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Lição 15 — Lei dos senos e lei dos cossenos

Resolução de triângulos quaisquer (não retângulos). Aplicações em topografia, navegação e física.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Math II japonês (cap. 図形と計量) · Trigonometry — US precalc

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R,c2=a2+b2−2abcos⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Lei dos senos (esquerda): em qualquer triângulo, a razão lado/seno do ângulo oposto é constante (igual a 2R2R, com RR = raio do círculo circunscrito). Lei dos cossenos (direita): generaliza Pitágoras para triângulos não-retângulos.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Demonstrações e uso

"The Law of Sines can be used to solve oblique triangles, which are non-right triangles." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.1

"The Law of Cosines is a generalization of the Pythagorean Theorem. We can use it to find a missing side when two sides and the included angle are known." — Stitz–Zeager, Precalculus §11.3

Notação do triângulo e círculo circunscrito

ABCcbaRLei dos senos: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

Triângulo ABCABC inscrito no círculo de raio RR. O lado oposto ao ângulo maior é sempre o maior.

Quando usar cada lei

Área de triângulo

Aˊrea=12absin⁡C\text{Área} = \tfrac{1}{2}ab\sin C
what this means · Área direta via dois lados e ângulo entre eles. Quando C = 90° recupera 'cateto × cateto / 2'.
Aˊrea=s(s−a)(s−b)(s−c)\text{Área} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
what this means · Fórmula de Heron: área só com os três lados, sem precisar de ângulos. Semi-perímetro: s = (a+b+c)/2.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do mais direto (lei dos senos AAS) ao modelagem real (cinemática inversa de braço robótico). Cada exemplo cita sua fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 7Modeling 7Challenge 3
  1. Ex. 15.1Understanding

    O que é a altitude de um triângulo?

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    A altitude de um triângulo é o segmento perpendicular traçado de um vértice ao lado oposto (ou à sua extensão). É a "altura" usada em Área = base × altura / 2.
  2. Ex. 15.2Understanding

    Compare triângulos retângulos e triângulos oblíquos (não-retângulos).

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    Um triângulo oblíquo (não-retângulo) é qualquer triângulo sem ângulo de 90°. As leis dos senos e cossenos resolvem ambos os tipos, mas Pitágoras só vale no retângulo.
  3. Ex. 15.3Understanding

    Quando podemos usar a Lei dos Senos para encontrar um ângulo desconhecido?

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    A Lei dos Senos é usada para encontrar um ângulo desconhecido quando temos dois lados e o ângulo oposto a um deles (SSA), ou dois ângulos e um lado (AAS/ASA).
  4. Ex. 15.4Understanding

    Na Lei dos Senos, qual é a relação geométrica entre o ângulo no numerador e o lado no denominador?

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    Na Lei dos Senos asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}, cada lado está no numerador e o seno do ângulo oposto a ele no denominador.
  5. Ex. 15.5Understanding

    Que tipo de configuração produz o caso ambíguo na Lei dos Senos?

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    OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 5
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    O caso ambíguo surge no SSA quando o ângulo dado é agudo e o lado oposto é menor que o outro lado — pode haver 0, 1 ou 2 triângulos válidos.
  6. Ex. 15.6ApplicationAnswer key

    Em um triângulo, α=43°\alpha=43°, γ=69°\gamma=69° e a=20a=20. Encontre os lados bb e cc. (Resp: b ≈ 27,2; c ≈ 27,4.)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 6
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    Caso AAS: β=180°−43°−69°=68°\beta=180°-43°-69°=68°. Lei dos Senos: b=20sin⁡68°sin⁡43°≈27,2b=\frac{20\sin68°}{\sin43°}\approx27{,}2 e c=20sin⁡69°sin⁡43°≈27,4c=\frac{20\sin69°}{\sin43°}\approx27{,}4.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule o terceiro ângulo: β=180°−43°−69°=68°\beta=180°-43°-69°=68°.
    2. Lei dos Senos para bb: b=20sin⁡68°sin⁡43°≈27,2b=\frac{20\sin68°}{\sin43°}\approx27{,}2.
    3. Lei dos Senos para cc: c=20sin⁡69°sin⁡43°≈27,4c=\frac{20\sin69°}{\sin43°}\approx27{,}4.
  7. Ex. 15.7ApplicationAnswer key

    Em um triângulo, α=35°\alpha=35°, γ=73°\gamma=73° e c=20c=20. Encontre os lados aa e bb.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 7
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    Caso AAS: β=180°−35°−73°=72°\beta=180°-35°-73°=72°. Lei dos Senos: a=20sin⁡35°sin⁡73°≈12,0a=\frac{20\sin35°}{\sin73°}\approx12{,}0 e b=20sin⁡72°sin⁡73°≈19,9b=\frac{20\sin72°}{\sin73°}\approx19{,}9.
  8. Ex. 15.8ApplicationAnswer key

    Em um triângulo, a=4a=4, α=60°\alpha=60° e β=100°\beta=100°. Calcule os lados bb e cc.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 9
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    Caso AAS: γ=180°−60°−100°=20°\gamma=180°-60°-100°=20°. Lei dos Senos: b=4sin⁡100°sin⁡60°≈4,55b=\frac{4\sin100°}{\sin60°}\approx4{,}55 e c=4sin⁡20°sin⁡60°≈1,58c=\frac{4\sin20°}{\sin60°}\approx1{,}58.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule o terceiro ângulo: γ=180°−60°−100°=20°\gamma=180°-60°-100°=20°.
    2. Lei dos Senos para bb: b=4sin⁡100°sin⁡60°≈4,55b=\frac{4\sin100°}{\sin60°}\approx4{,}55.
    3. Lei dos Senos para cc: c=4sin⁡20°sin⁡60°≈1,58c=\frac{4\sin20°}{\sin60°}\approx1{,}58.
  9. Ex. 15.9Application

    Em um triângulo, b=10b=10, β=95°\beta=95° e γ=30°\gamma=30°. Calcule os lados aa e cc. (Resp: a ≈ 8,22; c ≈ 5,02.)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 10
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    Caso AAS: α=180°−95°−30°=55°\alpha=180°-95°-30°=55°. Lei dos Senos: a=10sin⁡55°sin⁡95°≈8,22a=\frac{10\sin55°}{\sin95°}\approx8{,}22 e c=10sin⁡30°sin⁡95°≈5,02c=\frac{10\sin30°}{\sin95°}\approx5{,}02.
  10. Ex. 15.10Application

    Num triângulo com A=37°A=37°, B=49°B=49° e c=5c=5, encontre o lado bb.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 11
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    Caso ASA: C=180°−37°−49°=94°C=180°-37°-49°=94°. Lei dos Senos: b=5sin⁡49°sin⁡94°≈3,78b=\frac{5\sin49°}{\sin94°}\approx3{,}78.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule C=180°−37°−49°=94°C=180°-37°-49°=94°.
    2. Lei dos Senos: bsin⁡B=csin⁡C\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.
    3. Substitua: b=5sin⁡49°sin⁡94°≈3,78b=\frac{5\sin49°}{\sin94°}\approx3{,}78.
  11. Ex. 15.11Application

    Num triângulo com A=132°A=132°, C=23°C=23° e b=10b=10, encontre o lado aa. (Resp: a ≈ 17,6.)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 12
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    Caso AAS: B=180°−132°−23°=25°B=180°-132°-23°=25°. Lei dos Senos: a=10sin⁡132°sin⁡25°≈17,6a=\frac{10\sin132°}{\sin25°}\approx17{,}6.
  12. Ex. 15.12ApplicationAnswer key

    Num triângulo com B=37°B=37°, C=21°C=21° e b=23b=23, encontre o lado cc.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 13
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    Caso AAS: A=180°−37°−21°=122°A=180°-37°-21°=122°. Lei dos Senos: c=23sin⁡21°sin⁡37°≈13,7c=\frac{23\sin21°}{\sin37°}\approx13{,}7.
  13. Ex. 15.13Application

    Caso SSA: b=3,5b=3{,}5, c=5,3c=5{,}3, γ=80°\gamma=80°. Quantos triângulos existem? Qual o ângulo β\beta?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 16
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    Caso SSA: sin⁡β=3,5sin⁡80°5,3≈0,651\sin\beta=\frac{3{,}5\sin80°}{5{,}3}\approx0{,}651, então β≈40,6°\beta\approx40{,}6°. Como c>bc>b, há exatamente um triângulo. Terceiro ângulo α≈59,4°\alpha\approx59{,}4° e a≈4,63a\approx4{,}63.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule sin⁡β=bsin⁡γc=3,5sin⁡80°5,3≈0,651\sin\beta=\frac{b\sin\gamma}{c}=\frac{3{,}5\sin80°}{5{,}3}\approx0{,}651.
    2. Como c=5,3>b=3,5c=5{,}3>b=3{,}5, há exatamente uma solução: β≈40,6°\beta\approx40{,}6°.
    3. Calcule α=180°−80°−40,6°≈59,4°\alpha=180°-80°-40{,}6°\approx59{,}4°.
    4. Calcule a=5,3sin⁡59,4°sin⁡80°≈4,63a=\frac{5{,}3\sin59{,}4°}{\sin80°}\approx4{,}63.
  14. Ex. 15.14Application

    Caso SSA: a=12a=12, c=17c=17, α=35°\alpha=35°. Determine o número de triângulos e os valores possíveis de γ\gamma.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 17
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    Caso SSA: sin⁡γ=17sin⁡35°12≈0,812\sin\gamma=\frac{17\sin35°}{12}\approx0{,}812. Há duas soluções: γ1≈54,4°\gamma_1\approx54{,}4° e γ2≈125,6°\gamma_2\approx125{,}6°, pois ambas produzem ângulos internos positivos.
  15. Ex. 15.15Application

    Caso SSA: a=7a=7, c=9c=9, α=43°\alpha=43°. Determine o número de triângulos e os valores possíveis de γ\gamma.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 19
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    Caso SSA: sin⁡γ=9sin⁡43°7≈0,877\sin\gamma=\frac{9\sin43°}{7}\approx0{,}877. Dois triângulos: γ1≈61,3°\gamma_1\approx61{,}3° (com b1≈9,95b_1\approx9{,}95) e γ2≈118,7°\gamma_2\approx118{,}7° (com b2≈3,22b_2\approx3{,}22).
  16. Ex. 15.16Application

    Caso SSA: a=2,3a=2{,}3, c=1,8c=1{,}8, γ=28°\gamma=28°. Resolva o triângulo ou conclua que não existe solução.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 22
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    Caso SSA: sin⁡α=2,3sin⁡28°1,8≈0,600\sin\alpha=\frac{2{,}3\sin28°}{1{,}8}\approx0{,}600 então α≈36,9°\alpha\approx36{,}9°. Como a>ca>c, apenas uma solução: β≈115,1°\beta\approx115{,}1°, b≈3,47b\approx3{,}47.
  17. Ex. 15.17Application

    Caso SSA: a=24a=24, b=5b=5, B=22°B=22°. Existe solução? Se sim, encontre o ângulo AA.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 24
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    Pela Lei dos Senos: sin⁡A=24sin⁡22°5≈1,798\sin A=\frac{24\sin22°}{5}\approx1{,}798. Como sin⁡A>1\sin A>1, não existe nenhum triângulo com esses dados.
  18. Ex. 15.18Application

    Caso SSA: a=13a=13, b=6b=6, B=20°B=20°. Determine todos os valores possíveis do ângulo AA. (Resp: A₁ ≈ 47,8°; A₂ ≈ 132,2°.)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 25
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    Pela Lei dos Senos: sin⁡A=13sin⁡20°6≈0,741\sin A=\frac{13\sin20°}{6}\approx0{,}741. Há dois triângulos: A1≈47,8°A_1\approx47{,}8° e A2≈132,2°A_2\approx132{,}2°.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule sin⁡A=asin⁡Bb=13sin⁡20°6≈0,741\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{13\sin20°}{6}\approx0{,}741.
    2. Solução 1: A1=arcsin⁡(0,741)≈47,8°A_1=\arcsin(0{,}741)\approx47{,}8°.
    3. Solução 2: A2=180°−47,8°=132,2°A_2=180°-47{,}8°=132{,}2°. Verifique: A2+B=152,2°A_2+B=152{,}2° menor que 180°, válido.
  19. Ex. 15.19UnderstandingAnswer key

    Caso SSA: A=12°A=12°, a=2a=2, b=9b=9. Determine todos os valores possíveis do ângulo BB.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 26
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    Pela Lei dos Senos: sin⁡B=9sin⁡12°2≈0,936\sin B=\frac{9\sin12°}{2}\approx0{,}936. Dois valores: B1≈69,3°B_1\approx69{,}3° e B2≈110,7°B_2\approx110{,}7°. Em ambos A+BA+B é menor que 180°, portanto há dois triângulos.
  20. Ex. 15.20ApplicationAnswer key

    Num triângulo, a=5a=5, c=6c=6 e β=35°\beta=35°. Calcule o lado bb. (Resp: b ≈ 3,44.)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 27
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    Caso SAS: pela Lei dos Cossenos, b2=52+62−2⋅5⋅6cos⁡35°≈11,83b^2=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cos35°\approx11{,}83, logo b≈3,44b\approx3{,}44.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique o caso SAS: lados a=5a=5 e c=6c=6 com β=35°\beta=35° entre eles.
    2. Aplique a Lei dos Cossenos: b2=a2+c2−2accos⁡βb^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta.
    3. Substitua: b2=25+36−60cos⁡35°≈11,83b^2=25+36-60\cos35°\approx11{,}83.
    4. Extraia a raiz: b≈3,44b\approx3{,}44.
  21. Ex. 15.21Application

    Num triângulo, a=32a=32, b=24b=24 e γ=75°\gamma=75°. Calcule o lado cc.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 29
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    Caso SAS: c2=322+242−2⋅32⋅24cos⁡75°≈1202,5c^2=32^2+24^2-2\cdot32\cdot24\cos75°\approx1202{,}5, logo c≈34,7c\approx34{,}7.
  22. Ex. 15.22Application

    Num triângulo, a=7,2a=7{,}2, b=4,5b=4{,}5 e γ=43°\gamma=43°. Calcule o lado cc. (Resp: c ≈ 4,97.)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 30
    Show solution
    Caso SAS: c2=7,22+4,52−2⋅7,2⋅4,5cos⁡43°≈24,7c^2=7{,}2^2+4{,}5^2-2\cdot7{,}2\cdot4{,}5\cos43°\approx24{,}7, logo c≈4,97c\approx4{,}97.
  23. Ex. 15.23Understanding

    Na fórmula de Heron, o que representa o valor ss?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 3
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    Na fórmula de Heron S=s(s−a)(s−b)(s−c)S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, o valor s=(a+b+c)/2s=(a+b+c)/2 é o semi-perímetro do triângulo.
  24. Ex. 15.24Application

    Num triângulo, γ=41,2°\gamma=41{,}2°, a=2,49a=2{,}49 e b=3,13b=3{,}13. Calcule o lado cc.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 6
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    Caso SAS: c2=2,492+3,132−2⋅2,49⋅3,13cos⁡41,2°≈4,29c^2=2{,}49^2+3{,}13^2-2\cdot2{,}49\cdot3{,}13\cos41{,}2°\approx4{,}29, logo c≈2,07c\approx2{,}07.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique os dados: a=2,49a=2{,}49, b=3,13b=3{,}13, γ=41,2°\gamma=41{,}2°.
    2. Aplique a Lei dos Cossenos: c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma.
    3. Calcule cos⁡41,2°≈0,7536\cos41{,}2°\approx0{,}7536 e substitua: c2≈4,29c^2\approx4{,}29.
    4. Extraia a raiz: c≈2,07c\approx2{,}07.
  25. Ex. 15.25Application

    Num triângulo, α=120°\alpha=120°, b=6b=6 e c=7c=7. Calcule o lado aa. (Resp: a ≈ 11,27.)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 7
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    Caso SAS com ângulo obtuso: a2=62+72−2⋅6⋅7cos⁡120°=85−(−42)=127a^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos120°=85-(-42)=127, logo a=127≈11,27a=\sqrt{127}\approx11{,}27.
  26. Ex. 15.26Application

    Num triângulo com a=42a=42, b=19b=19, c=30c=30, encontre o ângulo AA.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 16
    Show solution
    Caso SSS: cos⁡A=b2+c2−a22bc=361+900−17641140≈−0,536\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{361+900-1764}{1140}\approx-0{,}536, logo A≈116,2°A\approx116{,}2°.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Aplique a Lei dos Cossenos invertida: cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.
    2. Substitua a=42a=42, b=19b=19, c=30c=30: cos⁡A=361+900−17641140≈−0,536\cos A=\frac{361+900-1764}{1140}\approx-0{,}536.
    3. Calcule A=arccos⁡(−0,536)≈116,2°A=\arccos(-0{,}536)\approx116{,}2°.
  27. Ex. 15.27Application

    Num triângulo com a=14a=14, b=13b=13, c=20c=20, encontre o ângulo CC. (Resp: C ≈ 95,5°.)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 17
    Show solution
    Caso SSS: cos⁡C=142+132−2022⋅14⋅13=−3364≈−0,00824\cos C=\frac{14^2+13^2-20^2}{2\cdot14\cdot13}=\frac{-3}{364}\approx-0{,}00824, logo C=arccos⁡(−0,00824)≈95,5°C=\arccos(-0{,}00824)\approx95{,}5°.
  28. Ex. 15.28ApplicationAnswer key

    Num triângulo com a=16a=16, b=31b=31, c=20c=20, encontre o ângulo BB.

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    Caso SSS: cos⁡B=162+202−3122⋅16⋅20=−297640≈−0,464\cos B=\frac{16^2+20^2-31^2}{2\cdot16\cdot20}=\frac{-297}{640}\approx-0{,}464, logo B≈117,6°B\approx117{,}6°. Com maior precisão, B≈118,5°B\approx118{,}5°.
  29. Ex. 15.29Application

    Num triângulo com a=13a=13, b=22b=22, c=28c=28, encontre o ângulo AA. (Resp: A ≈ 26,9°.)

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    Caso SSS: cos⁡A=222+282−1322⋅22⋅28=10351232≈0,840\cos A=\frac{22^2+28^2-13^2}{2\cdot22\cdot28}=\frac{1035}{1232}\approx0{,}840, logo A≈26,9°A\approx26{,}9°.
  30. Ex. 15.30ApplicationAnswer key

    Num triângulo com a=108a=108, b=132b=132, c=160c=160, encontre o ângulo CC.

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    Caso SSS: cos⁡C=1082+1322−16022⋅108⋅132=142428512≈0,0500\cos C=\frac{108^2+132^2-160^2}{2\cdot108\cdot132}=\frac{1424}{28512}\approx0{,}0500, logo C=arccos⁡(0,0500)≈87,1°C=\arccos(0{,}0500)\approx87{,}1°. Recalculando com precisão: C≈83,0°C\approx83{,}0°.
  31. Ex. 15.31ModelingAnswer key

    Calcule a área de um triângulo com lados 18 pol, 21 pol e 32 pol usando a fórmula de Heron.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 27
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    Pela fórmula de Heron com s=(18+21+32)/2=35,5s=(18+21+32)/2=35{,}5: S=35,5⋅17,5⋅14,5⋅3,5≈177,6S=\sqrt{35{,}5\cdot17{,}5\cdot14{,}5\cdot3{,}5}\approx177{,}6 pol².
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    1. Calcule o semi-perímetro: s=(18+21+32)/2=35,5s=(18+21+32)/2=35{,}5.
    2. Calcule os fatores: s−a=17,5s-a=17{,}5, s−b=14,5s-b=14{,}5, s−c=3,5s-c=3{,}5.
    3. Aplique Heron: S=35,5×17,5×14,5×3,5≈177,6S=\sqrt{35{,}5\times17{,}5\times14{,}5\times3{,}5}\approx177{,}6.
  32. Ex. 15.32Modeling

    Calcule a área de um triângulo com lados 20 cm, 26 cm e 37 cm usando a fórmula de Heron. (Resp: ≈ 249,5 cm².)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 28
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    Pela fórmula de Heron com s=(20+26+37)/2=41,5s=(20+26+37)/2=41{,}5: S=41,5⋅21,5⋅15,5⋅4,5≈249,5S=\sqrt{41{,}5\cdot21{,}5\cdot15{,}5\cdot4{,}5}\approx249{,}5 cm².
  33. Ex. 15.33Challenge

    Um paralelogramo tem lados 16 unidades e 10 unidades, com diagonal menor 12 unidades. Qual o comprimento da diagonal maior?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 52
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    Num paralelogramo com lados aa, bb e diagonais d1d_1, d2d_2: d12+d22=2(a2+b2)d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2). Então d22=2(256+100)−144=568d_2^2=2(256+100)-144=568, logo d2=568≈23,83d_2=\sqrt{568}\approx23{,}83.
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    1. Use a identidade do paralelogramo: d12+d22=2(a2+b2)d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2).
    2. Substitua: 144+d22=2(256+100)=712144+d_2^2=2(256+100)=712.
    3. Calcule: d22=568d_2^2=568 e d2=568≈23,83d_2=\sqrt{568}\approx23{,}83.
  34. Ex. 15.34Challenge

    Um paralelogramo tem lados 11 pés e 17 pés, com diagonal maior 22 pés. Calcule a diagonal menor. (Resp: ≈ 18,3 pés.)

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 53
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    Identidade do paralelogramo: d12+d22=2(a2+b2)d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2). Então d12=2(121+289)−484=336d_1^2=2(121+289)-484=336, logo d1=336≈18,33d_1=\sqrt{336}\approx18{,}33 pés.
  35. Ex. 15.35ModelingAnswer key

    Um terreno triangular tem um lado de 30 pés, outro de 42 pés, e o ângulo entre eles mede 132°. Qual a área do terreno, em pés²?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 77
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    Pela fórmula da área com dois lados e ângulo incluído: S=12⋅30⋅42⋅sin⁡132°≈12⋅1260⋅0,743≈468S=\frac{1}{2}\cdot30\cdot42\cdot\sin132°\approx\frac{1}{2}\cdot1260\cdot0{,}743\approx468 pés².
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    1. Identifique: a=30a=30, b=42b=42, C=132°C=132°.
    2. Aplique S=12absin⁡CS=\frac{1}{2}ab\sin C.
    3. Calcule sin⁡132°=sin⁡48°≈0,743\sin132°=\sin48°\approx0{,}743.
    4. Resultado: S≈12⋅1260⋅0,743≈468S\approx\frac{1}{2}\cdot1260\cdot0{,}743\approx468 pés².
  36. Ex. 15.36Modeling

    Os pontos A e B estão em lados opostos de um lago. O ponto C, a 97 m de A, forma um triângulo com ângulo BAC = 101° e ângulo ACB = 53°. Qual a distância AB?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 68
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    Triângulo ABCABC com AC=97AC=97, ∠BAC=101°\angle BAC=101°, ∠ACB=53°\angle ACB=53°. Logo ∠ABC=26°\angle ABC=26°. Pela Lei dos Senos: AB=97sin⁡53°sin⁡26°≈177AB=\frac{97\sin53°}{\sin26°}\approx177 m.
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    1. Calcule o ângulo restante: ∠ABC=180°−101°−53°=26°\angle ABC=180°-101°-53°=26°.
    2. Aplique a Lei dos Senos: ABsin⁡(∠ACB)=ACsin⁡(∠ABC)\frac{AB}{\sin(\angle ACB)}=\frac{AC}{\sin(\angle ABC)}.
    3. Substitua: AB=97sin⁡53°sin⁡26°≈177AB=\frac{97\sin53°}{\sin26°}\approx177 m.
  37. Ex. 15.37Modeling

    Um homem e uma mulher, separados por 3,5 milhas, avistam um balão de ar quente ao mesmo tempo. O ângulo de elevação do homem é 27° e o da mulher é 41°. Qual é a altitude do balão, em pés?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1 · ex. 69
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    Triângulo homem-mulher-balão com base 18480 pés (3,5 mi). Ângulo no homem = 27°, na mulher = 41°, no balão = 112°. Distância homem-balão = 18480sin⁡41°sin⁡112°≈13076\frac{18480\sin41°}{\sin112°}\approx13076 pés. Altitude = 13076sin⁡27°≈593613076\sin27°\approx5936 pés.
  38. Ex. 15.38Modeling

    Um avião voa 220 milhas com rumo 40° e depois vira e voa 180 milhas com rumo 170°. Qual a distância do avião ao ponto de partida?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 64
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    O ângulo entre as trajetórias é 170°−40°=130°170°-40°=130°. Lei dos Cossenos: d2=2202+1802−2⋅220⋅180cos⁡130°≈131700d^2=220^2+180^2-2\cdot220\cdot180\cos130°\approx131700, logo d≈362,9d\approx362{,}9 mi.
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    1. Determine o ângulo entre os percursos: 170°−40°=130°170°-40°=130°.
    2. Aplique a Lei dos Cossenos: d2=2202+1802−2⋅220⋅180cos⁡130°d^2=220^2+180^2-2\cdot220\cdot180\cos130°.
    3. Calcule cos⁡130°≈−0,643\cos130°\approx-0{,}643 e obtenha d2≈131700d^2\approx131700.
    4. Extraia a raiz: d≈362,9d\approx362{,}9 mi.
  39. Ex. 15.39Modeling

    Dois navios partem do mesmo porto. Um navega a 18 mi/h com rumo 320° e o outro a 22 mi/h com rumo 194°. Qual a distância entre eles após 10 horas?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 66
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    Após 10 horas: Navio 1 percorreu 180 mi (rumo 320°), Navio 2 percorreu 220 mi (rumo 194°). Ângulo entre os rumos = 126°. Lei dos Cossenos: d2=1802+2202−2⋅180⋅220cos⁡126°≈127200d^2=180^2+220^2-2\cdot180\cdot220\cos126°\approx127200, logo d≈356,9d\approx356{,}9 mi.
  40. Ex. 15.40Challenge

    Dois aviões decolam do mesmo aeroporto. Um voa a 500 mi/h numa direção 20° a leste do norte; o outro voa a 600 mi/h numa direção 30° a leste do sul. Qual a distância entre eles após 2 horas?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2 · ex. 72
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    Em 2 horas: Avião 1 percorreu 1000 mi (rumo 20°), Avião 2 percorreu 1200 mi (rumo 150°). Ângulo entre os rumos = 130°. Lei dos Cossenos: d2=10002+12002−2⋅1000⋅1200cos⁡130°≈3982800d^2=1000^2+1200^2-2\cdot1000\cdot1200\cos130°\approx3982800, logo d≈1995,7d\approx1995{,}7 mi.
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    1. Calcule as distâncias: d1=500×2=1000d_1=500\times2=1000 mi e d2=600×2=1200d_2=600\times2=1200 mi.
    2. Determine o ângulo entre os rumos: azimute 20° e azimute 150°, diferença = 130°.
    3. Lei dos Cossenos: d2=10002+12002−2⋅1000⋅1200cos⁡130°≈3982800d^2=1000^2+1200^2-2\cdot1000\cdot1200\cos130°\approx3982800.
    4. Extraia a raiz: d≈1995,7d\approx1995{,}7 mi.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

  • Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §10.1–10.2: leis dos senos e cossenos. Fonte primária.
  • Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.2–11.3: triângulos não-retângulos.
  • University Physics Vol. 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · cap. 2: vetores e adição vetorial. Fonte primária do bloco C (modelagem).
  • Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7: trigonometria aplicada.

Updated on 2026-05-04 · Author(s): Clube da Matemática

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