v1 · padrão canônico

Lesson 25 — Conics: ellipse, parabola, hyperbola

The four conics and their canonical equations. Focus, directrix, eccentricity. Applications to planetary orbits, parabolic antennas, and hyperbolic GPS.

Used in: 1.º ano EM (15–16 anos) · Equiv. Math II japonês §II.4 · Equiv. Klasse 11 alemã Analytische Geometrie

\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad (a \geq b > 0)

A elipse com centro em $(h, k)$ — generaliza o círculo ( $a = b = r$ ). Parábola e hipérbole têm equações análogas mas descrevem curvas geometricamente distintas. Juntas, as quatro cônicas são seções de um cone duplo (Apolônio, c. 200 a.C.) e governam desde órbitas de planetas até antenas parabólicas de satélite.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e equações canônicas

Definição unificada por foco e diretriz

Definition· Cônica (definição foco-diretriz)

Uma cônica é o lugar geométrico dos pontos $P$ do plano tais que a razão entre a distância a um ponto fixo $F$ (foco) e a distância a uma reta fixa $\ell$ (diretriz) é uma constante $e \geq 0$ :

$\frac{|PF|}{d(P, \ell)} = e \quad \text{(excentricidade)}$

Cônica	Excentricidade	Condição geométrica
Círculo	$e = 0$	diretriz no infinito
Elipse	$0 < e < 1$	foco interior à curva
Parábola	$e = 1$	foco e vértice equidistantes da diretriz
Hipérbole	$e > 1$	dois ramos separados

"Uma cônica é a curva de interseção de um cone com um plano, ou equivalentemente, o lugar geométrico com uma razão constante entre a distância a um foco e a distância a uma diretriz." — Stitz–Zeager Precalculus §7.1

Elipse

Definition· Elipse

Lugar dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante $2a$ : $|PF_1| + |PF_2| = 2a, \quad a > 0$

Eixo maior horizontal (focos em $(\pm c, 0)$ , centro na origem, $a > b > 0$ ):

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0

what this means · Elipse canônica com eixo maior ao longo do eixo x. O valor c satisfaz c² = a² - b².

Eixo maior vertical (focos em $(0, \pm c)$ ):

\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1, \quad a > b > 0

what this means · Elipse com eixo maior vertical — o denominador maior está sob y².

Com centro em $(h, k)$ :

\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

what this means · Elipse transladada. Completar quadrados para reduzir à forma canônica.

Relações fundamentais:

c^2 = a^2 - b^2, \quad e = \frac{c}{a} \in (0, 1)

what this means · Para elipse: b² = a² - c². Excentricidade entre 0 e 1.

Vértices do eixo maior: $(\pm a, 0)$ ; eixo menor: $(0, \pm b)$ .
Distância entre focos: $2c$ . Comprimento do eixo maior: $2a$ .
Lado reto (corda focal perpendicular ao eixo maior): $\ell_r = 2b^2/a$ .

Parábola

Definition· Parábola

Lugar dos pontos equidistantes de um foco $F$ e uma diretriz $\ell$ : $|PF| = d(P, \ell), \quad e = 1$

Eixo horizontal (abre à direita se $p > 0$ ):

y^2 = 4px

what this means · Parábola canônica com vértice na origem. Foco em (p, 0), diretriz x = -p.

Eixo vertical (abre para cima se $p > 0$ ):

x^2 = 4py

what this means · Parábola canônica com vértice na origem. Foco em (0, p), diretriz y = -p.

Com vértice em $(h, k)$ :

(y - k)^2 = 4p(x - h) \quad \text{ou} \quad (x - h)^2 = 4p(y - k)

what this means · Parábola transladada. Completar quadrado na variável quadrática para obter esta forma.

Lado reto: $|4p|$ .
Sinal de $p$ : $p > 0$ abre à direita/cima; $p < 0$ abre à esquerda/baixo.

Hipérbole

Definition· Hipérbole

Lugar dos pontos cuja diferença em módulo das distâncias a dois focos é constante $2a$ : $\bigl||PF_1| - |PF_2|\bigr| = 2a, \quad a > 0$

Eixo transverso horizontal (focos em $(\pm c, 0)$ ):

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

what this means · Hipérbole com ramos abrindo para a esquerda e direita. Para hipérbole: c² = a² + b².

Eixo transverso vertical (focos em $(0, \pm c)$ ):

\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1

what this means · Hipérbole com ramos abrindo para cima e para baixo.

Relações fundamentais:

c^2 = a^2 + b^2, \quad e = \frac{c}{a} > 1

what this means · Para hipérbole: c² = a² + b², diferente da elipse. Excentricidade maior que 1.

Vértices: $(\pm a, 0)$ . Assíntotas: $y = \pm (b/a)x$ (hipérbole horizontal).
Lado reto: $2b^2/a$ .

Forma geral e classificação por discriminante

Definition· Equação geral de cônica de grau 2

Toda cônica satisfaz $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ com $\Delta = B^2 - 4AC$ :

Discriminante	Tipo (sem rotação, $B = 0$ )
$\Delta < 0$	Elipse (ou círculo se $A = C$ e $B = 0$ )
$\Delta = 0$	Parábola
$\Delta > 0$	Hipérbole

As três cônicas não-degeneradas. Focos em amarelo. Pontilhado na hipérbole: assíntotas.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Identificar e extrair elementos de uma elipse

Problema: Para a elipse $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ , determine centro, vértices, focos e excentricidade.

Estratégia: Comparar com a forma canônica $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ e aplicar $c^2 = a^2 - b^2$ .

Resolução:

$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$ ; $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$ . Como $a^2 > b^2$ , o eixo maior é horizontal.
$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16} = 4$ .
Centro: $(0, 0)$ . Vértices do eixo maior: $(\pm 5, 0)$ . Vértices do eixo menor: $(0, \pm 3)$ .
Focos: $(\pm 4, 0)$ . Excentricidade: $e = 4/5 = 0{,}8$ .

Verificação: $c^2 = 16 = 25 - 9 = a^2 - b^2$ ✓. $0 < e < 1$ confirma elipse ✓.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §7.4, Example 7.4.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Parábola — foco, diretriz e lado reto

Problema: Para a parábola $x^2 = -12y$ , determine vértice, foco, diretriz e comprimento do lado reto.

Estratégia: Comparar com a forma $x^2 = 4py$ e extrair $p$ . Sinal de $p$ indica a direção de abertura.

Resolução:

Comparando $x^2 = -12y$ com $x^2 = 4py$ : $4p = -12 \Rightarrow p = -3$ .
Como $p < 0$ , a parábola abre para baixo.
Vértice: $(0, 0)$ . Foco: $(0, p) = (0, -3)$ . Diretriz: $y = -p = 3$ .
Lado reto: $|4p| = 12$ .

Verificação: No lado reto ( $y = -3$ ): $x^2 = -12(-3) = 36 \Rightarrow x = \pm 6$ . Distância de $(6, -3)$ ao foco $(0,-3)$ : 6. Distância à diretriz $y = 3$ : $|{-3-3}| = 6$ . Iguais ✓ — confirma $e = 1$ .

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §7.3, Example 7.3.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Hipérbole — vértices, focos e assíntotas

Problema: Para a hipérbole $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ , determine vértices, focos, excentricidade e assíntotas.

Estratégia: Comparar com $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ e aplicar $c^2 = a^2 + b^2$ (sinal diferente da elipse).

Resolução:

$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ ; $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$ .
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ .
Vértices: $(\pm 2, 0)$ . Focos: $(\pm\sqrt{13}, 0)$ .
Excentricidade: $e = \sqrt{13}/2 \approx 1{,}80 > 1$ — confirmado hipérbole.
Assíntotas: $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm\dfrac{3}{2}x$ .

Verificação: As assíntotas são as diagonais do retângulo fundamental de lados $2a = 4$ e $2b = 6$ . Nunca confundir $c^2 = a^2 + b^2$ (hipérbole) com $c^2 = a^2 - b^2$ (elipse).

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.2, Example 10.4 — CC-BY 4.0.

Example— 5· Cônica fora da origem — câmara de sussurros elíptica

Problema: Identifique a cônica $9x^2 + 4y^2 - 36x + 8y + 4 = 0$ , determine centro, focos e distância entre focos. Um arquiteto quer usar essa elipse como câmara de sussurros — onde colocar os alto-falantes?

Estratégia: Completar os quadrados em $x$ e em $y$ separadamente para reduzir à forma canônica.

Resolução:

Agrupe: $9(x^2 - 4x) + 4(y^2 + 2y) = -4$ .
Complete em $x$ : $9[(x-2)^2 - 4] + 4(y^2 + 2y) = -4 \Rightarrow 9(x-2)^2 - 36 + 4(y^2 + 2y) = -4$ .
Complete em $y$ : $+4[(y+1)^2 - 1] \Rightarrow 9(x-2)^2 + 4(y+1)^2 = 36$ .
Divida por 36: $\dfrac{(x-2)^2}{4} + \dfrac{(y+1)^2}{9} = 1$ .
$a^2 = 9$ (em $y$ — eixo vertical), $b^2 = 4$ . $a = 3$ , $b = 2$ , $c = \sqrt{5}$ .
Centro: $(2, -1)$ . Focos: $(2,\ -1 \pm \sqrt{5})$ , ou seja, $(2, -1+\sqrt{5}) \approx (2, 1{,}24)$ e $(2, -1-\sqrt{5}) \approx (2, -3{,}24)$ .
Distância entre focos: $2c = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ m.

Verificação: $c^2 = 9 - 4 = 5$ ✓. O arquiteto instala um alto-falante em cada foco — todo som emitido em um foco converge ao outro.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §7.4, Example 7.4.3 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

43 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 8Modeling 9Challenge 6

Fontes

Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · v3 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · §7.1–7.5 (Cônicas: classificação, parábola, elipse, hipérbole). Fonte primária para derivações, exemplos resolvidos e bloco de exercícios A–B.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2021 · EN · CC-BY 4.0 · §10.1–10.3. Definição foco-diretriz, aplicações à órbita e antena parabólica, exercícios de identificação.
Wikilivros — Matemática elementar — comunidade · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · seção Geometria analítica: cônicas. Modelagem com dados reais (órbitas, antenas, LORAN, Markowitz).