v1 · padrão canônico

Lesson 20 — Consolidation Trim 2: trigonometry, sequences, and intuitive limit

Integrating workshop for lessons 11–19. Problems combining trigonometry, arithmetic sequences, geometric sequences, and intuitive limit — synthesis before Trim 3.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês — revisão de unidade · Equiv. Klasse 10 alemã — Abschlusstest · Equiv. O-Level Singapore — End-of-topic consolidation

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,\quad a_n = a_1 + (n{-}1)r,\quad S_\infty = \frac{a_1}{1-q},\quad \lim_{n\to\infty}a_n = L

Os quatro pilares do Trim 2: identidade pitagórica (trig), termo geral de PA, soma de PG infinita e limite de sequência. Esta consolidação exige fluência em integrar todos num mesmo problema.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Síntese rigorosa do Trim 2

Esta lição não introduz conteúdo novo. Ela consolida as ferramentas das Lições 11-19 e estabelece conexões entre elas.

Trigonometria — estrutura

Definition· Identidades fundamentais do Trim 2

Seja $\theta \in \mathbb{R}$ (ângulo em radianos). As três identidades centrais são:

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad \text{(pitagórica)}$

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \quad \text{(adição)}$

$\sin A + \sin B = 2\sin\!\frac{A+B}{2}\cos\!\frac{A-B}{2} \quad \text{(soma-produto)}$

Para triângulos quaisquer ( $ABC$ com lados $a, b, c$ opostos aos ângulos $A, B, C$ ):

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \quad \text{(lei dos senos)}$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \quad \text{(lei dos cossenos)}$

"A soma-produto transforma adição de senos em produto de senos e cossenos — essencial para simplificar equações com múltiplos ângulos." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.4

Sequências — estrutura

"The key idea: if $|r| < 1$ , the geometric series converges to $\dfrac{a}{1-r}$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.4

"A sequence {a_n} converges to $L$ if for every $\varepsilon > 0$ there exists an index $N$ such that $|a_n - L| < \varepsilon$ for all $n \geq N$ ." — Active Calculus §8.2

Mapa de conexões entre tópicos

Mapa de dependências entre os tópicos do Trim 2. Setas indicam uso de um bloco pelo outro.

Exemplos resolvidos

Example— 2· Equação trigonométrica com argumento múltiplo

Problema. Resolva $\sin(2x) = 1/2$ em $[0, 2\pi)$ .

Estratégia. Substituir $u = 2x$ , resolver $\sin u = 1/2$ no intervalo expandido $[0, 4\pi)$ , depois dividir por 2.

Resolução.

Substitua $u = 2x$ . Para $x \in [0, 2\pi)$ , temos $u \in [0, 4\pi)$ .
Resolva $\sin u = 1/2$ . No $1.°$ quadrante: $u_0 = \pi/6$ . No $2.°$ : $u_1 = 5\pi/6$ . Adicionando $2\pi$ : $u_2 = \pi/6 + 2\pi = 13\pi/6$ e $u_3 = 5\pi/6 + 2\pi = 17\pi/6$ .
Volte a $x = u/2$ . $x = \pi/12,\; 5\pi/12,\; 13\pi/12,\; 17\pi/12$ .

Verificação. $\sin(2 \cdot \pi/12) = \sin(\pi/6) = 1/2$ ✓. $\sin(2 \cdot 13\pi/12) = \sin(13\pi/6) = \sin(\pi/6) = 1/2$ ✓.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.5 — CC-BY 4.0.

Example— 3· PG infinita — bola quicando

Problema. Uma bola cai de 10 m e a cada quique sobe 70% da altura anterior. Qual a distância total percorrida (descendo e subindo)?

Estratégia. Separar em duas PGs infinitas — as quedas e as subidas. Usar $S_\infty = a_1/(1-q)$ para cada.

Resolução.

Quedas. $10 + 7 + 4{,}9 + \ldots = 10/(1-0{,}7) = 10/0{,}3 \approx 33{,}33$ m.
Subidas. $7 + 4{,}9 + \ldots = 7/(1-0{,}7) = 7/0{,}3 \approx 23{,}33$ m.
Total. $33{,}33 + 23{,}33 \approx 56{,}67$ m.

Verificação. Fórmula consolidada: total $= h \cdot (1+q)/(1-q) = 10 \cdot 1{,}7/0{,}3 \approx 56{,}67$ m. ✓

Fonte. Active Calculus §8.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Maré e equação trigonométrica

Problema. A altura da maré em Salvador é $h(t) = 1{,}5 + \sin(\pi t/6)$ (em metros, $t$ em horas). (a) Quando $h = 1{,}5$ ? (b) Quando $h$ é máxima?

Estratégia. (a) Resolver $\sin(\pi t/6) = 0$ . (b) Resolver $\sin(\pi t/6) = 1$ .

Resolução.

(a) $\sin(\pi t/6) = 0 \Rightarrow \pi t/6 = k\pi \Rightarrow t = 6k$ . Em $0 \leq t \leq 24$ : $t = 0, 6, 12, 18, 24$ horas.
(b) $\sin(\pi t/6) = 1 \Rightarrow \pi t/6 = \pi/2 + 2k\pi \Rightarrow t = 3 + 12k$ . Em um dia: $t = 3$ h e $t = 15$ h.
Altura máxima. $h_{\max} = 1{,}5 + 1 = 2{,}5$ m.

Verificação. Período $T = 2\pi/(\pi/6) = 12$ h — duas marés altas por dia, consistente com a realidade. ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §11.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Soma trigonométrica por identidade soma-produto

Problema. Resolva $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ em $[0, 2\pi)$ .

Estratégia. Agrupar $\sin x + \sin 3x$ e aplicar a identidade soma-produto: $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ .

Resolução.

Agrupe. $\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x$ (com $A = 3x$ , $B = x$ , média $= 2x$ , semidiferença $= x$ ).
Substitua. $2\sin 2x \cos x + \sin 2x = \sin 2x(2\cos x + 1) = 0$ .
Caso 1: $\sin 2x = 0$ . $2x = k\pi \Rightarrow x = k\pi/2$ . Em $[0, 2\pi)$ : $x = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ .
Caso 2: $2\cos x + 1 = 0$ . $\cos x = -1/2 \Rightarrow x = 2\pi/3$ ou $x = 4\pi/3$ .
Conjunto solução. $x \in \{0,\; \pi/2,\; 2\pi/3,\; \pi,\; 4\pi/3,\; 3\pi/2\}$ .

Verificação. $x = 2\pi/3$ : $\sin(2\pi/3) + \sin(4\pi/3) + \sin(2\pi) = \frac{\sqrt 3}{2} - \frac{\sqrt 3}{2} + 0 = 0$ . ✓

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.4 — CC-BY 4.0.

Exercise list

43 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 34Understanding 5Modeling 3Challenge 1

Fontes

OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2.ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §7–11 (trigonometria, sequências, séries). Fonte primária da lista de exercícios.
Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9–11. Fonte dos exemplos de modelagem trigonométrica e série telescópica.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.2–8.3 (sequências e séries). Fonte dos exercícios de convergência, ponto fixo e bola quicando.

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