Lição 21 — Plano cartesiano: distância, ponto médio

Calcule $d(A, B)$ para $A = (1, 2)$ e $B = (4, 6)$. (Resp: 5.)

Calcule a distância entre a origem $(0, 0)$ e o ponto $(3, 4)$. (Resp: 5.)

Calcule a distância entre $(-2, 1)$ e $(3, -4)$. (Resp: $5\sqrt{2}$.)

Calcule $d(P, Q)$ para $P = (2, -3)$ e $Q = (-4, 1)$. (Resp: $2\sqrt{13}$.)

Calcule a distância entre $(5, 0)$ e $(0, 12)$. (Resp: 13.)

Determine $x$ tal que $d((x, 3), (5, 7)) = 5$.

Determine $y$ tal que $(0, y)$ esteja a 13 unidades de $(5, 0)$.

Pontos $A = (1, 1)$, $B = (4, 5)$, $C = (-2, 4)$. Calcule o perímetro do triângulo $ABC$. (Resp: $\approx 15{,}33$.)

Verifique se $A = (1, 1)$, $B = (4, 5)$, $C = (5, -3)$ formam triângulo retângulo. Justifique calculando os três lados.

Encontre o ponto $P$ no eixo $x$ equidistante de $(2, 5)$ e $(8, 1)$.

Vértices do quadrilátero $(0,0), (4,0), (4,3), (0,3)$. Calcule o perímetro. (Resp: 14.)

Determine se $(1,2), (5,2), (5,5), (1,5)$ formam retângulo. Calcule lados e diagonais.

Encontre o ponto médio de $(2, 5)$ e $(6, 9)$. (Resp: $(4, 7)$.)

Encontre o ponto médio de $(-3, 2)$ e $(7, -8)$. (Resp: $(2, -3)$.)

O ponto médio de $\overline{AB}$ é $M = (1, 3)$ e $A = (-3, 7)$. Encontre $B$.

Calcule o centroide do triângulo de vértices $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,9)$. (Resp: $(2, 3)$.)

Encontre o ponto que divide $\overline{PQ}$ na razão $1:3$, onde $P = (2,3)$ e $Q = (10,11)$. (Resp: $(4, 5)$.)

Mostre que o triângulo de vértices $(0,0), (4,3), (8,0)$ é isósceles. Calcule os três lados.

Verifique que os pontos $(0,0), (6,0), (3, 3\sqrt{3})$ formam triângulo equilátero.

Calcule a área do triângulo de vértices $(0,0), (4,0), (0,3)$. (Resp: 6.)

Calcule a área do triângulo de vértices $A = (1, 1)$, $B = (4, 5)$, $C = (8, 2)$. (Resp: 12,5.)

O quadrilátero $A=(0,0)$, $B=(4,2)$, $C=(6,5)$, $D=(2,3)$ é paralelogramo? Calcule os lados e as diagonais e justifique.

Escreva a fórmula da distância da origem ao ponto $(a, b)$ genérico. (Resp: $\sqrt{a^2 + b^2}$.)

Escreva a fórmula geral do ponto médio de $(a, b)$ e $(c, d)$.

O conjunto de pontos $(x, y)$ satisfazendo $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$. Que figura geométrica é?

O conjunto de pontos equidistantes de $A = (-2, 0)$ e $B = (2, 0)$. Que reta formam?

Esboce e descreva o conjunto de pontos $(x, y)$ com $|x| + |y| = 1$. Que figura geométrica é?

Você está em $(2, 3)$ km e quer ir até $(8, 11)$ km. Calcule a distância em linha reta e estime a distância real pelas ruas usando fator de tortuosidade 1,3. (Resp: linha reta = 10 km; estimativa = 13 km.)

Numa cidade em grade (tipo Manhattan), calcule a distância de táxi ($\ell_1$) e a euclidiana ($\ell_2$) entre $(0,0)$ e $(10, 7)$. Qual é maior? Por quê?

GPS marca sua posição $(\text{lat},\ \text{long}) = (45{,}123,\ -23{,}456)$ e a de sua amiga em $(45{,}126,\ -23{,}450)$. Estime a distância em metros usando $1° \approx 111$ km.

Em ML, dois pontos $\mathbf{x} = (1, 2, 3, 4)$ e $\mathbf{y} = (5, 6, 7, 8)$ em $\mathbb{R}^4$. Calcule a distância euclidiana. (Resp: 8.)

Numa sala quadrada de lado $L = 10$ m, calcule a distância do centro geométrico a cada canto. Por que o centro é a posição ideal para um roteador Wi-Fi?

Três escolas estão nos pontos $A=(0,0)$, $B=(4,0)$ e $C=(0,3)$ (coordenadas em km). Uma biblioteca deve ser construída no ponto equidistante das três escolas. Onde fica esse ponto e a que distância fica de cada escola?

(Desafio.) Qual o comprimento do lado do maior triângulo equilátero que pode ser inscrito num quadrado de lado 1? Calcule também a área desse triângulo.

Demonstração. Demonstre a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer do plano usando o teorema de Pitágoras.

Demonstração. Mostre que o ponto médio $M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ é equidistante dos extremos $P$ e $Q$, e que cada distância é exatamente $\dfrac{1}{2}d(P,Q)$.

Demonstração. Mostre que se três pontos são colineares, então a área do triângulo formado por eles é zero.

Demonstração. Enuncie e demonstre a desigualdade triangular para distâncias no plano: $d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$. Quando ocorre a igualdade?

(Desafio.) Encontre o centro do círculo circunscrito ao triângulo de vértices $(0,0)$, $(4,0)$ e $(0,3)$. Verifique que ele é o ponto médio da hipotenusa.

(Desafio.) Mostre que $A=(0,0)$, $B=(3,1)$, $C=(5,4)$, $D=(2,3)$ formam paralelogramo usando duas estratégias: (a) lados opostos iguais; (b) diagonais se bissectam.