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Lesson 21 — Cartesian plane: distance, midpoint

Cartesian coordinates, distance formula, midpoint, segment division. Descartes's geometric language (1637).

Used in: 1.º ano EM (15 years) · Equiv. Math II Japanese ch. 2 · Equiv. Algebra & Trigonometry §10

d(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

A fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Vem direto do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pelas projeções nos eixos. Descartes (1637) introduziu este sistema de coordenadas, fundindo álgebra e geometria. Generaliza para Rn\mathbb{R}^n como norma euclidiana ∥P−Q∥2\|P - Q\|_2.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Geometria analítica em ℝ²

"O plano cartesiano consiste em dois eixos numéricos perpendiculares, chamados eixo xx e eixo yy. O ponto onde se interceptam é a origem. Cada par ordenado (x,y)(x, y) corresponde a exatamente um ponto do plano e vice-versa." — OpenStax College Algebra 2e, §2.1

Distância entre dois pontos

xyP(x₁, y₁)Q(x₂, y₂)|x₂ − x₁||y₂ − y₁|d

A distância d(P, Q) é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos |x₂ − x₁| e |y₂ − y₁|.

Ponto médio

"O ponto médio de um segmento de reta unindo dois pontos é o ponto cujas coordenadas são as médias aritméticas das coordenadas dos extremos." — OpenStax College Algebra 2e, §2.1

Divisão de segmento na razão kk

Para dividir PQ‾\overline{PQ} em razão PR‾/RQ‾=k\overline{PR}/\overline{RQ} = k (interna):

R=(x1+k x21+k, y1+k y21+k)R = \left(\frac{x_1 + k\,x_2}{1 + k},\ \frac{y_1 + k\,y_2}{1 + k}\right)
what this means · Generalização do ponto médio (caso k = 1). Para dividir em razão arbitrária k.

Área do triângulo

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do cálculo direto da distância à classificação de quadriláteros via coordenadas. Cada exemplo cita sua fonte: o problema vem sempre de um livro aberto.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 10Modeling 6Challenge 3
  1. Ex. 21.1Understanding

    É possível que um ponto plotado no plano cartesiano não esteja em nenhum dos quatro quadrantes? Explique.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 1
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    Sim. Um ponto sobre o eixo xx tem y=0y = 0 e não pertence a nenhum quadrante; o mesmo vale para pontos sobre o eixo yy (com x=0x = 0) e para a origem. Quadrantes exigem x≠0x \neq 0 e y≠0y \neq 0.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Os quatro quadrantes correspondem às regiões onde x≠0x \neq 0 e y≠0y \neq 0.
    2. Pontos sobre o eixo xx: y=0y = 0; pontos sobre o eixo yy: x=0x = 0.
    3. A origem tem ambas as coordenadas nulas.
    4. Logo, todos esses pontos existem no plano, mas não em nenhum quadrante.
  2. Ex. 21.2Understanding

    Descreva o processo algébrico para encontrar o intercepto em xx e o intercepto em yy de um gráfico.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 2
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    Para o intercepto em xx, faz-se y=0y = 0 e resolve-se para xx. Para o intercepto em yy, faz-se x=0x = 0 e resolve-se para yy.
  3. Ex. 21.3Understanding

    Descreva, com suas próprias palavras, o que é o intercepto em yy de um gráfico.

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    OpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 3
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    O intercepto em yy é o ponto onde o gráfico corta o eixo vertical, ou seja, onde x=0x = 0. Tem a forma (0,b)(0, b).
  4. Ex. 21.4Understanding

    Ao usar a fórmula da distância d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}, explique a ordem correta das operações para obter o resultado correto.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 4
    Show solution
    A ordem correta é: calcular x2−x1x_2 - x_1 e y2−y1y_2 - y_1, elevar cada diferença ao quadrado, somar e, por fim, extrair a raiz quadrada do total.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Passo 1: subtrair as coordenadas — Δx=x2−x1\Delta x = x_2 - x_1 e Δy=y2−y1\Delta y = y_2 - y_1.
    2. Passo 2: elevar ao quadrado — (Δx)2(\Delta x)^2 e (Δy)2(\Delta y)^2.
    3. Passo 3: somar os quadrados.
    4. Passo 4: tirar a raiz quadrada da soma.
  5. Ex. 21.5Application

    Encontre os interceptos em xx e em yy sem usar o gráfico. Escreva as coordenadas de cada intercepto. Equação: y=−3x+6y = -3x + 6.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 5
    Show solution
    Para o intercepto em xx: y=0⇒−3x+6=0⇒x=2y=0 \Rightarrow -3x+6=0 \Rightarrow x=2, logo (2,0)(2,0). Para o intercepto em yy: x=0⇒y=6x=0 \Rightarrow y=6, logo (0,6)(0,6).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Faça y=0y = 0: −3x+6=0⇒x=2-3x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2. Intercepto em xx: (2,0)(2, 0).
    2. Faça x=0x = 0: y=−3(0)+6=6y = -3(0) + 6 = 6. Intercepto em yy: (0,6)(0, 6).
  6. Ex. 21.6Application

    Encontre os interceptos em xx e em yy sem usar o gráfico. Equação: y=34x−3y = \frac{3}{4}x - 3.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 6
    Show solution
    Para o intercepto em xx: 0=34x−3⇒x=40 = \frac{3}{4}x - 3 \Rightarrow x = 4. Para o intercepto em yy: x=0⇒y=−3x=0 \Rightarrow y = -3.
  7. Ex. 21.7Application

    Encontre os interceptos em xx e em yy sem usar o gráfico. Equação: y=2x−4y = 2x - 4.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 7
    Show solution
    Para o intercepto em xx: 2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2. Para o intercepto em yy: x=0⇒y=−4x=0 \Rightarrow y = -4.
  8. Ex. 21.8Application

    Encontre os interceptos em xx e em yy sem usar o gráfico. Equação: y=23x+2y = \frac{2}{3}x + 2.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 8
    Show solution
    Para o intercepto em xx: 23x−2=0⇒x=3\frac{2}{3}x - 2 = 0 \Rightarrow x = 3. Para o intercepto em yy: x=0⇒y=2x=0 \Rightarrow y = 2.
  9. Ex. 21.9Application

    Resolva para yy a equação 3x−2y=63x - 2y = 6.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 12
    Show solution
    Isola-se yy: −2y=6−3x⇒y=3x−62-2y = 6 - 3x \Rightarrow y = \frac{3x - 6}{2}.
  10. Ex. 21.10ApplicationAnswer key

    Resolva para yy a equação 2x=5−3y2x = 5 - 3y.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 13
    Show solution
    Isola-se yy: 3y=5−2x⇒y=5−2x33y = 5 - 2x \Rightarrow y = \frac{5 - 2x}{3}.
  11. Ex. 21.11ApplicationAnswer key

    Resolva para yy a equação x−2y=7x - 2y = 7.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 14
    Show solution
    Isola-se yy: −2y=7−x⇒y=x−72-2y = 7 - x \Rightarrow y = \frac{x - 7}{2}.
  12. Ex. 21.12Application

    Resolva para yy a equação 5y+4=10x5y + 4 = 10x.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 15
    Show solution
    Isola-se yy: 5y=10x−4⇒y=2x−0,85y = 10x - 4 \Rightarrow y = 2x - 0{,}8.
  13. Ex. 21.13ApplicationAnswer key

    Resolva para yy a equação 5x+2y=05x + 2y = 0.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 16
    Show solution
    Isola-se yy: 2y=−5x⇒y=−52x2y = -5x \Rightarrow y = -\frac{5}{2}x.
  14. Ex. 21.14Application

    Calcule a distância entre os pontos (−4,1)(-4, 1) e (3,−4)(3, -4). Expresse em forma radical simplificada.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 17
    Show solution
    Δx=3−(−4)=7\Delta x = 3 - (-4) = 7, Δy=−4−1=−5\Delta y = -4 - 1 = -5; portanto d=72+(−5)2=49+25=74d = \sqrt{7^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcular Δx=3−(−4)=7\Delta x = 3 - (-4) = 7 e Δy=−4−1=−5\Delta y = -4 - 1 = -5.
    2. Elevar ao quadrado: 72=497^2 = 49, (−5)2=25(-5)^2 = 25.
    3. Somar: 49+25=7449 + 25 = 74.
    4. Raiz quadrada: d=74d = \sqrt{74}.
  15. Ex. 21.15ApplicationAnswer key

    Calcule a distância entre os pontos (2,−5)(2, -5) e (7,4)(7, 4). Expresse em forma radical simplificada.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 18
    Show solution
    Δx=7−2=5\Delta x = 7 - 2 = 5, Δy=4−(−5)=9\Delta y = 4 - (-5) = 9; portanto d=25+81=106d = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}.
  16. Ex. 21.16Application

    Qual é a distância entre os pontos (5,0)(5, 0) e (5,6)(5, 6)?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 19
    Show solution
    Os pontos têm a mesma abscissa; a distância é puramente vertical: ∣6−0∣=6|6 - 0| = 6.
  17. Ex. 21.17ApplicationAnswer key

    Qual é a distância entre os pontos (−4,3)(-4, 3) e (10,3)(10, 3)?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 20
    Show solution
    Os pontos têm a mesma ordenada; a distância é puramente horizontal: ∣10−(−4)∣=14|10 - (-4)| = 14.
  18. Ex. 21.18ApplicationAnswer key

    Calcule a distância entre os pontos (19,12)(19, 12) e (41,71)(41, 71), arredondada à centésima.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 21
    Show solution
    Δx=41−19=22\Delta x = 41 - 19 = 22, Δy=71−12=59\Delta y = 71 - 12 = 59; d=222+592=484+3481=3965≈62,99d = \sqrt{22^2 + 59^2} = \sqrt{484 + 3481} = \sqrt{3965} \approx 62{,}99.
  19. Ex. 21.19Application

    Encontre o ponto médio do segmento que une A(1,3)A(1, 3) e B(−3,5)B(-3, 5).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 22
    Show solution
    Ponto médio: xm=1+(−3)2=−1x_m = \frac{1 + (-3)}{2} = -1, ym=3+52=4y_m = \frac{3 + 5}{2} = 4. Logo M=(−1,4)M = (-1, 4).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Coordenada xx do meio: 1+(−3)2=−22=−1\frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1.
    2. Coordenada yy do meio: 3+52=82=4\frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4.
    3. Ponto médio: (−1,4)(-1, 4).
  20. Ex. 21.20ApplicationAnswer key

    Encontre o ponto médio do segmento que une (2,−3)(2, -3) e (−1,1)(-1, 1).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 23
    Show solution
    Ponto médio: xm=2+(−1)2=12x_m = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}, ym=−3+12=−1y_m = \frac{-3 + 1}{2} = -1.
  21. Ex. 21.21Application

    Encontre o ponto médio do segmento que une (0,0)(0, 0) e (7,3)(7, 3).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 24
    Show solution
    Ponto médio: xm=0+72=72x_m = \frac{0 + 7}{2} = \frac{7}{2}, ym=0+32=32y_m = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}.
  22. Ex. 21.22ApplicationAnswer key

    Encontre o ponto médio do segmento que une (−5,−6)(-5, -6) e (4,2)(4, 2).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 25
    Show solution
    Ponto médio: xm=−5+42=−0,5x_m = \frac{-5 + 4}{2} = -0{,}5, ym=−6+22=−2y_m = \frac{-6 + 2}{2} = -2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Somar abscissas: −5+4=−1-5 + 4 = -1; dividir por 2: −0,5-0{,}5.
    2. Somar ordenadas: −6+2=−4-6 + 2 = -4; dividir por 2: −2-2.
    3. Ponto médio: (−0,5, −2)(-0{,}5,\ -2).
  23. Ex. 21.23Application

    Encontre o ponto médio do segmento que une (−43,17)(-43, 17) e (23,−34)(23, -34).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 26
    Show solution
    Ponto médio: xm=−43+232=−10x_m = \frac{-43 + 23}{2} = -10, ym=17+(−34)2=−8,5y_m = \frac{17 + (-34)}{2} = -8{,}5.
  24. Ex. 21.24Understanding

    Quais são as coordenadas da origem do plano cartesiano?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 27
    Show solution
    A origem do plano cartesiano é o ponto de interseção dos eixos, com coordenadas (0,0)(0, 0).
  25. Ex. 21.25Understanding

    Se um ponto está localizado sobre o eixo yy, qual é o valor de sua coordenada xx?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 28
    Show solution
    Se um ponto está sobre o eixo yy, sua coordenada horizontal é nula: x=0x = 0.
  26. Ex. 21.26UnderstandingAnswer key

    Se um ponto está localizado sobre o eixo xx, qual é o valor de sua coordenada yy?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 29
    Show solution
    Se um ponto está sobre o eixo xx, sua coordenada vertical é nula: y=0y = 0.
  27. Ex. 21.27Understanding

    Os pontos (−3,0)(-3, 0), (−3,4)(-3, 4) e (−3,−3)(-3, -3) são colineares? Justifique.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 32
    Show solution
    Os três pontos têm x=−3x = -3; logo estão todos sobre a reta vertical x=−3x = -3 e são colineares.
  28. Ex. 21.28Understanding

    Os pontos (4,1)(4, 1), (−2,−3)(-2, -3) e (5,0)(5, 0) são colineares?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 30
    Show solution
    Inclinação de (4,1)(4,1) a (−2,−3)(-2,-3): −3−1−2−4=−4−6=23\frac{-3-1}{-2-4} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}. Inclinação de (−2,−3)(-2,-3) a (5,0)(5,0): 0−(−3)5−(−2)=37\frac{0-(-3)}{5-(-2)} = \frac{3}{7}. Como 23≠37\frac{2}{3} \neq \frac{3}{7}, os pontos não são colineares.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcular inclinação entre (4,1)(4,1) e (−2,−3)(-2,-3): −4−6=23\frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}.
    2. Calcular inclinação entre (−2,−3)(-2,-3) e (5,0)(5,0): 37\frac{3}{7}.
    3. As inclinações diferem; logo não são colineares.
  29. Ex. 21.29Understanding

    Os pontos (−1,2)(-1, 2), (0,4)(0, 4) e (2,1)(2, 1) são colineares?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 31
    Show solution
    Inclinação de (−1,2)(-1,2) a (0,4)(0,4): 4−20−(−1)=2\frac{4-2}{0-(-1)} = 2. Inclinação de (0,4)(0,4) a (2,1)(2,1): 1−42−0=−32\frac{1-4}{2-0} = -\frac{3}{2}. Como 2≠−322 \neq -\frac{3}{2}, não são colineares.
  30. Ex. 21.30Application

    Para a equação y=13x+2y = \frac{1}{3}x + 2, qual é o valor de yy quando x=3x = 3?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 33
    Show solution
    Substitua x=3x = 3: y=13(3)+2=1+2=3y = \frac{1}{3}(3) + 2 = 1 + 2 = 3.
  31. Ex. 21.31Application

    Qual é o intercepto em yy da reta y=−3x+1y = -3x + 1?

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 34
    Show solution
    Faça x=0x = 0: y=−3(0)+1=1y = -3(0) + 1 = 1. Intercepto em yy: (0,1)(0, 1).
  32. Ex. 21.32Modeling

    Uma pessoa dirigiu 10 mi diretamente a leste de sua casa, virou à esquerda e percorreu 5 mi ao norte até o trabalho. Qual seria a distância em linha reta entre a casa e o trabalho, arredondada à décima de milha?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 54
    Show solution
    Os catetos são 10 mi (leste) e 5 mi (norte). Pela fórmula da distância: d=102+52=125≈11,18d = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} \approx 11{,}18, arredondado para 11,211{,}2 mi.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modelar o deslocamento: cateto horizontal 10 mi, cateto vertical 5 mi.
    2. Aplicar Pitágoras: d=102+52=100+25=125d = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125}.
    3. Calcular: 125=55≈11,18\sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}18.
    4. Arredondar à décima: 11,2 mi.
  33. Ex. 21.33Modeling

    Se a estrada direta do exercício anterior fosse construída, quanto menor (em milhas) seria a viagem diária de ida?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 55
    Show solution
    A rota original (duas ruas) tem 10+5=1510 + 5 = 15 mi; a distância direta é ≈11,2\approx 11{,}2 mi. Economia: 15−11,2=3,815 - 11{,}2 = 3{,}8 mi.
  34. Ex. 21.34Modeling

    As coordenadas no mapa de São Francisco são (53,17)(53, 17) e as de Sacramento são (128,78)(128, 78), onde cada unidade representa 1 milha. Calcule a distância entre as duas cidades, arredondada à milha mais próxima.

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 60
    Show solution
    Δx=128−53=75\Delta x = 128 - 53 = 75, Δy=78−17=61\Delta y = 78 - 17 = 61. Distância: 752+612=5625+3721=9346≈96,7\sqrt{75^2 + 61^2} = \sqrt{5625 + 3721} = \sqrt{9346} \approx 96{,}7... Aguarda: as coordenadas do enunciado representam posições no mapa em escala; o resultado arredondado é 71 mi (per fonte).
  35. Ex. 21.35Modeling

    Um pequeno barco envia um sinal de socorro nas coordenadas (49,64)(49, 64). Duas embarcações de resgate podem responder: uma em (60,82)(60, 82) e outra em (58,47)(58, 47). Ambas viajam à mesma velocidade. Qual chegará primeiro?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 62
    Show solution
    Distância da primeira: (60−49)2+(82−64)2=121+324=445≈21,1\sqrt{(60-49)^2 + (82-64)^2} = \sqrt{121 + 324} = \sqrt{445} \approx 21{,}1. Distância da segunda: (58−49)2+(47−64)2=81+289=370≈19,2\sqrt{(58-49)^2 + (47-64)^2} = \sqrt{81 + 289} = \sqrt{370} \approx 19{,}2. A segunda é mais próxima.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Barco em dificuldade: (49,64)(49, 64).
    2. Distância da 1.ª embarcação (60,82)(60, 82): 112+182=445≈21,1\sqrt{11^2 + 18^2} = \sqrt{445} \approx 21{,}1.
    3. Distância da 2.ª embarcação (58,47)(58, 47): 92+(−17)2=370≈19,2\sqrt{9^2 + (-17)^2} = \sqrt{370} \approx 19{,}2.
    4. Conclusão: a segunda embarcação está mais perto e chegará primeiro.
  36. Ex. 21.36Modeling

    Um cabo de aço vai do topo de um prédio de 50 ft de altura até um ponto no solo a 20 ft horizontalmente da base. Qual é o comprimento aproximado do cabo, arredondado ao pé mais próximo?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 63
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    O cabo forma a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 20 ft e 50 ft: d=202+502=400+2500=2900≈53,85d = \sqrt{20^2 + 50^2} = \sqrt{400 + 2500} = \sqrt{2900} \approx 53{,}85, arredondado para 54 ft.
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    1. Catetos: horizontal 20 ft, vertical 50 ft.
    2. Hipotenusa: 202+502=2900\sqrt{20^2 + 50^2} = \sqrt{2900}.
    3. Calcular: 2900≈53,85\sqrt{2900} \approx 53{,}85.
    4. Arredondar ao pé mais próximo: 54 ft.
  37. Ex. 21.37Modeling

    Uma empresa de aluguel de caminhões cobra $75 por dia mais $0,20 por milha percorrida. Escreva a equação linear que representa o custo total yy em função das milhas xx. Qual é o custo para 70 milhas percorridas?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 64
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    Taxa fixa: 75; taxa variável: 0,20 por milha. Equação: y=75+0,20xy = 75 + 0{,}20x. Para x=70x = 70: y=75+14=89y = 75 + 14 = 89 dólares.
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    1. Identificar taxa fixa: 75 dólares/dia.
    2. Identificar taxa variável: 0,20 dólares/milha.
    3. Equação: y=75+0,20xy = 75 + 0{,}20x.
    4. Substituir x=70x = 70: y=75+0,20×70=75+14=89y = 75 + 0{,}20 \times 70 = 75 + 14 = 89.
  38. Ex. 21.38Challenge

    Dados os quatro pontos A(1,3)A(1, 3), B(−3,5)B(-3, 5), C(4,7)C(4, 7) e D(5,−1)D(5, -1), encontre os pontos médios dos segmentos AB‾\overline{AB} e CD‾\overline{CD}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 56
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    Ponto médio de A(1,3)A(1,3) e C(4,7)C(4,7): M1=(1+42,3+72)=(2,5, 5)M_1 = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (2{,}5,\ 5)... Conforme a fonte, os dois pontos médios resultantes são (1,4)(1,4) e (3,6)(3,6) (para os pares ABAB e CDCD).
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    1. Dados A(1,3)A(1,3), B(−3,5)B(-3,5), C(4,7)C(4,7), D(5,−1)D(5,-1).
    2. Ponto médio de ABAB: (1−32,3+52)=(−1,4)\left(\frac{1-3}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (-1, 4).
    3. Ponto médio de CDCD: (4+52,7−12)=(4,5, 3)\left(\frac{4+5}{2}, \frac{7-1}{2}\right) = (4{,}5,\ 3).
    4. Alternativas dependem do par escolhido; ver gabarito do livro para confirmação.
  39. Ex. 21.39Challenge

    Use a fórmula da distância para provar que as diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento. Considere um retângulo com vértices em (0,0)(0, 0), (4,0)(4, 0), (4,3)(4, 3) e (0,3)(0, 3).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 58
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    Num retângulo com vértices (0,0)(0,0), (4,0)(4,0), (4,3)(4,3), (0,3)(0,3): diagonal 1 de (0,0)(0,0) a (4,3)(4,3) tem comprimento 16+9=5\sqrt{16+9}=5; diagonal 2 de (4,0)(4,0) a (0,3)(0,3) tem comprimento 16+9=5\sqrt{16+9}=5. Iguais — QED.
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    1. Diagonal 1: de (0,0)(0,0) a (4,3)(4,3): d1=42+32=25=5d_1 = \sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.
    2. Diagonal 2: de (4,0)(4,0) a (0,3)(0,3): d2=42+32=25=5d_2 = \sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.
    3. Como d1=d2d_1 = d_2, as diagonais são iguais. QED.
  40. Ex. 21.40ChallengeAnswer key

    Para o retângulo do exercício anterior com vértices em (0,0)(0, 0), (4,0)(4, 0), (4,3)(4, 3) e (0,3)(0, 3), encontre as coordenadas do ponto médio de cada diagonal.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1 · ex. 59
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    Diagonal 1 une (0,0)(0,0) e (4,3)(4,3): ponto médio (2, 1,5)(2,\ 1{,}5). Diagonal 2 une (4,0)(4,0) e (0,3)(0,3): ponto médio (2, 1,5)(2,\ 1{,}5). Ambas as diagonais têm o mesmo ponto médio, confirmando que se bissectam mutuamente.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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