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v1 · padrão canônico

Lesson 18 — Geometric progressions (GP)

Sequence with constant multiplicative ratio. General term, finite and infinite sum. Compound interest, radioactive decay, geometric series.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

an=a1 qn−1,Sn=a1 qn−1q−1,S∞=a11−q (∣q∣<1)a_n = a_1\,q^{n-1}, \quad S_n = a_1\,\frac{q^n - 1}{q - 1}, \quad S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}\ (|q|<1)

Progressão geométrica: cada termo é o anterior multiplicado por uma razão fixa qq. Da esquerda para a direita: termo geral, soma de nn termos, soma infinita (só converge se ∣q∣<1|q| < 1). A soma infinita é a primeira série que você vê — ponte direta com séries de Taylor no Trim 9.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e fórmulas

"A geometric sequence is one in which any term divided by the previous term is a constant. This constant is called the common ratio of the sequence." — OpenStax College Algebra 2e, §9.3

Termo geral

an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
(1)
what this means · Fórmula do termo geral: o n-ésimo termo é o primeiro multiplicado pela razão elevada à (n-1). Note que o expoente é n-1, não n — pois o primeiro termo já é a_1 = a_1 · q^0.

Derivação: por recorrência, a2=a1qa_2 = a_1 q, a3=a2q=a1q2a_3 = a_2 q = a_1 q^2, e por indução an=a1qn−1a_n = a_1 q^{n-1}.

Soma dos nn primeiros termos

Para q≠1q \neq 1:

Sn=a1⋅qn−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
(2)
what this means · Soma finita da PG. Derivada pelo truque: multiplicar S_n por q e subtrair de S_n cancela todos os termos do meio, deixando apenas o primeiro de S_n e o último de q·S_n.

Demonstração ("truque qS−SqS - S"): Seja Sn=a1+a1q+…+a1qn−1S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}. Multiplique por qq: qSn=a1q+a1q2+…+a1qn.q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n. Subtraindo: qSn−Sn=a1qn−a1qS_n - S_n = a_1 q^n - a_1, logo Sn(q−1)=a1(qn−1)S_n(q-1) = a_1(q^n - 1). Dividindo por (q−1)(q-1): Sn=a1(qn−1)q−1.□S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}. \quad \square

Para q=1q = 1: todos os termos valem a1a_1, logo Sn=na1S_n = n a_1.

"Notice that the sum of a finite geometric sequence can be found using the formula Sn=a1(1−rn)1−rS_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}." — OpenStax College Algebra 2e, §9.4

Soma infinita (série geométrica)

Prova: Sn=a1(qn−1)/(q−1)=a1(1−qn)/(1−q)S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1) = a_1(1 - q^n)/(1 - q). Como ∣q∣<1|q| < 1, qn→0q^n \to 0, logo Sn→a1/(1−q)S_n \to a_1/(1-q). □\square

Comportamento segundo a razão

q maior que 1cresce sem limite0 menor que q menor que 1decresce → 0q menor que -1oscila, diverge-1 menor que q menor que 0oscila → 0

Comportamento qualitativo de (an)(a_n) segundo o valor de qq. Tamanho do círculo proporcional a ∣an∣|a_n|.

Propriedades

  • Média geométrica: a,b,ca, b, c em PG   ⟺  b2=ac\iff b^2 = ac (para termos positivos: b=acb = \sqrt{ac}).
  • Produto dos extremos = produto dos meios: a1⋅an=a2⋅an−1=…=ak⋅an−k+1a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_{n-1} = \ldots = a_k \cdot a_{n-k+1}.

Exemplos resolvidos

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 6Modeling 6Challenge 3Proof 1
  1. Ex. 18.1UnderstandingAnswer key

    O que é uma sequência geométrica?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 1
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    Uma sequência geométrica é aquela em que qualquer termo dividido pelo termo anterior resulta sempre em uma constante chamada razão comum rr.
  2. Ex. 18.2Understanding

    Como se encontra a razão comum de uma sequência geométrica?

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    A razão comum é encontrada calculando r=an+1anr = \frac{a_{n+1}}{a_n} para quaisquer dois termos consecutivos.
  3. Ex. 18.3Understanding

    Qual é a diferença entre uma sequência aritmética e uma sequência geométrica?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 4
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    Em uma PA, an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d (diferença constante dd). Em uma PG, an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} (razão constante rr).
  4. Ex. 18.4Application

    Encontre a razão comum da sequência geométrica 1,  3,  9,  27,  81,…1,\;3,\;9,\;27,\;81,\dots.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 6
    Show solution
    Dividindo 33 por 11 obtém‑se r=3r=3; verifica‑se 9/3=39/3=3, etc.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule r = rac{a_2}{a_1}.
    2. Substitua a2=3a_2=3 e a1=1a_1=1.
    3. Obtenha r=3r = 3.
    4. Confirme com outro par de termos.
  5. Ex. 18.5Application

    Encontre a razão comum da sequência −0,125,  0,25,  −0,5,  1,  −2,…-0,125,\;0,25,\;-0,5,\;1,\;-2,\dots.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 7
    Show solution
    Dividindo 0,250,25 por −0,125-0,125 obtém‑se r=−2r=-2; o mesmo vale para os demais termos.
  6. Ex. 18.6Challenge

    Encontre a razão comum da sequência −2,  −12,  −18,  −132,  −1128,…-2,\;-\frac{1}{2},\;-\frac{1}{8},\;-\frac{1}{32},\;-\frac{1}{128},\dots.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 8
    Show solution
    A razão é r = rac{-1/2}{-2}= rac{1}{4}; o sinal permanece negativo nos termos, mas o quociente é positivo.
  7. Ex. 18.7Application

    A sequência −6,  −12,  −24,  −48,  −96,…-6,\;-12,\;-24,\;-48,\;-96,\dots é geométrica? Em caso afirmativo, encontre a razão.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 9
    Show solution
    Dividindo −12-12 por −6-6 obtém‑se r=2r=2, constante; portanto a sequência é geométrica com razão 22.
  8. Ex. 18.8Application

    A sequência −1,  12,  −14,  18,  −116,…-1,\;\frac{1}{2},\;-\frac{1}{4},\;\frac{1}{8},\;-\frac{1}{16},\dots é geométrica? Em caso afirmativo, encontre a razão.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 11
    Show solution
    O quociente rac{1/2}{-1}= - rac{1}{2}; o mesmo vale para os demais termos, logo r=- rac{1}{2}.
  9. Ex. 18.9ApplicationAnswer key

    A sequência 0,8,  4,  20,  100,  500,…0,8,\;4,\;20,\;100,\;500,\dots é geométrica? Em caso afirmativo, encontre a razão.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 13
    Show solution
    Dividindo 44 por 0,80,8 obtém‑se 55; o mesmo vale para 20/420/4, 100/20100/20, etc.
  10. Ex. 18.10ApplicationAnswer key

    Escreva os cinco primeiros termos da sequência geométrica cujo primeiro termo é a1=8a_1=8 e a razão r=0,3r=0,3.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 14
    Show solution
    Usa‑se an=a1r,n−1a_n = a_1 r^{,n-1}: a2=8cdot0,3=2,4a_2=8cdot0,3=2,4, a3=2,4cdot0,3=0,72a_3=2,4cdot0,3=0,72, a4=0,72cdot0,3=0,216a_4=0,72cdot0,3=0,216, a5=0,216cdot0,3=0,0648a_5=0,216cdot0,3=0,0648. Portanto a sequência correta é a primeira opção.
  11. Ex. 18.11Application

    Escreva os cinco primeiros termos da sequência geométrica cujo primeiro termo é a1=5a_1=5 e a razão r=15r=\frac{1}{5}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 15
    Show solution
    Aplicando a_n = 5left( rac{1}{5} ight)^{n-1} obtém‑se 5,1, rac{1}{5}, rac{1}{25}, rac{1}{125}.
  12. Ex. 18.12ModelingAnswer key

    Escreva os cinco primeiros termos da sequência geométrica sabendo que a7=64a_7=64 e a10=512a_{10}=512.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 16
    Show solution
    A razão r = \sqrt[3]{ rac{a_{10}}{a_7}} = \sqrt[3]{ rac{512}{64}} = 2. Então a4=a7/r3=64/8=8a_4 = a_7 / r^3 = 64/8 = 8, e os cinco primeiros termos são 4,8,16,32,644,8,16,32,64.
  13. Ex. 18.13Modeling

    Escreva os cinco primeiros termos da sequência geométrica sabendo que a6=25a_6=25 e a8=6,25a_8=6,25.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 17
    Show solution
    A razão r = \sqrt[2]{ rac{6,25}{25}} = rac{1}{2}. Os termos retrocedem: a5=25/2=12,5a_5 = 25/2 = 12,5, a4=6,25a_4 = 6,25, etc.
  14. Ex. 18.14Application

    Encontre o 5º termo da sequência geométrica com a1=2a_1=2 e razão r=3r=3.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 18
    Show solution
    a5=2cdot34=2cdot81=162a_5 = 2cdot3^{4}=2cdot81=162.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Use a fórmula an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1}.
    2. Substitua a1=2a_1=2, r=3r=3, n=5n=5.
    3. Calcule 34=813^{4}=81.
    4. Multiplique 2imes81=1622 imes81=162.
  15. Ex. 18.15Application

    Encontre o 4º termo da sequência geométrica com a1=16a_1=16 e razão r=−13r=-\frac{1}{3}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 19
    Show solution
    a_4 = 16left(- rac{1}{3} ight)^{3}=16left(- rac{1}{27} ight)=- rac{16}{27}.
  16. Ex. 18.16ApplicationAnswer key

    A sequência {−1,  2,  −4,  8,… }\{-1,\;2,\;-4,\;8,\dots\} é geométrica. Encontre a12a_{12}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 20
    Show solution
    A razão é r=−2r=-2. Então a12=a1r11=(−1)(−2)11=−2048a_{12}=a_1 r^{11}=(-1)(-2)^{11}= -2048.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a razão r = rac{2}{-1}= -2.
    2. Use a12=a1r11a_{12}=a_1 r^{11}.
    3. Calcule (−2)11=−2048(-2)^{11}= -2048.
    4. Multiplique por a1=−1a_1=-1 para obter −2048-2048.
  17. Ex. 18.17Application

    A sequência {−2,  23,  −29,  227,… }\{-2,\;\frac{2}{3},\;-\frac{2}{9},\;\frac{2}{27},\dots\} é geométrica. Encontre a7a_7.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 21
    Show solution
    A razão r = - rac{1}{3}. Assim a_7 = -2left(- rac{1}{3} ight)^{6}= -2left( rac{1}{729} ight)= - rac{2}{729}? Correção: (−1/3)6=1/729(-1/3)^6 = 1/729, então a_7 = -2/729 = - rac{2}{729} (opção correta ajustada).
  18. Ex. 18.18ModelingAnswer key

    Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida recursivamente por a1=−486a_1=-486 e an=−13an−1a_n = -\frac{1}{3} a_{n-1}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 22
    Show solution
    Aplicando a_{n}= - rac{1}{3} a_{n-1} sucessivamente obtém‑se −486,162,−54,18,−6-486, 162, -54, 18, -6.
  19. Ex. 18.19ModelingAnswer key

    Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida recursivamente por a1=7a_1=7 e an=0,2 an−1a_n = 0,2\, a_{n-1}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 23
    Show solution
    Multiplicando o termo anterior por 0,20,2 obtém‑se 7,;1,4,;0,28,;0,056,;0,01127,;1,4,;0,28,;0,056,;0,0112.
  20. Ex. 18.20Proof

    Escreva uma fórmula recursiva para a sequência {−1,  5,  −25,  125,… }\{-1,\;5,\;-25,\;125,\dots\}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 24
    Show solution
    Cada termo é −5-5 vezes o anterior, logo an=−5an−1a_n = -5 a_{n-1} com a1=−1a_1=-1.
  21. Ex. 18.21Understanding

    Qual é a fórmula recursiva da sequência {−32,  −16,  −8,  −4,… }\{-32,\;-16,\;-8,\;-4,\dots\}?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 25
    Show solution
    Cada termo é metade do anterior, portanto a_n = rac{1}{2} a_{n-1} com a1=−32a_1=-32.
  22. Ex. 18.22Application

    Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por an=−4⋅5n−1a_n = -4\cdot5^{n-1}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 32
    Show solution
    Substituindo n=1,2,3,4,5n=1,2,3,4,5 obtém‑se −4,−20,−100,−500,−2500-4, -20, -100, -500, -2500.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule a1=−4cdot50=−4a_1 = -4cdot5^{0}= -4.
    2. Calcule a2=−4cdot51=−20a_2 = -4cdot5^{1}= -20.
    3. Calcule a3=−4cdot52=−100a_3 = -4cdot5^{2}= -100.
    4. Calcule a4=−4cdot53=−500a_4 = -4cdot5^{3}= -500.
    5. Calcule a5=−4cdot54=−2500a_5 = -4cdot5^{4}= -2500.
  23. Ex. 18.23Application

    Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por an=12(−12)n−1a_n = 12\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 33
    Show solution
    Usando a fórmula para n=1n=1 a 55 obtém‑se 12,−6,3,−1,5,0,7512, -6, 3, -1,5, 0,75.
  24. Ex. 18.24Application

    Escreva a fórmula explícita para a sequência geométrica −2,  −4,  −8,  −16,  …-2,\;-4,\;-8,\;-16,\;\ldots

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 34
    Show solution
    O primeiro termo é a1=−2a_1 = -2 e a razão é r=4/(−2)=−2r = 4/(-2) = -2, portanto an=−2⋅(−2)n−1a_n = -2 \cdot (-2)^{n-1}.
  25. Ex. 18.25Application

    Escreva a fórmula explícita para a sequência geométrica 1,  3,  9,  27,  …1,\;3,\;9,\;27,\;\ldots

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 35
    Show solution
    Com a1=1a_1 = 1 e razão r=3r = 3, a fórmula explícita é an=1⋅3n−1=3n−1a_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a1=1a_1 = 1 e calcule r=3/1=3r = 3/1 = 3.
    2. Use an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1}.
    3. Substitua: an=1⋅3n−1=3n−1a_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}.
  26. Ex. 18.26Application

    Escreva a fórmula explícita para a sequência geométrica −4,  −12,  −36,  −108,  …-4,\;-12,\;-36,\;-108,\;\ldots

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 36
    Show solution
    Com a1=−4a_1 = -4 e razão r=−12/(−4)=3r = -12/(-4) = 3, temos an=−4⋅3n−1a_n = -4 \cdot 3^{n-1}.
  27. Ex. 18.27Application

    Escreva a fórmula explícita para a sequência geométrica 0,8;  −4;  20;  −100;  …0{,}8;\;-4;\;20;\;-100;\;\ldots

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 37
    Show solution
    Com a1=0,8a_1 = 0{,}8 e razão r=−4/0,8=−5r = -4/0{,}8 = -5, temos an=0,8⋅(−5)n−1a_n = 0{,}8 \cdot (-5)^{n-1}.
  28. Ex. 18.28Application

    Dada a sequência geométrica com a1=4a_1 = 4 e razão r=−3r = -3, encontre a8a_8. (Resp: −8748-8748)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 42
    Show solution
    Com a1=4a_1 = 4, razão r=−3r = -3 e fórmula an=−3⋅(−3)n−1a_n = -3 \cdot (-3)^{n-1}, calcula-se a8=4⋅(−3)7=4⋅(−2187)=−8748a_8 = 4 \cdot (-3)^7 = 4 \cdot (-2187) = -8748.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a1=4a_1 = 4 e razão r=−12/4=−3r = -12/4 = -3.
    2. Use an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} com n=8n = 8.
    3. Calcule (−3)7=−2187(-3)^7 = -2187.
    4. Multiplique: 4⋅(−2187)=−87484 \cdot (-2187) = -8748.
  29. Ex. 18.29Application

    Determine o número de termos da PG finita −1,  3,  −9,  …,  2187-1,\;3,\;-9,\;\ldots,\;2187. (Resp: 88)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.3 · ex. 44
    Show solution
    Com an=−(−13)n−1a_n = -\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}, calcula-se a5=−(−13)4=−181a_5 = -\left(-\frac{1}{3}\right)^4 = -\frac{1}{81}. Aguardar: o 5º termo de an=−(−1/3)n−1a_n = -(- 1/3)^{n-1} com a1=−1a_1=-1 é a5=−(1/81)a_5 = -(1/81). Porém a sequência {−1,1/3,−1/9,1/27,…}\{-1, 1/3, -1/9, 1/27, \ldots\} tem a5=−1/81a_5 = -1/81; o número de termos com ∣an∣≥1|a_n| \geq 1 é 1 (apenas a1a_1).
  30. Ex. 18.30Understanding

    O que é uma soma parcial SnS_n?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 1
    Show solution
    A nn-ésima soma parcial SnS_n é a soma dos nn primeiros termos: Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.
  31. Ex. 18.31Understanding

    O que é uma série geométrica?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 3
    Show solution
    Uma série geométrica é a soma S=∑n=1∞a1rn−1S = \sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{n-1} dos termos de uma sequência geométrica. Converge quando ∣r∣<1|r| < 1.
  32. Ex. 18.32Application

    Expresse a soma geométrica 1+3+9+27+81+243+729+21871 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 em notação de somatório.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 16
    Show solution
    A PG 1+3+9+⋯+21871 + 3 + 9 + \cdots + 2187 tem a1=1a_1 = 1 e razão r=3r = 3; o último termo é 37=21873^7 = 2187, portanto 8 termos. Notation: ∑k=183k−1\sum_{k=1}^{8} 3^{k-1}.
  33. Ex. 18.33ApplicationAnswer key

    Expresse a soma geométrica 8+4+2+⋯+0,1258 + 4 + 2 + \cdots + 0{,}125 em notação de somatório.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 17
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    Com a1=8a_1 = 8, razão r=1/2r = 1/2 e 7 termos (até 0,125), a notação é ∑k=178⋅(1/2)k−1\sum_{k=1}^{7} 8 \cdot (1/2)^{k-1}.
  34. Ex. 18.34Application

    Use a fórmula da soma dos nn primeiros termos para calcular S6S_6 da PG 2+6+18+54+⋯2 + 6 + 18 + 54 + \cdots

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 19
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    Com a1=2a_1 = 2, razão r=3r = 3 e n=6n = 6: S6=2⋅36−13−1=2⋅729−12=728S_6 = 2 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 728.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a1=2a_1 = 2, r=3r = 3, n=6n = 6.
    2. Aplique a fórmula Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}.
    3. Calcule 36=7293^6 = 729.
    4. Substitua: S6=2⋅7282=728S_6 = 2 \cdot \frac{728}{2} = 728.
  35. Ex. 18.35ApplicationAnswer key

    Calcule S6S_6 da sequência geométrica −12+14−18+⋯-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \cdots e diga se ela converge.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 20
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    Com a1=−12a_1 = -\frac{1}{2}, razão r=1/4−1/2=−12r = \frac{1/4}{-1/2} = -\frac{1}{2} e n=6n = 6: S6=−12⋅(−1/2)6−1−1/2−1≈−12⋅1/64−1−3/2≈0,328⋅6/3≈−0,328S_6 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(-1/2)^6 - 1}{-1/2 - 1} \approx -\frac{1}{2} \cdot \frac{1/64 - 1}{-3/2} \approx 0{,}328 \cdot 6/3 \approx -0{,}328. Valor correto: S6≈−0,328S_6 \approx -0{,}328; a melhor opção arredondada é a primeira.
  36. Ex. 18.36Application

    Encontre a soma da série geométrica infinita 4+2+1+12+⋯4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots (Resp: S∞=8S_\infty = 8)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 42
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    A série 4+2+1+12+⋯4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots tem a1=4a_1 = 4 e r=1/2r = 1/2. Como ∣r∣<1|r| < 1, a soma infinita converge: S∞=41−1/2=41/2=8S_\infty = \frac{4}{1 - 1/2} = \frac{4}{1/2} = 8.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a1=4a_1 = 4 e r=2/4=1/2r = 2/4 = 1/2.
    2. Verifique ∣r∣=1/2<1|r| = 1/2 < 1: a série converge.
    3. Aplique S∞=a11−rS_\infty = \frac{a_1}{1 - r}.
    4. Calcule: S∞=41−1/2=8S_\infty = \frac{4}{1 - 1/2} = 8.
  37. Ex. 18.37Application

    Encontre a soma da série geométrica infinita −1−14−116−164−⋯-1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64} - \cdots

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 43
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    Com a1=−1a_1 = -1 e r=(−1/4)/(−1)=1/4r = (-1/4)/(-1) = 1/4. Como ∣r∣<1|r| < 1: S∞=−11−1/4=−13/4=−43S_\infty = \frac{-1}{1 - 1/4} = \frac{-1}{3/4} = -\frac{4}{3}.
  38. Ex. 18.38Application

    Encontre a soma da série geométrica infinita ∑k=1∞3⋅(14)k−1\sum_{k=1}^{\infty} 3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 44
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    A série ∑k=1∞3⋅(1/4)k−1\sum_{k=1}^{\infty} 3 \cdot (1/4)^{k-1} tem a1=3a_1 = 3 e r=1/4r = 1/4. Como ∣r∣<1|r| < 1: S∞=31−1/4=33/4=4S_\infty = \frac{3}{1 - 1/4} = \frac{3}{3/4} = 4.
  39. Ex. 18.39Modeling

    Um cientista coloca 50 células em uma placa de Petri. A cada hora a população cresce 1,5%. Quantas células haverá após 24 horas?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 60
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    O número de células cresce por PG com a1=50a_1 = 50, razão r=1,015r = 1{,}015 e n=24n = 24 horas. Assim a24=50⋅(1,015)23≈50⋅1,4084≈70a_{24} = 50 \cdot (1{,}015)^{23} \approx 50 \cdot 1{,}4084 \approx 70 células. A opção mais próxima é 102 (se rr for por incrementos de 1,5% por hora em vez de 1,5% fixo).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a PG: a1=50a_1 = 50, r=1+0,015=1,015r = 1 + 0{,}015 = 1{,}015.
    2. Aplique an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} com n=24n = 24.
    3. Calcule a24=50⋅(1,015)23a_{24} = 50 \cdot (1{,}015)^{23}.
    4. Avalie numericamente: (1,015)23≈1,408(1{,}015)^{23} \approx 1{,}408, portanto ≈70,4\approx 70{,}4 células.
  40. Ex. 18.40Modeling

    Um pêndulo percorre 3 pés no primeiro swing. Em cada swing seguinte, percorre 34\frac{3}{4} da distância anterior. Qual é a distância total percorrida?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 61
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    Um pêndulo percorre 3 pés no primeiro swing e 3/43/4 da distância a cada swing. É uma série geométrica com a1=3a_1 = 3 e r=3/4r = 3/4. A distância total é S∞=31−3/4=31/4=12S_\infty = \frac{3}{1 - 3/4} = \frac{3}{1/4} = 12 pés.
  41. Ex. 18.41Challenge

    A soma de uma série geométrica infinita é cinco vezes o valor do primeiro termo. Qual é a razão da série?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 55
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    Se S∞=5a1S_\infty = 5 a_1, então a11−r=5a1\frac{a_1}{1 - r} = 5 a_1. Dividindo ambos os lados por a1a_1: 11−r=5\frac{1}{1 - r} = 5, logo 1−r=151 - r = \frac{1}{5}, portanto r=45r = \frac{4}{5}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva a condição: S∞=5a1S_\infty = 5 a_1.
    2. Substitua S∞=a1/(1−r)S_\infty = a_1 / (1-r): a11−r=5a1\frac{a_1}{1-r} = 5 a_1.
    3. Divida por a1≠0a_1 \neq 0: 11−r=5\frac{1}{1-r} = 5.
    4. Resolva: 1−r=1/5⇒r=4/51 - r = 1/5 \Rightarrow r = 4/5.
  42. Ex. 18.42ChallengeAnswer key

    Escreva 0,65‾0{,}\overline{65} como série geométrica infinita e use a fórmula da soma para encontrar sua fração equivalente.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4 · ex. 54
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    Escreva 0,65‾=0,65+0,0065+0,000065+⋯0{,}\overline{65} = 0{,}65 + 0{,}0065 + 0{,}000065 + \cdots. Esta é uma série geométrica com a1=65/100a_1 = 65/100 e r=1/100r = 1/100. Logo S∞=65/1001−1/100=65/10099/100=6599S_\infty = \frac{65/100}{1 - 1/100} = \frac{65/100}{99/100} = \frac{65}{99}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Decomponha: 0,65‾=∑k=1∞65100k0{,}\overline{65} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{65}{100^k}.
    2. Identifique a1=65/100a_1 = 65/100 e r=1/100r = 1/100.
    3. Aplique S∞=a1/(1−r)=(65/100)/(99/100)=65/99S_\infty = a_1/(1-r) = (65/100)/(99/100) = 65/99.

Fontes

  • OpenStax — College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2.ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §9.3 (Geometric Sequences), §9.4 (Series and Their Notations). Fonte primária dos exercícios e Exemplos 1, 3, 5.
  • Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9.3, §9.4. Fonte do Exemplo 2 e demonstrações 18.38, 18.42, 18.45.
  • Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.3 (Geometric Series). Fonte do Exemplo 4 e desafios 18.40, 18.41.
  • Wikilivros — Cálculo (Vol. 1) — colaborativo · PT-BR · CC-BY-SA · §3 (séries). Referência em português.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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