v1 · padrão canônico

Lesson 23 — Relative position of two lines

Classification of line pairs (parallel, coincident, concurrent, perpendicular), finding intersection points and point-to-line distance.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Equiv. Math I japonês cap. 3 · Equiv. Klasse 10 alemã (Analytische Geometrie)

r \parallel s \;\Leftrightarrow\; m_r = m_s \qquad r \perp s \;\Leftrightarrow\; m_r \cdot m_s = -1

Duas retas não-verticais são paralelas quando têm a mesma inclinação $m_r = m_s$ (e interceptos diferentes). São perpendiculares quando o produto das inclinações vale $-1$ . Se se cruzam sem ser perpendiculares, são concorrentes. Se têm a mesma equação, são coincidentes.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e critérios

Classificação da posição relativa

Sejam $r: y = m_r x + n_r$ e $s: y = m_s x + n_s$ duas retas não-verticais no plano cartesiano.

Definition· Os quatro casos — forma reduzida e forma geral

Posição	Critério (forma reduzida)	Critério (forma geral $Ax + By + C = 0$ )
Paralelas distintas	$m_r = m_s$ e $n_r \neq n_s$	$A_r B_s = A_s B_r$ e $A_r C_s \neq A_s C_r$
Coincidentes	$m_r = m_s$ e $n_r = n_s$	$A_r B_s = A_s B_r$ e $A_r C_s = A_s C_r$
Concorrentes (não-perp.)	$m_r \neq m_s$	$A_r B_s - A_s B_r \neq 0$
Perpendiculares	$m_r \cdot m_s = -1$	$A_r A_s + B_r B_s = 0$

Retas verticais: a reta $x = a$ não tem coeficiente angular definido. Dois verticais $x = a$ e $x = b$ são paralelos se $a \neq b$ e coincidentes se $a = b$ . Um vertical e um horizontal $y = c$ são perpendiculares.

"Duas retas distintas são paralelas quando têm a mesma inclinação e perpendiculares quando o produto de suas inclinações é igual a $-1$ ." — Stitz–Zeager Precalculus, §2.1, p. 168

Ponto de interseção

Critério de perpendicularidade via produto interno

Distância de ponto a reta

"The distance $d$ from the point $(x_1, y_1)$ to the line $ax + by + c = 0$ is $d = |ax_1 + by_1 + c|/\sqrt{a^2 + b^2}$ ." — Stitz–Zeager Precalculus, §2.1, p. 172

Distância entre retas paralelas

Para retas $r: Ax + By + C_1 = 0$ e $s: Ax + By + C_2 = 0$ (mesmo $A$ e $B$ , logo paralelas):

d(r,\ s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

what this means · Diferença dos termos independentes dividida pela norma do vetor normal.

Ângulo entre retas concorrentes

\tan\theta = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right|

what this means · θ é o ângulo agudo entre as retas; o valor absoluto garante 0° ≤ θ ≤ 90°.

Diagrama: os quatro casos

Os quatro casos de posição relativa. Azul e dourado representam as duas retas; o quadrado indica ângulo reto.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Classificar par de retas por coeficientes angulares

Problema. Classifique a posição relativa das retas $r: y = 3x + 2$ e $s: y = 3x - 7$ .

Estratégia. Comparar os coeficientes angulares e, se iguais, comparar os coeficientes lineares.

Resolução.

Ler os coeficientes: $m_r = 3$ , $m_s = 3$ , $n_r = 2$ , $n_s = -7$ .
Como $m_r = m_s = 3$ : mesma inclinação — as retas são paralelas ou coincidentes.
Verificar interceptos: $n_r = 2 \neq -7 = n_s$ .
Conclusão: paralelas distintas — nunca se encontram.

Verificação. Tente resolver o sistema: $(y = 3x + 2)$ e $(y = 3x - 7)$ implicam $3x + 2 = 3x - 7$ , ou seja $2 = -7$ . Contradição — sistema sem solução, confirma: paralelas distintas.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §2.1, p. 167 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Verificar perpendicularidade e encontrar interseção

Problema. Dadas $r: y = 2x + 1$ e $s: y = -\tfrac{1}{2}x + 5$ , verifique se são perpendiculares e encontre o ponto de interseção.

Estratégia. Verificar o produto dos coeficientes angulares. Se $m_r \cdot m_s = -1$ : perpendiculares. Depois resolver o sistema 2×2.

Resolução.

Identificar: $m_r = 2$ , $m_s = -\tfrac{1}{2}$ .
Produto: $m_r \cdot m_s = 2 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -1$ . Confirmado: perpendiculares.
Igualar as expressões de $y$ :

$2x + 1 = -\frac{x}{2} + 5$

Multiplicar por 2: $4x + 2 = -x + 10 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \tfrac{8}{5}$ .
Substituir: $y = 2 \cdot \tfrac{8}{5} + 1 = \tfrac{21}{5}$ .

Verificação. Checar em $s$ : $y = -\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{8}{5} + 5 = -\tfrac{4}{5} + \tfrac{25}{5} = \tfrac{21}{5}$ . Correto.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §4.1 — CC-BY 4.0.

Example— 3· Distância de ponto a reta — aplicar a fórmula

Problema. Calcule a distância do ponto $P_0 = (2, 3)$ à reta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ .

Estratégia. Aplicar $d = |Ax_0 + By_0 + C| / \sqrt{A^2 + B^2}$ com $A = 3$ , $B = 4$ , $C = -12$ .

Resolução.

Identificar: $A = 3$ , $B = 4$ , $C = -12$ , $x_0 = 2$ , $y_0 = 3$ .
Numerador: $|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 12| = |6 + 12 - 12| = 6$ .
Denominador: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Distância: $d = \tfrac{6}{5} = 1{,}2$ .

Verificação. A reta perpendicular por $P_0$ tem direção $(3, 4)$ (o vetor normal). Parametrizando: $(2 + 3t, 3 + 4t)$ . Substituindo: $3(2+3t) + 4(3+4t) - 12 = 0 \Rightarrow 25t = -6 \Rightarrow t = -6/25$ . Distância $= |t| \cdot 5 = \tfrac{6}{5}$ . Confirma.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §2.1, p. 172 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Reta paralela e perpendicular por ponto dado

Problema. Dada a reta $r: y = -\tfrac{3}{4}x + 2$ , encontre: (a) a reta paralela a $r$ pelo ponto $P = (8, 1)$ ; (b) a reta perpendicular a $r$ pelo mesmo ponto.

Estratégia. (a) Paralela preserva $m$ . (b) Perpendicular usa $m' = -1/m$ .

Resolução.

Parte (a) — paralela:

$m = -\tfrac{3}{4}$ . A paralela tem o mesmo $m$ .
Forma ponto-inclinação: $y - 1 = -\tfrac{3}{4}(x - 8)$ .
Simplificar: $y = -\tfrac{3}{4}x + 6 + 1 = -\tfrac{3}{4}x + 7$ .

Parte (b) — perpendicular:

$m' = -1/(-\tfrac{3}{4}) = \tfrac{4}{3}$ .
Forma ponto-inclinação: $y - 1 = \tfrac{4}{3}(x - 8)$ .
Simplificar: $y = \tfrac{4}{3}x - \tfrac{32}{3} + 1 = \tfrac{4}{3}x - \tfrac{29}{3}$ .

Verificação. Produto das inclinações: $(-\tfrac{3}{4}) \cdot \tfrac{4}{3} = -1$ . Correto.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §4.1 — CC-BY 4.0.

Example— 5· Equilíbrio de oferta e demanda — modelagem real

Problema. Mercado com: oferta $S(p) = 3p - 6$ e demanda $D(p) = 20 - 2p$ . Encontre preço e quantidade de equilíbrio. Interprete geometricamente.

Estratégia. Equilíbrio ocorre onde oferta = demanda, ou seja, a interseção das duas retas no plano $p \times q$ .

Resolução.

Igualar: $3p - 6 = 20 - 2p$ .
Resolver: $5p = 26 \Rightarrow p^* = \tfrac{26}{5} = 5{,}2$ .
Quantidade: $q^* = 3 \cdot 5{,}2 - 6 = 15{,}6 - 6 = 9{,}6$ .

Interpretação geométrica. $m_S = 3$ e $m_D = -2$ , portanto $3 \neq -2$ : retas concorrentes com exatamente um equilíbrio. $m_S \cdot m_D = -6 \neq -1$ : não são perpendiculares.

Verificação. $D(5{,}2) = 20 - 10{,}4 = 9{,}6 = S(5{,}2)$ . Correto.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §11.1 — CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 8Modeling 7Challenge 1

Fontes

Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · CC-BY-NC-SA · §2.1 (Linear Functions, pp. 167–185): paralelismo, perpendicularidade, interseção, distância ponto-reta, mediatriz. Fonte primária.
OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · OpenStax · 2022 · CC-BY 4.0 · §4.1 (Linear Functions): retas paralelas e perpendiculares, modelagem linear.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · OpenStax · 2021 · CC-BY 4.0 · §11.1 (Systems of Linear Equations — Two Variables): interseção de retas, modelagem econômica, ponto de equilíbrio.