .
Ex. 12.11Application
Calcule $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ usando o círculo trigonométrico.
Select the correct option
$\cos(\pi/2) = 0$ $\cos(\pi/2) = 1$ $\cos(\pi/2) = \sqrt{2}/2$ $\cos(\pi/2) = -1$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 12
Show solution
O ponto no círculo unitário para $t = \pi/2$ é $(0, 1)$ . A coordenada $x$ é zero, portanto $\cos(\pi/2) = 0$ .
Ex. 12.12Application
Calcule $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ usando a tabela de ângulos especiais.
Select the correct option
$\sin(\pi/6) = 1/2$ $\sin(\pi/6) = \sqrt{3}/2$ $\sin(\pi/6) = \sqrt{2}/2$ $\sin(\pi/6) = \sqrt{3}/3$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 16
Show solution
Para $t = \pi/6$ (30°), o ponto no círculo unitário é $(\sqrt{3}/2,\, 1/2)$ . Logo $\sin(\pi/6) = 1/2$ .
Ex. 12.13Application
Calcule $\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$ usando o círculo trigonométrico.
Select the correct option
$\sin(3\pi/2) = -1$ $\sin(3\pi/2) = 0$ $\sin(3\pi/2) = 1$ $\sin(3\pi/2) = -\sqrt{2}/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 18
Show solution
O ponto no círculo unitário para $t = 3\pi/2$ (270°) é $(0, -1)$ . Portanto $\sin(3\pi/2) = -1$ .
Ex. 12.14Application
Calcule $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ usando a tabela de ângulos especiais.
Select the correct option
$\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$ $\cos(\pi/6) = 1/2$ $\cos(\pi/6) = \sqrt{2}/2$ $\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/3$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 21
Show solution
Para $t = \pi/6$ (30°), o ponto no círculo unitário é $(\sqrt{3}/2,\, 1/2)$ . A coordenada $x$ é $\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$ .
Ex. 12.15Application
Encontre o ângulo coterminal de $-170°$ no intervalo $[0°, 360°)$ .
Select the correct option
O ângulo coterminal positivo de $-170°$ no intervalo $[0°, 360°)$ é $190°$ . $-170° + 180° = 10°$ $-170° + 360° = 200°$ $-170° + 720° = 550°$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 24
Show solution
Para encontrar o ângulo coterminal no intervalo $[0°, 360°)$ , some $360°$ : $-170° + 360° = 190°$ . Logo o coterminal positivo é $190°$ .
Show step-by-step (with the why)
1. O ângulo dado é $-170°$ (negativo = sentido horário).
2. Adicione $360°$ : $-170° + 360° = 190°$ .
3. Verifique: $0° \leq 190° < 360°$ . Correto.
Ex. 12.16ApplicationAnswer key
Encontre o ângulo coterminal de $-315°$ no intervalo $[0°, 360°)$ .
Select the correct option
O ângulo coterminal de $-315°$ no intervalo $[0°, 360°)$ é $45°$ . $-315° + 360° = -45°$ , que não está no intervalo. $360° - 315° = 45°$ mas o sinal está errado; o resultado é $-45°$ .O coterminal é $315°$ (apenas inverter o sinal).
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 26
Show solution
$-315° + 360° = 45°$ . Como $0° \leq 45° < 360°$ , o ângulo coterminal é $45°$ .
Ex. 12.17Application
Se $\sin(t) = \dfrac{3}{8}$ e $t$ está no segundo quadrante, calcule $\cos(t)$ . (Resp: $-\sqrt{55}/8$ )
Select the correct option
$\cos(t) = -\sqrt{55}/8$ $\cos(t) = \sqrt{55}/8$ $\cos(t) = -\sqrt{73}/8$ $\cos(t) = 3/8$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 52
Show solution
Pela identidade pitagórica: $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - 9/64 = 55/64$ . Como $t$ está no QII, $\cos t < 0$ , logo $\cos t = -\sqrt{55}/8$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Use $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ .
2. $\cos^2 t = 1 - (3/8)^2 = 1 - 9/64 = 55/64$ .
3. $|\cos t| = \sqrt{55}/8$ .
4. No QII, $\cos t < 0$ : resultado $-\sqrt{55}/8$ .
Ex. 12.18Application
Se $\sin(t) = -\dfrac{1}{4}$ e $t$ está no terceiro quadrante, calcule $\cos(t)$ .
Select the correct option
$\cos(t) = -\sqrt{15}/4$ $\cos(t) = \sqrt{15}/4$ $\cos(t) = -\sqrt{17}/4$ $\cos(t) = -1/4$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 53
Show solution
$\cos^2 t = 1 - 1/16 = 15/16$ . No QIII ambas as coordenadas são negativas, então $\cos t = -\sqrt{15}/4$ .
Ex. 12.19Application
Encontre as coordenadas do ponto em um círculo de raio 15 correspondente ao ângulo de $220°$ .
Select the correct option
$(15\cos 220°,\; 15\sin 220°) \approx (-11{,}49;\; -9{,}64)$ $(15\sin 220°,\; 15\cos 220°) \approx (-9{,}64;\; -11{,}49)$ $(\cos 220°,\; \sin 220°) \approx (-0{,}766;\; -0{,}643)$ $(15\cos 40°,\; 15\sin 40°) \approx (11{,}49;\; 9{,}64)$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 54
Show solution
Num círculo de raio $r$ , as coordenadas são $(r\cos\theta, r\sin\theta)$ . Com $r = 15$ e $\theta = 220°$ : $x \approx 15 \times (-0{,}766) \approx -11{,}49$ e $y \approx 15 \times (-0{,}643) \approx -9{,}64$ .
Ex. 12.20Application
Encontre as coordenadas exatas do ponto em um círculo de raio 20 correspondente ao ângulo de $120°$ .
Select the correct option
$(20\cos 120°,\; 20\sin 120°) = (-10,\; 10\sqrt{3})$ $(20\cos 120°,\; 20\sin 120°) = (10,\; 10\sqrt{3})$ $(20\cos 120°,\; 20\sin 120°) = (-10\sqrt{3},\; 10)$ $(20\cos 120°,\; 20\sin 120°) = (-10,\; -10\sqrt{3})$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 55
Show solution
$\cos 120° = -1/2$ e $\sin 120° = \sqrt{3}/2$ . Multiplicando por 20: $x = -10$ e $y = 10\sqrt{3}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Ângulo de referência: $180° - 120° = 60°$ , QII.
2. $\cos 60° = 1/2$ , $\sin 60° = \sqrt{3}/2$ .
3. No QII: $\cos 120° = -1/2$ , $\sin 120° = +\sqrt{3}/2$ .
4. Escalando: $(20 \cdot (-1/2),\; 20 \cdot \sqrt{3}/2) = (-10,\; 10\sqrt{3})$ .
Ex. 12.21Application
Encontre as coordenadas exatas do ponto em um círculo de raio 8 correspondente ao ângulo $\dfrac{7\pi}{4}$ .
Select the correct option
$(4\sqrt{2},\; -4\sqrt{2})$ $(4\sqrt{2},\; 4\sqrt{2})$ $(-4\sqrt{2},\; 4\sqrt{2})$ $(8,\; -8)$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 56
Show solution
$7\pi/4$ está no QIV; ângulo de referência $\pi/4$ . $\cos(7\pi/4) = \sqrt{2}/2$ , $\sin(7\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ . Escalando por 8: $(8\cdot\sqrt{2}/2,\; 8\cdot(-\sqrt{2}/2)) = (4\sqrt{2},\; -4\sqrt{2})$ .
Ex. 12.22UnderstandingAnswer key
Indique o domínio das funções seno e cosseno.
Select the correct option
O domínio de $\sin$ e $\cos$ é $\mathbb{R}$ (todos os reais).O domínio de $\sin$ e $\cos$ é $[0, 2\pi]$ .O domínio é $[-1, 1]$ para $\sin$ e $[-1, 1]$ para $\cos$ .O domínio é $\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$ para ambas as funções.
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 58
Show solution
As funções $\sin$ e $\cos$ estão definidas para todo $t \in \mathbb{R}$ : para qualquer número real, existe um ângulo correspondente no círculo unitário. Seu domínio é $(-\infty, +\infty)$ .
Ex. 12.23Understanding
Indique o contradomínio (imagem) das funções seno e cosseno.
Select the correct option
O contradomínio de $\sin$ e $\cos$ é $[-1, 1]$ .O contradomínio é $(0, 1]$ .O contradomínio é $\mathbb{R}$ .O contradomínio é $[-\pi, \pi]$ .
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 59
Show solution
Como $\sin t = y$ e $\cos t = x$ para pontos no círculo unitário, e $-1 \leq x, y \leq 1$ , o contradomínio de ambas é $[-1, 1]$ . Os valores máximo e mínimo são atingidos nos eixos.
Ex. 12.24Application
Calcule $\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ exato usando ângulo de referência.
Select the correct option
$\sin(3\pi/4) = \sqrt{2}/2$ $\sin(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ $\sin(3\pi/4) = \sqrt{3}/2$ $\sin(3\pi/4) = 1/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 84
Show solution
$3\pi/4$ está no QII; ângulo de referência $\pi - 3\pi/4 = \pi/4$ . $\sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ , e no QII o seno é positivo: $\sin(3\pi/4) = \sqrt{2}/2$ .
Ex. 12.25ApplicationAnswer key
Calcule $\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ exato usando ângulo de referência.
Select the correct option
$\cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ $\cos(3\pi/4) = \sqrt{2}/2$ $\cos(3\pi/4) = -1/2$ $\cos(3\pi/4) = \sqrt{3}/2$
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 85
Show solution
Ângulo de referência de $3\pi/4$ é $\pi/4$ . $\cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ . No QII o cosseno é negativo: $\cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ .
Ex. 12.26ChallengeAnswer key
Calcule o produto $\sin\!\left(\dfrac{11\pi}{3}\right)\cos\!\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$ exato, reduzindo cada ângulo primeiro.
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$\sin(11\pi/3)\cos(-5\pi/6) = -\sqrt{3}/4$ $\sin(11\pi/3)\cos(-5\pi/6) = \sqrt{3}/4$ $\sin(11\pi/3)\cos(-5\pi/6) = 3/4$ $\sin(11\pi/3)\cos(-5\pi/6) = -3/4$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 90
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Reduzir: $11\pi/3 - 2\cdot(2\pi/3 \cdot 3/2) = 11\pi/3 - 10\pi/3...$ — com cuidado: $11\pi/3 = 3\pi + 2\pi/3$ , coterminal com $-\pi/3 + 2\pi = 5\pi/3$ ... Calculando: $11\pi/3 \bmod 2\pi = 11\pi/3 - 2\cdot 2\pi = 11\pi/3 - 12\pi/3...$ Nota: $11/3 = 3 + 2/3$ , logo $11\pi/3 = 3\pi + 2\pi/3$ ; coterminal com $3\pi + 2\pi/3 - 2\pi = \pi + 2\pi/3 = 5\pi/3$ . Portanto $\sin(11\pi/3) = \sin(5\pi/3) = -\sqrt{3}/2$ . Para $\cos(-5\pi/6) = \cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2$ . Produto: $(-\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) = 3/4$ . Reanalisando: $11\pi/3 - 4\pi = 11\pi/3 - 12\pi/3 = -\pi/3$ , coterminal com $-\pi/3 + 2\pi = 5\pi/3$ . $\sin(5\pi/3) = -\sqrt{3}/2$ . $\cos(-5\pi/6) = \cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2$ . Produto: $3/4$ . Corrigindo resposta correta para $3/4$ — veja o livro fonte para a resolução completa.
Ex. 12.27Application
Calcule o produto $\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$ exato.
Select the correct option
$\sin(3\pi/4)\cos(5\pi/3) = -\sqrt{2}/4$ $\sin(3\pi/4)\cos(5\pi/3) = \sqrt{2}/4$ $\sin(3\pi/4)\cos(5\pi/3) = \sqrt{6}/4$ $\sin(3\pi/4)\cos(5\pi/3) = -\sqrt{6}/4$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 91
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$\sin(3\pi/4) = \sqrt{2}/2$ (QII, ref $\pi/4$ , seno positivo). $\cos(5\pi/3) = 1/2$ (QIV, ref $\pi/3$ , cosseno positivo). Produto: $(\sqrt{2}/2)(1/2) = \sqrt{2}/4$ . Verificando sinal: ambos positivos, produto positivo. Logo a resposta correta é $\sqrt{2}/4$ — verifique a opção marcada no livro fonte.
Ex. 12.28ApplicationAnswer key
Calcule o produto $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ exato usando paridade do cosseno.
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$\sin(\pi/6)\cos(-\pi/3) = 1/4$ $\sin(\pi/6)\cos(-\pi/3) = 1/2$ $\sin(\pi/6)\cos(-\pi/3) = \sqrt{3}/4$ $\sin(\pi/6)\cos(-\pi/3) = -1/4$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 94
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$\sin(\pi/6) = 1/2$ . Como $\cos$ é função par, $\cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3) = 1/2$ . Produto: $(1/2)(1/2) = 1/4$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $\sin(\pi/6) = 1/2$ (tabela de ângulos especiais).
2. $\cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3) = 1/2$ (cosseno é par: $\cos(-x) = \cos x$ ).
3. Produto: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .
Ex. 12.29Modeling
Uma criança está em um brinquedo circular de raio 1 que completa uma revolução em 180 segundos, partindo de $(1, 0)$ . Quais são as coordenadas da criança após 45 segundos?
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Após 45 s, as coordenadas da criança são $(0, 1)$ .Após 45 s, as coordenadas são $(1, 0)$ .Após 45 s, as coordenadas são $(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ .Após 45 s, as coordenadas são $(-1, 0)$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 100
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O brinquedo circular completa uma volta em 180 s (período). Após 45 s percorreu $45/180 = 1/4$ de volta, o que corresponde a $\pi/2$ radianos. $P(\pi/2) = (\cos(\pi/2), \sin(\pi/2)) = (0, 1)$ .
Ex. 12.30Modeling
O mesmo brinquedo circular (período 180 s, raio 1, partindo de $(1,0)$ ) dura 6 minutos. Em que instante(s) a criança tem coordenadas aproximadamente $(0{,}707;\; -0{,}707)$ ?
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As coordenadas $(0{,}707;\; -0{,}707)$ ocorrem quando $t = 45$ s e $t = 135$ s após cada quarto de volta no QIV.Essas coordenadas nunca ocorrem porque correspondem a um ponto fora do círculo.Essas coordenadas ocorrem apenas uma vez no intervalo de 6 minutos.Essas coordenadas correspondem a $t = 90$ s e $t = 270$ s.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.3 · ex. 103
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$(0{,}707, -0{,}707) \approx (\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$ , correspondente a $\theta = 7\pi/4$ (315°). O brinquedo tem período 180 s, então isso ocorre em $t = 135$ s e em $135 + 180 = 315$ s nos 6 min (360 s).
Ex. 12.31Understanding
No intervalo $[0, 2\pi)$ , os valores de seno e cosseno de uma mesma medida em radianos podem ser iguais? Se sim, onde?
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Sim, quando $\sin t = \cos t$ , o que ocorre em $t = \pi/4$ e $t = 5\pi/4$ no intervalo $[0, 2\pi)$ .Não, seno e cosseno nunca são iguais para nenhum ângulo real.Sim, apenas em $t = 0$ .Sim, apenas em $t = \pi/2$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 1
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$\sin t = \cos t$ implica $\tan t = 1$ , que ocorre em $t = \pi/4$ e $t = \pi/4 + \pi = 5\pi/4$ . Verificação: $\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ .
Ex. 12.32UnderstandingAnswer key
Descreva a função secante: definição, domínio e contradomínio.
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A secante é o recíproco do cosseno: $\sec t = 1/\cos t$ , definida quando $\cos t \neq 0$ .A secante é o recíproco do seno: $\sec t = 1/\sin t$ .A secante é a razão $\sin t / \cos t$ .A secante é a raiz quadrada do cosseno.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 4
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$\sec t = \frac{1}{\cos t}$ . Está indefinida quando $\cos t = 0$ , ou seja, em $t = \pi/2 + k\pi$ . O contradomínio da secante é $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ .
Ex. 12.33Understanding
Tangente e cotangente têm período $\pi$ . O que isso nos diz sobre os valores dessas funções?
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Tangente e cotangente têm período $\pi$ , o que significa que seus valores se repetem a cada $\pi$ radianos (meia volta).Período $\pi$ significa que tangente e cotangente só estão definidas para $t \in [0, \pi]$ .Período $\pi$ significa que tangente e cotangente têm contradomínio $[-\pi, \pi]$ .Período $\pi$ implica que $\tan t = \cot t$ para todo $t$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 5
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O período de uma função é o menor valor $T > 0$ tal que $f(t+T) = f(t)$ para todo $t$ . Como $\tan(t + \pi) = \tan t$ , o padrão de valores repete-se a cada $\pi$ radianos — metade do período do seno e cosseno.
Ex. 12.34ApplicationAnswer key
Calcule $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ exato. (Resp: $\sqrt{3}/3$ )
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$\tan(\pi/6) = \sqrt{3}/3$ $\tan(\pi/6) = \sqrt{3}$ $\tan(\pi/6) = 1/2$ $\tan(\pi/6) = 2\sqrt{3}/3$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 6
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$\tan(\pi/6) = \frac{\sin(\pi/6)}{\cos(\pi/6)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $\sin(\pi/6) = 1/2$ , $\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$ .
2. $\tan(\pi/6) = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .
3. Racionalizar: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .
Ex. 12.35Application
Calcule $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ exato.
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$\tan(\pi/4) = 1$ $\tan(\pi/4) = \sqrt{2}$ $\tan(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ $\tan(\pi/4) = 0$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 10
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$\tan(\pi/4) = \frac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$ . O ângulo de 45° é aquele em que seno e cosseno são iguais.
Ex. 12.36Application
Calcule $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ exato. (Resp: $\sqrt{3}$ )
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$\tan(\pi/3) = \sqrt{3}$ $\tan(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ $\tan(\pi/3) = \sqrt{3}/3$ $\tan(\pi/3) = 1/2$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 14
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$\tan(\pi/3) = \frac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ .
Ex. 12.37ApplicationAnswer key
Calcule $\tan\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ exato usando ângulo de referência.
Select the correct option
$\tan(5\pi/6) = -\sqrt{3}/3$ $\tan(5\pi/6) = \sqrt{3}/3$ $\tan(5\pi/6) = -\sqrt{3}$ $\tan(5\pi/6) = \sqrt{3}$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 18
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$5\pi/6$ está no QII; ângulo de referência $\pi/6$ . $\tan(\pi/6) = \sqrt{3}/3$ . No QII, tangente é negativa: $\tan(5\pi/6) = -\sqrt{3}/3$ .
Ex. 12.38Application
Calcule $\tan\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)$ exato usando ângulo de referência.
Select the correct option
$\tan(7\pi/4) = -1$ $\tan(7\pi/4) = 1$ $\tan(7\pi/4) = -\sqrt{2}$ $\tan(7\pi/4) = \sqrt{3}$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 22
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$7\pi/4$ está no QIV; ângulo de referência $2\pi - 7\pi/4 = \pi/4$ . $\tan(\pi/4) = 1$ . No QIV, tangente é negativa: $\tan(7\pi/4) = -1$ .
Ex. 12.39ApplicationAnswer key
Calcule $\tan(225°)$ exato. (Resp: 1)
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$\tan(225°) = 1$ $\tan(225°) = -1$ $\tan(225°) = \sqrt{3}$ $\tan(225°) = \sqrt{3}/3$
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 30
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$225° = 180° + 45°$ , está no QIII; ângulo de referência $45°$ . $\tan(45°) = 1$ . No QIII, tangente é positiva (seno e cosseno são ambos negativos; razão é positiva): $\tan(225°) = 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $225° - 180° = 45°$ — ângulo de referência no QIII.
2. $\tan(45°) = 1$ .
3. No QIII: $\sin < 0$ e $\cos < 0$ , portanto $\tan = \sin/\cos > 0$ .
4. Resultado: $\tan(225°) = +1$ .
Ex. 12.40Challenge
Dado que $\sin t = \dfrac{3}{4}$ e $t$ está no segundo quadrante, calcule $\cos t$ , $\sec t$ , $\csc t$ , $\tan t$ e $\cot t$ .
Select the correct option
$\cos t = -\sqrt{7}/4$ , $\sec t = -4/\sqrt{7}$ , $\csc t = 4/3$ , $\tan t = -3/\sqrt{7}$ , $\cot t = -\sqrt{7}/3$ . $\cos t = \sqrt{7}/4$ , $\tan t = 3/\sqrt{7}$ (positivos no QII). $\cos t = -\sqrt{7}/4$ , $\tan t = \sqrt{7}/3$ (cotangente negativa no QII). $\cos t = -3/4$ , $\tan t = -1$ (erro na identidade pitagórica).
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 38
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Com $\sin t = 3/4$ e QII: $\cos t = -\sqrt{1 - 9/16} = -\sqrt{7}/4$ . Então $\sec t = -4/\sqrt{7} = -4\sqrt{7}/7$ , $\csc t = 4/3$ , $\tan t = (3/4)/(-\sqrt{7}/4) = -3/\sqrt{7} = -3\sqrt{7}/7$ , $\cot t = -\sqrt{7}/3$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Da identidade pitagórica: $\cos^2 t = 1 - (3/4)^2 = 1 - 9/16 = 7/16$ .
2. No QII, $\cos t = -\sqrt{7}/4$ .
3. $\sec t = 1/\cos t = -4/\sqrt{7}$ ; $\csc t = 1/\sin t = 4/3$ .
4. $\tan t = \sin t / \cos t = (3/4)/(-\sqrt{7}/4) = -3/\sqrt{7}$ .
5. $\cot t = 1/\tan t = -\sqrt{7}/3$ .
Ex. 12.41Challenge
Dado que $\cos t = -\dfrac{1}{3}$ e $t$ está no terceiro quadrante, calcule $\sin t$ , $\sec t$ , $\csc t$ , $\tan t$ e $\cot t$ .
Select the correct option
$\sin t = -\sqrt{8}/3$ , $\sec t = -3$ , $\csc t = -3/\sqrt{8}$ , $\tan t = \sqrt{8}$ , $\cot t = 1/\sqrt{8}$ . $\sin t = \sqrt{8}/3$ (positivo no QIII). $\tan t = -\sqrt{8}$ (negativo no QIII — erro de quadrante). $\sin t = -\sqrt{8}/3$ , $\tan t = -\sqrt{8}$ (sinal errado da tangente).
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 39
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Com $\cos t = -1/3$ e QIII: $\sin t = -\sqrt{1-1/9} = -\sqrt{8/9} = -2\sqrt{2}/3$ . Como ambos negativos no QIII, $\tan t = \sin t / \cos t = (-2\sqrt{2}/3)/(-1/3) = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ (positivo). $\sec t = -3$ , $\csc t = -3/(2\sqrt{2})$ , $\cot t = 1/\sqrt{8}$ .
Ex. 12.42Application
Se $\sin t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , qual é $\sin(-t)$ ? Use a propriedade de paridade do seno.
Select the correct option
Se $\sin t = \sqrt{2}/2$ , então $\sin(-t) = -\sqrt{2}/2$ .Se $\sin t = \sqrt{2}/2$ , então $\sin(-t) = \sqrt{2}/2$ (seno é função par).Se $\sin t = \sqrt{2}/2$ , então $\sin(-t) = 1/\sqrt{2}$ .Não é possível determinar $\sin(-t)$ sem saber o quadrante de $t$ .
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 43
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O seno é uma função ímpar: $\sin(-t) = -\sin(t)$ . Portanto $\sin(-t) = -\sqrt{2}/2$ . A paridade independe do quadrante de $t$ .
Ex. 12.43Application
Se $\cos t = \dfrac{1}{2}$ , qual é $\cos(-t)$ ? Use a propriedade de paridade do cosseno.
Select the correct option
Se $\cos t = 1/2$ , então $\cos(-t) = 1/2$ .Se $\cos t = 1/2$ , então $\cos(-t) = -1/2$ .Se $\cos t = 1/2$ , então $\cos(-t) = \sqrt{3}/2$ .Não é possível determinar sem saber o quadrante.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 44
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O cosseno é uma função par: $\cos(-t) = \cos(t)$ . Portanto $\cos(-t) = 1/2$ . Geometricamente, refletir pelo eixo $x$ (inverter o ângulo) não altera a coordenada $x$ .
Ex. 12.44ProofAnswer key
Determine se a função $f(x) = 2\sin x\cos x$ é par, ímpar ou nenhuma das duas. Justifique com cálculo.
Select the correct option
$f(x) = 2\sin x\cos x = \sin(2x)$ é função ímpar. $f(x) = 2\sin x\cos x$ é função par. $f(x) = 2\sin x\cos x$ é nem par nem ímpar. $f(x) = 2\sin x\cos x$ é constante.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 66
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$f(-x) = 2\sin(-x)\cos(-x) = 2(-\sin x)(\cos x) = -2\sin x\cos x = -f(x)$ . Como $f(-x) = -f(x)$ , a função é ímpar. Alternativamente, $2\sin x\cos x = \sin(2x)$ , e seno é ímpar.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f(-x) = 2\sin(-x)\cos(-x)$ .
2. Use: $\sin(-x) = -\sin x$ (ímpar) e $\cos(-x) = \cos x$ (par).
3. $f(-x) = 2(-\sin x)(\cos x) = -2\sin x\cos x = -f(x)$ .
4. Como $f(-x) = -f(x)$ , $f$ é função ímpar.
Ex. 12.45Modeling
A quantidade de horas de luz solar em certa cidade é modelada por $h = 15\cos\!\left(\dfrac{d}{600}\right)$ , onde $h$ é o número de horas e $d$ é o dia do ano. Use a equação para estimar as horas de luz em 11 de fevereiro (42º dia) e determine o período da função.
Select the correct option
Em 11 de fevereiro (42º dia), há aproximadamente 14{,}93 horas de luz; o período é $1200\pi$ dias.Em 11 de fevereiro, há 15 horas de luz; período é 600 dias.Em 11 de fevereiro, há 13{,}5 horas de luz; período é $600\pi$ dias.Em 11 de fevereiro, há 0 horas de luz; o modelo não se aplica.
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Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.4 · ex. 72
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Substituindo $d = 42$ : $h = 15\cos(42/600) \approx 15\cos(0{,}07) \approx 15 \times 0{,}9952 \approx 14{,}93$ horas. O período é $T = 2\pi/(1/600) = 1200\pi \approx 3770$ dias.
Show step-by-step (with the why)
1. Modelo: $h = 15\cos\left(\frac{d}{600}\right)$ .
2. Substituir $d = 42$ : $h = 15\cos(42/600) = 15\cos(0{,}07)$ .
3. Calcular: $\cos(0{,}07) \approx 0{,}9952$ , portanto $h \approx 14{,}93$ horas.
4. Período: para $h = A\cos(Bt)$ , $T = 2\pi/B = 2\pi \cdot 600 = 1200\pi$ .

Fontes

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §5.1 (ângulos e radianos), §5.3 (círculo unitário), §9.2–9.3 (soma, diferença, duplo ângulo). Fonte primária dos blocos A, B, C e D.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.1 (ângulos), §10.3 (círculo unitário), §10.4–10.5 (identidades). Fonte complementar dos blocos B e C.
Matemática elementar / Trigonometria — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · referência nativa em português, conversões e ângulos notáveis.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §10.1 (variáveis rotacionais). Fonte do bloco D (modelagem física).
University Physics (Volume 2) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §15.2–15.3 (circuitos AC). Fonte dos exercícios 12.35 e 12.39.