v1 · padrão canônico

Lesson 19 — Intuitive limit of sequences

Where does 1/n go? And (1+1/n)^n? Intuitive concept of sequence limits — first explicit bridge to formal calculus in Trim 5.

Used in: 1.º year HS (15 years old) · Equiv. Math I Japanese — preview ch. 6 · Equiv. Class 11 German — Folgen

\lim_{n \to \infty} a_n = L

A sequência $(a_n)$ converge ao limite $L$ quando seus termos ficam arbitrariamente próximos de $L$ à medida que $n$ cresce sem limite. Esta lição trata o conceito intuitivamente; a definição rigorosa com $\varepsilon$ e $N$ vem na Lição 41 (Trim 5).

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Conceito e propriedades

A pergunta central

"Dada uma sequência $(a_n)$ , para qual valor (se algum) os termos se aproximam quando $n \to \infty$ ?"

Quando esse valor existe, dizemos que a sequência converge e escrevemos $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ .

"A sequence $\{a_n\}$ converges to a real number $L$ if, and only if, for every $\varepsilon > 0$ there exists an integer $N$ such that if $n > N$ , then $|a_n - L| < \varepsilon$ ." — OpenStax Calculus Volume 2, §5.1

Limites notáveis

Sequência	Limite	Justificativa intuitiva
$1/n$	$0$	termos cada vez menores
$1/n^k$ com $k > 0$	$0$	idem, mais rápido
$q^n$ com $	q	< 1$
$q^n$ com $	q	> 1$
$(1 + 1/n)^n$	$e \approx 2{,}71828$	número de Euler
$\sqrt[n]{n}$	$1$	via logaritmo
$n^k / a^n$ com $a > 1$	$0$	exponencial vence polinômio
$n! / n^n$	$0$	$n^n$ explode mais que fatorial

Operações com limites

Se $\lim a_n = A$ e $\lim b_n = B$ (ambos finitos):

\lim(a_n \pm b_n) = A \pm B,\quad \lim(a_n \cdot b_n) = A \cdot B,\quad \lim\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}\ (B \neq 0)

(1)

what this means · Limite da soma é a soma dos limites — vale para todos os casos em que ambos os limites existem e são finitos.

Sequências que NÃO convergem

Divergem para $\pm\infty$ : $a_n = n$ , $a_n = 2^n$ .
Oscilam sem limite: $a_n = (-1)^n$ — alterna $1$ e $-1$ .
Limitadas sem limite: $a_n = \sin n$ — limitada mas não converge.

Teorema do confronto (Sandwich)

"Squeeze Theorem: if $a_n \leq b_n \leq c_n$ for all $n \geq N$ and $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L$ , then $\lim_{n\to\infty} b_n = L$ ." — Lebl, Basic Analysis I, §2.1

Critério da monótona limitada

Figuras: convergência e divergência

Esquerda: sequência convergente — termos se aglutinam em torno de L. Direita: sequência divergente por oscilação — nenhum valor é "destino".

Exemplos resolvidos

Example— 1· Limite de 1/n — o exemplo fundador

Problema: Calcule $\lim_{n \to \infty} 1/n$ .

Estratégia: Observe a sequência numericamente. Os termos diminuem indefinidamente — o limite intuitivo é $0$ . Para confirmar: dado qualquer alvo $\varepsilon > 0$ , basta $n > 1/\varepsilon$ para que $1/n < \varepsilon$ .

Resolução:

Liste alguns termos. $1,\ 1/2,\ 1/3,\ 1/4,\ \ldots,\ 1/100,\ \ldots,\ 1/10^6,\ \ldots$
Observe a tendência. Para qualquer $\varepsilon > 0$ , basta tomar $n > 1/\varepsilon$ para que $1/n < \varepsilon$ .
Conclua. $\lim_{n \to \infty} 1/n = 0$ .

Verificação: $1/10^6 = 10^{-6}$ , $1/10^{12} = 10^{-12}$ . Aproxima-se de zero sem nunca tocá-lo.

Fonte. Active Calculus §8.1 (Sequences) — licença CC-BY-NC-SA. Exemplo canônico de abertura do conceito de convergência.

Example— 2· Limite de razão de polinômios

Problema: Calcule $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n + 5}{n + 2}$ .

Estratégia: Divida numerador e denominador por $n$ (a maior potência presente). Isso isola os termos que tendem a zero.

Resolução:

Divida tudo por $n$ . $\dfrac{3n + 5}{n + 2} = \dfrac{3 + 5/n}{1 + 2/n}$ .
Tome o limite. Como $5/n \to 0$ e $2/n \to 0$ : $\dfrac{3 + 0}{1 + 0} = 3$ .
Conclua. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n + 5}{n + 2} = 3$ .

Verificação: $n = 1\,000$ : $(3\,005)/(1\,002) \approx 2{,}999$ . $n = 10^6$ : $\approx 2{,}999999$ . Converge a $3$ .

Macete. Para $\lim P(n)/Q(n)$ com $\deg P = \deg Q$ , o limite é a razão dos coeficientes de maior grau. Aqui: $3/1 = 3$ .

Fonte. Lebl — Basic Analysis I §2.2 — licença CC-BY-SA. Teorema dos limites de sequências.

Example— 3· Diferença de raizes — tecnica do conjugado

Problema: Calcule $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .

Estratégia: Forma indeterminada $\infty - \infty$ . Multiplique pelo conjugado $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ para racionalizar.

Resolução:

Multiplique pelo conjugado. $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \dfrac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ .
Analise o denominador. $\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to +\infty$ .
Conclua. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$ .

Verificação: $n = 100$ : $\sqrt{101} - 10 \approx 0{,}0499$ . $n = 10\,000$ : $\approx 0{,}005$ . Tende a zero.

Fonte. Lebl — Basic Analysis I §2.2 — licença CC-BY-SA. Técnica padrão para formas $\infty - \infty$ com raízes.

Example— 4· O número e via (1+1/n)^n

Problema: Mostre intuitivamente que $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n = e \approx 2{,}71828$ .

Estratégia: Calcule numericamente para $n$ crescente. O critério da monótona limitada garante que o limite existe.

Resolução:

Calcule alguns termos.

$n$ $(1 + 1/n)^n$
$1$ $2$
$10$ $2{,}5937$
$100$ $2{,}7048$
$1\,000$ $2{,}7169$
$10^6$ $2{,}71828$
Observe monotonicidade e limitação. Pode-se mostrar (via binômio de Newton) que a sequência é crescente e limitada superiormente por $3$ . Pelo teorema da monótona limitada, o limite existe.
Identifique o limite. O valor numérico $e \approx 2{,}71828\ldots$ é definido como esse limite (equivalente à série $\sum 1/k!$ ).

Verificação: SymPy: sp.limit((1 + 1/n)**n, n, sp.oo) retorna E.

Por que importa? Generalização: $\lim_{n \to \infty} (1 + r/n)^n = e^r$ . Para capitalização contínua a taxa $r$ , o fator anual é $e^r$ . A conexão com juros será formalizada no Trim 5.

Fonte. Active Calculus §8.1 — licença CC-BY-NC-SA. Demonstração rigorosa em Lebl §2.4.

Example— 5· Ponto fixo de recorrencia — metodo de Heron

Problema: Considere $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2$ . Para qual valor converge?

Estratégia: Se $a_n \to L$ , então $a_{n+1} \to L$ também. Passe ao limite na recorrência para obter equação algébrica em $L$ (equação do ponto fixo).

Resolução:

Suponha que o limite $L$ existe. $a_{n+1} \to L$ (mesma sequência, deslocada por 1).
Passe ao limite. $L = (L + 2/L)/2 \Rightarrow 2L = L + 2/L \Rightarrow L = 2/L \Rightarrow L^2 = 2$ .
Resolva. $L = \pm\sqrt{2}$ . Como $a_1 = 1 > 0$ e a recorrência preserva positividade, $L = \sqrt{2} \approx 1{,}41421$ .

Verificação numérica:

$n$	$a_n$
$1$	$1{,}000000$
$2$	$1{,}500000$
$3$	$1{,}416667$
$4$	$1{,}414216$
$5$	$1{,}414214$

Conexão. Esta é a iteração de Newton-Raphson para $f(x) = x^2 - 2$ . Convergência quadrática: dígitos corretos dobram a cada iteração. Algoritmo de Heron de Alexandria (séc. I d.C.), redescoberto por Newton no séc. XVII.

Fonte. Active Calculus §8.1 e OpenStax Calculus Volume 2 §5.1 — licenças CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 10Modeling 4Challenge 4

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios desta lição.

Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.1 (Sequences). Fonte primária — abordagem "ponte" para limites formais.
Basic Analysis I — Jiří Lebl · 2024, v6.0 · EN · CC-BY-SA · §2.1–2.2 (Sequences and Limits, Squeeze Theorem, Uniqueness). Fonte dos teoremas técnicos e demonstrações.
OpenStax — Calculus Volume 2 — Edwin Herman, Gilbert Strang et al. · 2022 · EN · CC-BY-NC-SA · §5.1 (Sequences), §5.3 (Divergence Tests). Tratamento visual e tabular.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3.ª ed · EN · livre · cap. 7 (Convergence). Fonte do exercício 19.34 (raiz aninhada).

$n$	$(1 + 1/n)^n$
$1$	$2$
$10$	$2{,}5937$
$100$	$2{,}7048$
$1\,000$	$2{,}7169$
$10^6$	$2{,}71828$