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Lesson 17 — Arithmetic Progressions (AP)

Sequence with constant difference. General term, sum of terms (Gauss), financial and physical applications.

Used in: 1.º year HS (15 years) · Equiv. Math I Japanese · Equiv. Klasse 10 German

an=a1+(n−1) r,Sn=n (a1+an)2a_n = a_1 + (n-1)\,r, \qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}

Progressão aritmética: cada termo difere do anterior por uma razão constante rr. À esquerda, o termo geral. À direita, a soma dos primeiros nn termos — fórmula descoberta por Gauss aos 8 anos.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e fórmulas

Termo geral

an=a1+(n−1) ra_n = a_1 + (n-1)\,r
(1)
what this means · Termo geral da PA. Entre a₁ e aₙ existem exatamente n−1 saltos de tamanho r.

Demonstrável por indução em nn. Equivalente a an=ap+(n−p) ra_n = a_p + (n-p)\,r para qualquer índice pp.

"Uma sequência aritmética é uma sequência na qual a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é constante." — OpenStax College Algebra 2e, §9.2

Soma dos nn primeiros termos

Sn=∑k=1nak=n (a1+an)2=n [ 2a1+(n−1)r ]2S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\,[\,2a_1 + (n-1)r\,]}{2}
(2)
what this means · Soma de Gauss. Cada par de termos equidistantes dos extremos soma a₁ + aₙ. Com n/2 pares, a soma total é n(a₁ + aₙ)/2.

Demonstração (Gauss criança, ∼\sim1789): escreva SnS_n duas vezes — em ordem crescente e decrescente:

Sn=a1+a2+…+an−1+anSn=an+an−1+…+a2+a1\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 \end{aligned}

Somando termo a termo: 2Sn=n (a1+an)2 S_n = n\,(a_1 + a_n), pois cada par soma a1+ana_1 + a_n. ∎

Propriedades

  • Média aritmética: três termos consecutivos satisfazem an=(an−1+an+1)/2a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2.
  • Crescente se r>0r > 0, decrescente se r<0r < 0, constante se r=0r = 0.
  • Soma dos extremos = soma dos termos equidistantes: a1+an=a2+an−1=…a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots

Soma de potências (preview)

∑k=1nk=n(n+1)2,∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6,∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 2Modeling 7Challenge 6Proof 1
  1. Ex. 17.1Understanding

    Como se determina se uma sequência é aritmética?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 3
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    Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência (an)(a_n) tal que an+1−an=ra_{n+1} - a_n = r (constante) para todo nn. Essa constante rr chama-se razão.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. Defina sequência aritmética: an+1−an=ra_{n+1} - a_n = r para algum rr fixo.
    2. 2. Exemplo: 2,5,8,112, 5, 8, 11 tem r=3r = 3 constante.
    3. 3. Contraste com PG: na PG a razão é multiplicativa, não aditiva.
    4. 4. Conclua: a diferença constante é a marca da PA.
  2. Ex. 17.2Application

    Encontre a razão (diferença comum) da PA {5,11,17,23,29,…}\{5, 11, 17, 23, 29, \ldots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 6
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    A diferença entre termos consecutivos é 11−5=611 - 5 = 6, constante em toda a sequência.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. Calcule a2−a1=11−5=6a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6.
    2. 2. Verifique a3−a2=17−11=6a_3 - a_2 = 17 - 11 = 6.
    3. 3. Verifique a4−a3=23−17=6a_4 - a_3 = 23 - 17 = 6.
    4. 4. A diferença comum é r=6r = 6.
  3. Ex. 17.3Application

    Determine se a sequência {11,4,  9,3,  7,2,  5,1,  3,  …}\{11{,}4,\;9{,}3,\;7{,}2,\;5{,}1,\;3,\;\ldots\} é aritmética e, se for, encontre a razão.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 8
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    As diferenças são 9,3−11,4=−2,19{,}3 - 11{,}4 = -2{,}1, constantes, logo d=−2,1d = -2{,}1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. Calcule a2−a1=9,3−11,4=−2,1a_2 - a_1 = 9{,}3 - 11{,}4 = -2{,}1.
    2. 2. Calcule a3−a2=7,2−9,3=−2,1a_3 - a_2 = 7{,}2 - 9{,}3 = -2{,}1.
    3. 3. Verifique mais um: a4−a3=5,1−7,2=−2,1a_4 - a_3 = 5{,}1 - 7{,}2 = -2{,}1.
    4. 4. Conclua: é PA com d=−2,1d = -2{,}1.
  4. Ex. 17.4Understanding

    Determine se a sequência {4,16,64,256,1024,…}\{4, 16, 64, 256, 1024, \ldots\} é aritmética. Justifique.

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    OpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 9
    Show solution
    As diferenças 16−4=1216-4=12, 64−16=4864-16=48 não são iguais, portanto não é PA.
  5. Ex. 17.5ApplicationAnswer key

    Escreva os cinco primeiros termos da PA com a1=−25a_1 = -25 e d=−9d = -9.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 10
    Show solution
    Use an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d com a1=−25a_1 = -25 e d=−9d = -9.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. a1=−25a_1 = -25.
    2. 2. a2=−25+(−9)=−34a_2 = -25 + (-9) = -34.
    3. 3. a3=−34−9=−43a_3 = -34 - 9 = -43.
    4. 4. a4=−52a_4 = -52, a5=−61a_5 = -61.
  6. Ex. 17.6Application

    Escreva os cinco primeiros termos da PA com a1=0a_1 = 0 e d=23d = \frac{2}{3}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 11
    Show solution
    Aplique an=(n−1)⋅23a_n = (n-1)\cdot\frac{2}{3} para n=1,2,3,4,5n = 1, 2, 3, 4, 5.
  7. Ex. 17.7ModelingAnswer key

    Escreva os cinco primeiros termos da PA sabendo que a1=17a_1 = 17 e a7=−31a_7 = -31.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 12
    Show solution
    Calcule d=a7−a16=−31−176=−8d = \frac{a_7 - a_1}{6} = \frac{-31 - 17}{6} = -8; depois liste os cinco primeiros termos com razão −8-8.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. d=a7−a16=−31−176=−8d = \frac{a_7 - a_1}{6} = \frac{-31-17}{6} = -8.
    2. 2. a1=17a_1 = 17; a2=17+(−8)=9a_2 = 17 + (-8) = 9.
    3. 3. a3=1a_3 = 1, a4=−7a_4 = -7, a5=−15a_5 = -15.
    4. 4. Verifique: a7=17+6⋅(−8)=−31a_7 = 17 + 6\cdot(-8) = -31. ✓
  8. Ex. 17.8Modeling

    Escreva os cinco primeiros termos da PA com a13=−60a_{13} = -60 e a33=−160a_{33} = -160.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 13
    Show solution
    Calcule d=−160−(−60)33−13=−5d = \frac{-160-(-60)}{33-13} = -5; depois obtenha a1=a13−12d=−60+60=0a_1 = a_{13} - 12d = -60 + 60 = 0.
  9. Ex. 17.9Application

    Com a1=3a_1 = 3 e d=4d = 4, calcule o quinto termo da PA.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 14
    Show solution
    Use a5=a1+4d=3+4⋅4=19a_5 = a_1 + 4d = 3 + 4 \cdot 4 = 19.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. a1=3a_1 = 3, d=4d = 4.
    2. 2. Fórmula: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d.
    3. 3. a5=3+4⋅4=3+16=19a_5 = 3 + 4 \cdot 4 = 3 + 16 = 19.
  10. Ex. 17.10Application

    Com a1=7a_1 = 7 e d=8d = 8, calcule o sétimo termo da PA.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 18
    Show solution
    Use a7=a1+6d=7+6⋅8=55a_7 = a_1 + 6d = 7 + 6 \cdot 8 = 55.
  11. Ex. 17.11Modeling

    Encontre o primeiro termo de uma PA sabendo que a6=12a_6 = 12 e a14=28a_{14} = 28.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 19
    Show solution
    A razão é d=28−1214−6=2d = \frac{28-12}{14-6} = 2; então a1=a6−5d=12−10=2a_1 = a_6 - 5d = 12 - 10 = 2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. Monte o sistema: a6=a1+5d=12a_6 = a_1 + 5d = 12 e a14=a1+13d=28a_{14} = a_1 + 13d = 28.
    2. 2. Subtraia: 8d=16⇒d=28d = 16 \Rightarrow d = 2.
    3. 3. Substitua: a1=12−5⋅2=2a_1 = 12 - 5 \cdot 2 = 2.
  12. Ex. 17.12ModelingAnswer key

    Encontre o primeiro termo de uma PA sabendo que a7=21a_7 = 21 e a15=42a_{15} = 42.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 20
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    Razão d=42−218=218d = \frac{42-21}{8} = \frac{21}{8}; portanto a1=21−6⋅218=214a_1 = 21 - 6\cdot\frac{21}{8} = \frac{21}{4}.
  13. Ex. 17.13Modeling

    Encontre o primeiro termo de uma PA sabendo que a8=40a_8 = 40 e a23=115a_{23} = 115. (Resp: 5)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 21
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    Razão d=115−4023−8=5d = \frac{115-40}{23-8} = 5; logo a1=40−7⋅5=5a_1 = 40 - 7 \cdot 5 = 5.
  14. Ex. 17.14Challenge

    Encontre o primeiro termo de uma PA sabendo que a9=54a_9 = 54 e a17=102a_{17} = 102.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 22
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    Razão d=102−548=6d = \frac{102-54}{8} = 6; então a1=54−8⋅6=6a_1 = 54 - 8 \cdot 6 = 6.
  15. Ex. 17.15Challenge

    Determine a razão de uma PA sabendo que a11=11a_{11} = 11 e a21=16a_{21} = 16.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 23
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    Razão d=16−1121−11=510=12d = \frac{16-11}{21-11} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}. Logo a1=11−10⋅12=6a_1 = 11 - 10 \cdot \frac{1}{2} = 6, mas o enunciado pede a1a_1: a1=a11−10d=11−5=6a_1 = a_{11} - 10d = 11 - 5 = 6. (A pergunta pede a razão.)
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. Monte o sistema: a11=a1+10d=11a_{11} = a_1 + 10d = 11 e a21=a1+20d=16a_{21} = a_1 + 20d = 16.
    2. 2. Subtraia: 10d=5⇒d=1210d = 5 \Rightarrow d = \frac{1}{2}.
    3. 3. Logo a1=11−5=6a_1 = 11 - 5 = 6.
  16. Ex. 17.16Application

    Dados a1=33a_1 = 33 e a7=−15a_7 = -15 em uma PA, calcule a4a_4.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 24
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    Razão d=−15−336=−8d = \frac{-15-33}{6} = -8; logo a4=33+3⋅(−8)=9a_4 = 33 + 3\cdot(-8) = 9.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. d=a7−a16=−15−336=−8d = \frac{a_7 - a_1}{6} = \frac{-15-33}{6} = -8.
    2. 2. a4=a1+3d=33+3(−8)=9a_4 = a_1 + 3d = 33 + 3(-8) = 9.
  17. Ex. 17.17ChallengeAnswer key

    Dados a3=−17,1a_3 = -17{,}1 e a10=−15,7a_{10} = -15{,}7, calcule a21a_{21}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 25
    Show solution
    Razão d=−15,7−(−17,1)10−3=1,47=0,2d = \frac{-15{,}7-(-17{,}1)}{10-3} = \frac{1{,}4}{7} = 0{,}2; logo a21=−17,1+18⋅0,2=−13,5a_{21} = -17{,}1 + 18\cdot 0{,}2 = -13{,}5. Usando a10a_{10}: a21=−15,7+11⋅0,2=−13,5a_{21} = -15{,}7 + 11\cdot 0{,}2 = -13{,}5.
  18. Ex. 17.18Application

    Use a fórmula recursiva a1=39a_1 = 39, an=an−1−3a_n = a_{n-1} - 3 para escrever os cinco primeiros termos.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 26
    Show solution
    Use a fórmula recursiva an=an−1−3a_n = a_{n-1} - 3 a partir de a1=39a_1 = 39.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. a1=39a_1 = 39.
    2. 2. a2=39−3=36a_2 = 39 - 3 = 36.
    3. 3. a3=33a_3 = 33, a4=30a_4 = 30, a5=27a_5 = 27.
  19. Ex. 17.19Application

    Use a fórmula recursiva a1=−19a_1 = -19, an=an−1−1,4a_n = a_{n-1} - 1{,}4 para escrever os cinco primeiros termos.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 27
    Show solution
    Use an=an−1−1,4a_n = a_{n-1} - 1{,}4 a partir de a1=−19a_1 = -19.
  20. Ex. 17.20ApplicationAnswer key

    Escreva uma fórmula recursiva para a PA {40,60,80,…}\{40, 60, 80, \ldots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 28
    Show solution
    A diferença é 60−40=2060-40=20; a fórmula recursiva é a1=40,  an=an−1+20a_1=40,\;a_n = a_{n-1}+20.
  21. Ex. 17.21ApplicationAnswer key

    Escreva uma fórmula recursiva para a PA {17,26,35,…}\{17, 26, 35, \ldots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 29
    Show solution
    A diferença é 26−17=926-17=9; fórmula recursiva: a1=17,  an=an−1+9a_1=17,\;a_n = a_{n-1}+9.
  22. Ex. 17.22Application

    Escreva uma fórmula recursiva para a PA {−1,2,5,…}\{-1, 2, 5, \ldots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 30
    Show solution
    A diferença é 2−(−1)=32-(-1)=3; fórmula recursiva: a1=−1,  an=an−1+3a_1=-1,\;a_n=a_{n-1}+3.
  23. Ex. 17.23ApplicationAnswer key

    Para a PA {7,4,1,…}\{7, 4, 1, \ldots\}, escreva uma fórmula recursiva e calcule o 17.º termo.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 38
    Show solution
    Fórmula recursiva: a1=7,  d=−3a_1=7,\;d=-3. O 17.º termo: a17=7+16⋅(−3)=7−48=−41a_{17} = 7 + 16\cdot(-3) = 7 - 48 = -41.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. Identifique a1=7a_1 = 7, d=4−7=−3d = 4-7 = -3.
    2. 2. a17=a1+16d=7+16(−3)a_{17} = a_1 + 16d = 7 + 16(-3).
    3. 3. a17=7−48=−41a_{17} = 7 - 48 = -41.
  24. Ex. 17.24Application

    Para a PA {4,11,18,…}\{4, 11, 18, \ldots\}, escreva uma fórmula recursiva e calcule o 14.º termo. (Resp: 95)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 39
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    a1=4a_1=4, d=7d=7. O 14.º termo: a14=4+13⋅7=4+91=95a_{14} = 4 + 13\cdot7 = 4 + 91 = 95.
  25. Ex. 17.25Application

    Para a PA {2,6,10,…}\{2, 6, 10, \ldots\}, escreva uma fórmula recursiva e calcule o 12.º termo.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 40
    Show solution
    a1=2a_1=2, d=4d=4. O 12.º termo: a12=2+11⋅4=46a_{12} = 2 + 11\cdot4 = 46.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. Fórmula recursiva: a1=2a_1=2, an=an−1+4a_n = a_{n-1}+4.
    2. 2. Explícita: an=2+(n−1)4=4n−2a_n = 2+(n-1)4 = 4n-2.
    3. 3. a12=4(12)−2=46a_{12} = 4(12)-2 = 46.
  26. Ex. 17.26Application

    Use a fórmula explícita an=24−4na_n = 24 - 4n para escrever os cinco primeiros termos da PA.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 41
    Show solution
    Use an=24−4na_n = 24 - 4n para n=1,2,3,4,5n = 1, 2, 3, 4, 5: os termos são 20,16,12,8,420, 16, 12, 8, 4.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. a1=24−4=20a_1 = 24-4 = 20.
    2. 2. a2=24−8=16a_2 = 24-8 = 16.
    3. 3. a3=12a_3 = 12, a4=8a_4 = 8, a5=4a_5 = 4.
  27. Ex. 17.27ApplicationAnswer key

    Use a fórmula explícita an=12n−12a_n = \frac{1}{2}n - \frac{1}{2} para escrever os cinco primeiros termos.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 42
    Show solution
    Use an=12n−12a_n = \frac{1}{2}n - \frac{1}{2} para n=1,2,3,4,5n = 1, 2, 3, 4, 5.
  28. Ex. 17.28Application

    Escreva uma fórmula explícita para a PA {3,5,7,…}\{3, 5, 7, \ldots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 43
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    a1=3a_1=3, d=2d=2; fórmula explícita: an=3+(n−1)⋅2=2n+1a_n = 3 + (n-1)\cdot2 = 2n+1.
  29. Ex. 17.29Application

    Escreva uma fórmula explícita para a PA {32,24,16,…}\{32, 24, 16, \ldots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 44
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    a1=32a_1=32, d=−8d=-8; an=32+(n−1)(−8)=40−8na_n = 32+(n-1)(-8) = 40-8n.
  30. Ex. 17.30Application

    Escreva uma fórmula explícita para a PA {−5,95,195,…}\{-5, 95, 195, \ldots\}. (Resp: 100n−105100n-105)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 45
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    a1=−5a_1=-5, d=100d=100; an=−5+(n−1)⋅100=100n−105a_n = -5+(n-1)\cdot100 = 100n-105.
  31. Ex. 17.31ApplicationAnswer key

    Escreva uma fórmula explícita para a PA {−17,−217,−417,…}\{-17, -217, -417, \ldots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 46
    Show solution
    a1=−17a_1=-17, d=−200d=-200; an=−17+(n−1)(−200)=−200n+183a_n = -17+(n-1)(-200) = -200n+183.
  32. Ex. 17.32Application

    Escreva uma fórmula explícita para a PA {1,8,  3,6,  5,4,  …}\{1{,}8,\;3{,}6,\;5{,}4,\;\ldots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 47
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    a1=1,8a_1=1{,}8, d=1,8d=1{,}8; an=1,8+(n−1)⋅1,8=1,8na_n = 1{,}8+(n-1)\cdot1{,}8 = 1{,}8n.
  33. Ex. 17.33Application

    Quantos termos tem a PA finita {3,−4,−11,…,−60}\{3, -4, -11, \ldots, -60\}?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 53
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    A PA é {3,−4,−11,…,−60}\{3, -4, -11, \ldots, -60\} com d=−7d=-7. Use an=3+(n−1)(−7)=−60a_n = 3+(n-1)(-7)=-60, resolvendo: n=10n=10.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. d=−4−3=−7d = -4-3 = -7.
    2. 2. an=3+(n−1)(−7)=−60a_n = 3 + (n-1)(-7) = -60.
    3. 3. (n−1)(−7)=−63⇒n−1=9⇒n=10(n-1)(-7) = -63 \Rightarrow n-1 = 9 \Rightarrow n = 10.
  34. Ex. 17.34Application

    Quantos termos tem a PA finita {1,2,  1,4,  1,6,  …,  3,8}\{1{,}2,\;1{,}4,\;1{,}6,\;\ldots,\;3{,}8\}? (Resp: 14)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 54
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    d=0,2d=0{,}2; resolva 1,2+(n−1)⋅0,2=3,81{,}2+(n-1)\cdot0{,}2=3{,}8: n=14n=14.
  35. Ex. 17.35Modeling

    Quantos termos tem a PA finita {12,  2,  72,  …,  8}\left\{\frac{1}{2},\;2,\;\frac{7}{2},\;\ldots,\;8\right\}?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 55
    Show solution
    d=2−12=32d = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}; resolva 12+(n−1)⋅32=8\frac{1}{2}+(n-1)\cdot\frac{3}{2}=8: n=5n=5.
  36. Ex. 17.36ChallengeAnswer key

    Encontre o 5.º termo da PA {9b,5b,b,…}\{9b, 5b, b, \ldots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 68
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    A PA {9b,5b,b,…}\{9b, 5b, b, \ldots\} tem a1=9ba_1=9b e d=−4bd=-4b. O 5.º termo: a5=9b+4(−4b)=−7ba_5 = 9b + 4(-4b) = -7b.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. d=5b−9b=−4bd = 5b - 9b = -4b.
    2. 2. a5=9b+4(−4b)=9b−16b=−7ba_5 = 9b + 4(-4b) = 9b - 16b = -7b.
  37. Ex. 17.37Challenge

    Em qual termo a sequência {5,4,  14,5,  23,6,  …}\{5{,}4,\;14{,}5,\;23{,}6,\;\ldots\} supera 151 pela primeira vez?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 70
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    Resolva 5,4+(n−1)⋅9,1=1515{,}4 + (n-1)\cdot9{,}1 = 151: n=145,69,1+1≈17n = \frac{145{,}6}{9{,}1} + 1 \approx 17.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. d=14,5−5,4=9,1d = 14{,}5 - 5{,}4 = 9{,}1.
    2. 2. 5,4+(n−1)⋅9,1>1515{,}4 + (n-1)\cdot9{,}1 > 151.
    3. 3. (n−1)>145,69,1≈16(n-1) > \frac{145{,}6}{9{,}1} \approx 16.
    4. 4. O menor inteiro é n=17n = 17.
  38. Ex. 17.38Challenge

    A partir de qual termo a sequência {173,  316,  143,  …}\left\{\frac{17}{3},\;\frac{31}{6},\;\frac{14}{3},\;\ldots\right\} começa a ter valores negativos?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 71
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    a1=173a_1 = \frac{17}{3}, d=316−173=−12d = \frac{31}{6} - \frac{17}{3} = -\frac{1}{2}. Resolva 173+(n−1)(−12)<0\frac{17}{3} + (n-1)(-\frac{1}{2}) < 0: n>343+1≈12,3n > \frac{34}{3}+1 \approx 12{,}3, primeiro inteiro com valor negativo é n=14n=14.
  39. Ex. 17.39Proof

    Para quais posições a PA finita {52,  198,  94,  …,  18}\left\{\frac{5}{2},\;\frac{19}{8},\;\frac{9}{4},\;\ldots,\;\frac{1}{8}\right\} assume valores inteiros?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 72
    Show solution
    A PA é 52,  198,  94,  …,  18\frac{5}{2},\;\frac{19}{8},\;\frac{9}{4},\;\ldots,\;\frac{1}{8} com d=198−52=−18d = \frac{19}{8}-\frac{5}{2} = -\frac{1}{8}. Os termos inteiros são a1=52a_1=\frac{5}{2} (não inteiro), mas calculando: an=52−n−18a_n = \frac{5}{2} - \frac{n-1}{8}. Valores inteiros quando 8∣(n−1)8 \mid (n-1), ou seja n=1n=1 e n=9n=9. Neste intervalo: n=1n=1 (a1=52a_1=\frac{5}{2} — não inteiro) e... Verificação direta: a1=52a_1=\frac{5}{2}, a2=198a_2=\frac{19}{8}, a3=94a_3=\frac{9}{4}, a4=178a_4=\frac{17}{8}, a5=2a_5=2 (inteiro), ..., a13=18a_{13}=\frac{1}{8}. Inteiros: a5=2a_5=2 e a9=1a_9=1.
  40. Ex. 17.40Modeling

    Na PA {9b,5b,b,…}\{9b, 5b, b, \ldots\} com b>0b > 0, qual é o primeiro termo negativo?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2 · ex. 68
    Show solution
    A PA {9b,5b,b,…}\{9b, 5b, b, \ldots\} tem d=−4bd=-4b. O termo an=9b+(n−1)(−4b)a_n=9b+(n-1)(-4b) é zero quando 9−(n−1)⋅4=09-(n-1)\cdot4=0, mas para b≠0b \neq 0 o 5.º termo a5=−7ba_5=-7b é o primeiro com valor menor que zero se b>0b>0, já que a3=ba_3=b, a4=−3ba_4=-3b. O 4.º termo é o primeiro negativo (para b>0b>0).
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1. d=−4bd = -4b (para b>0b>0, a razão é negativa).
    2. 2. a4=9b+3(−4b)=−3ba_4 = 9b + 3(-4b) = -3b, que é negativo quando b>0b>0.
    3. 3. a3=b>0a_3 = b > 0. Logo o 4.º termo é o primeiro negativo.

Fontes

  • OpenStax — College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2.ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §9.2 (Arithmetic Sequences), §9.4 (Series and Their Notations). Fonte primária dos exercícios e Exemplos 1, 3 e 5.
  • Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9.1–9.2 (Sequences and Summation Notation). Fonte do Exemplo 2 e exercícios estruturais.
  • Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3.ª ed · EN · livre · cap. 10 (Mathematical Induction). Fonte das demonstrações 17.31, 17.32, 17.34.
  • OpenStax — College Physics 2e — Paul Peter Urone et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §2.7 (Falling Objects). Fonte do Exemplo 5 e do exercício 17.23 (queda livre).
  • Wikilivros — Matemática elementar (Progressões aritméticas) — vivo · PT-BR · CC-BY-SA. Referência em português para meios aritméticos e exercícios práticos.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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