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v1 · padrão canônico

Lesson 26 — Vectors in the plane

Vector as an ordered pair in the plane: magnitude, direction, sense. Addition, scalar multiplication, dot product, angle between vectors, and orthogonal projection.

Used in: 1st year of high school (15–16 years old) · Equiv. Japanese Math I §A — Vectors · Equiv. German Grade 11 — Vektoren

u⃗⋅v⃗=uxvx+uyvy=∣u⃗∣ ∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta

O produto escalar de dois vetores u⃗=(ux,uy)\vec{u} = (u_x, u_y) e v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y) é calculado componente a componente — ou pelo produto dos módulos pelo cosseno do ângulo θ\theta entre eles. Resultado: um número real, não um vetor. Mede o quanto dois vetores "apontam na mesma direção".

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Vetores em R2\mathbb{R}^2

"Um vetor é uma tupla de números reais ordenados. Dois vetores são iguais quando as suas componentes são iguais, componente a componente." — Hefferon, Linear Algebra, cap. 1 §I.1

Operações algébricas

u⃗+v⃗=(ux+vx,  uy+vy)\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x,\; u_y + v_y)
what this means · Adição: componente a componente. Geometricamente, regra do paralelogramo ou regra da ponta-à-cauda.
u⃗−v⃗=(ux−vx,  uy−vy)\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x,\; u_y - v_y)
what this means · Subtração: componente a componente.
α v⃗=(αvx,  αvy)\alpha\,\vec{v} = (\alpha v_x,\; \alpha v_y)
what this means · Multiplicação por escalar α ∈ ℝ: escala o vetor sem alterar sua direção (exceto quando α < 0, que inverte o sentido).
uvu + vparalelogramo

Regra do paralelogramo: u + v é a diagonal do paralelogramo formado por u e v. A regra ponta-à-cauda: coloca v com o início na ponta de u.

Módulo (norma euclidiana)

∣v⃗∣=vx2+vy2|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
what this means · Módulo de um vetor: teorema de Pitágoras aplicado às componentes. Resulta sempre num número não-negativo.

Vetores unitários e base canônica

Forma polar

Para r=∣v⃗∣r = |\vec{v}| e θ\theta o ângulo com o eixo xx positivo:

v⃗=(rcos⁡θ,  rsin⁡θ)\vec{v} = (r\cos\theta,\; r\sin\theta)
what this means · Conversão polar → cartesiana. Para o caminho inverso, use r = |v| e θ = atan2(vy, vx) — nunca arctan simples, que perde o quadrante.

Produto escalar

"O produto interno de dois vetores u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} em Rn\mathbb{R}^n é o escalar u⃗⋅v⃗=∑i=1nuivi\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^n u_i v_i." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §VO

Ângulo entre vetores e ortogonalidade

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣,θ∈[0°,180°]\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}, \quad \theta \in [0°, 180°]
what this means · Ângulo entre dois vetores não-nulos: isole cos θ da definição geométrica do produto escalar.

Projeção ortogonal

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 8Modeling 5Challenge 1
  1. Ex. 26.1Application

    Dados o ponto inicial P(5,7)P(5,7) e o ponto terminal Q(−1,2)Q(-1,2), escreva o vetor PQ→\overrightarrow{PQ} na forma de componentes e em termos dos vetores unitários padrão i\mathbf{i} e j\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 1
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    Subtraia as coordenadas do ponto inicial das do terminal: (−1−5, 2−7)=(−6,−5)(-1-5,\ 2-7)=(-6,-5). Logo PQ→=−6i−5j\overrightarrow{PQ}=-6\mathbf{i}-5\mathbf{j}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Ponto inicial P(5,7)P(5,7), ponto terminal Q(−1,2)Q(-1,2).
    2. Componente xx: −1−5=−6-1-5=-6.
    3. Componente yy: 2−7=−52-7=-5.
    4. Vetor resultante: ⟨−6,−5⟩=−6i−5j\langle -6,-5 \rangle = -6\mathbf{i}-5\mathbf{j}.
  2. Ex. 26.2Application

    Dados P(4,6)P(4,6) e Q(−1,3)Q(-1,3), escreva o vetor PQ→\overrightarrow{PQ} na forma de componentes e em termos dos vetores unitários padrão.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 2
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    Q(−1,3)Q(-1,3) menos P(4,6)P(4,6): componentes (−1−4, 3−6)=(−5,−3)(-1-4,\ 3-6)=(-5,-3). Logo PQ→=−5i−3j\overrightarrow{PQ}=-5\mathbf{i}-3\mathbf{j}.
  3. Ex. 26.3Application

    Dados Q(−2,3)Q(-2,3) e P(4,1)P(4,1), escreva o vetor QP→\overrightarrow{QP} na forma de componentes e em termos dos vetores unitários padrão.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 3
    Show solution
    Ponto terminal menos inicial: (4−(−2), 1−3)=(6,−2)(4-(-2),\ 1-3)=(6,-2). Logo QP→=6i−2j\overrightarrow{QP}=6\mathbf{i}-2\mathbf{j}.
  4. Ex. 26.4Application

    Dados Q(−2,7)Q(-2,7) e P(−1,3)P(-1,3), escreva o vetor QP→\overrightarrow{QP} na forma de componentes e em termos dos vetores unitários padrão.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 4
    Show solution
    Ponto terminal P(−1,3)P(-1,3) menos inicial Q(−2,7)Q(-2,7): (−1−(−2), 3−7)=(1,−4)(-1-(-2),\ 3-7)=(1,-4).
  5. Ex. 26.5ApplicationAnswer key

    Dado um vetor com ponto inicial (5,2)(5,2) e ponto terminal (−1,−3)(-1,-3), encontre um vetor equivalente cuja origem seja (0,0)(0,0). Escreva na forma componente e em termos de i\mathbf{i} e j\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 6
    Show solution
    Ponto inicial P1(5,2)P_1(5,2), terminal P2(−1,−3)P_2(-1,-3). Componentes: (−1−5, −3−2)=(−6,−5)(-1-5,\ -3-2)=(-6,-5). Em posição padrão: −6i−5j-6\mathbf{i}-5\mathbf{j}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule Δx=−1−5=−6\Delta x = -1-5=-6.
    2. Calcule Δy=−3−2=−5\Delta y = -3-2=-5.
    3. Vetor equivalente com origem no zero: ⟨−6,−5⟩\langle -6,-5 \rangle.
    4. Em notação i,j\mathbf{i},\mathbf{j}: −6i−5j-6\mathbf{i}-5\mathbf{j}.
  6. Ex. 26.6Application

    Dado um vetor com ponto inicial (−4,2)(-4,2) e ponto terminal (3,−3)(3,-3), encontre um vetor equivalente cuja origem seja (0,0)(0,0). Escreva na forma componente e em termos de i\mathbf{i} e j\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 7
    Show solution
    Componentes: (3−(−4), −3−2)=(7,−5)(3-(-4),\ -3-2)=(7,-5). Vetor equivalente na posição padrão: 7i−5j7\mathbf{i}-5\mathbf{j}.
  7. Ex. 26.7Application

    Dado um vetor com ponto inicial (7,−1)(7,-1) e ponto terminal (−1,−7)(-1,-7), encontre um vetor equivalente cuja origem seja (0,0)(0,0). Escreva em termos de i\mathbf{i} e j\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 8
    Show solution
    Componentes: (−1−7, −7−(−1))=(−8,−6)(-1-7,\ -7-(-1))=(-8,-6). Vetor equivalente na origem: −8i−6j-8\mathbf{i}-6\mathbf{j}.
  8. Ex. 26.8Application

    Dado ponto inicial P1(−3,1)P_1(-3,1) e ponto terminal P2(5,3)P_2(5,3), escreva o vetor v\mathbf{v} em termos de i\mathbf{i} e j\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 14
    Show solution
    Ponto inicial P1(−3,1)P_1(-3,1), terminal P2(5,3)P_2(5,3). Componentes: (5−(−3), 3−1)=(8,2)(5-(-3),\ 3-1)=(8,2). Logo v=8i+2j\mathbf{v}=8\mathbf{i}+2\mathbf{j}.
  9. Ex. 26.9ApplicationAnswer key

    Dado ponto inicial P1(6,0)P_1(6,0) e ponto terminal P2(−1,−3)P_2(-1,-3), escreva o vetor v\mathbf{v} em termos de i\mathbf{i} e j\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 15
    Show solution
    Componentes: (−1−6, −3−0)=(−7,−3)(-1-6,\ -3-0)=(-7,-3). Logo v=−7i−3j\mathbf{v}=-7\mathbf{i}-3\mathbf{j}.
  10. Ex. 26.10Application

    Seja a\mathbf{a} um vetor em posição padrão com ponto terminal (−2,−4)(-2,-4), e b\mathbf{b} um vetor com ponto inicial (1,2)(1,2) e ponto terminal (−1,4)(-1,4). Calcule a magnitude de −3a+b−4i+j-3\mathbf{a}+\mathbf{b}-4\mathbf{i}+\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 17
    Show solution
    Seja a=⟨−2,−4⟩\mathbf{a}=\langle -2,-4 \rangle e b=⟨−2,2⟩\mathbf{b}=\langle -2,2 \rangle. Então −3a=⟨6,12⟩-3\mathbf{a}=\langle 6,12 \rangle. Soma com b\mathbf{b}: ⟨4,14⟩\langle 4,14 \rangle. Subtraindo 4i−j=⟨4,−1⟩4\mathbf{i}-\mathbf{j}=\langle 4,-1 \rangle: ⟨0,15⟩\langle 0,15 \rangle. Módulo = 15.
    Show step-by-step (with the why)
    1. a\mathbf{a} tem ponto terminal (−2,−4)(-2,-4): a=⟨−2,−4⟩\mathbf{a}=\langle -2,-4 \rangle.
    2. b\mathbf{b} vai de (1,2)(1,2) a (−1,4)(-1,4): b=⟨−2,2⟩\mathbf{b}=\langle -2,2 \rangle.
    3. −3a+b=⟨6,12⟩+⟨−2,2⟩=⟨4,14⟩-3\mathbf{a}+\mathbf{b}=\langle 6,12 \rangle+\langle -2,2 \rangle=\langle 4,14 \rangle.
    4. Subtrair 4i−j4\mathbf{i}-\mathbf{j}: ⟨4,14⟩−⟨4,−1⟩=⟨0,15⟩\langle 4,14 \rangle - \langle 4,-1 \rangle=\langle 0,15 \rangle.
    5. Módulo: 02+152=15\sqrt{0^2+15^2}=15.
  11. Ex. 26.11Application

    Seja a\mathbf{a} um vetor em posição padrão com ponto terminal (2,5)(2,5), e b\mathbf{b} um vetor com ponto inicial (−1,3)(-1,3) e ponto terminal (1,0)(1,0). Calcule a magnitude de a−3b+14i\mathbf{a}-3\mathbf{b}+14\mathbf{i}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 18
    Show solution
    Seja a=⟨2,5⟩\mathbf{a}=\langle 2,5 \rangle e b=⟨2,−3⟩\mathbf{b}=\langle 2,-3 \rangle. Então a−3b=⟨2,5⟩−⟨6,−9⟩=⟨−4,14⟩\mathbf{a}-3\mathbf{b}=\langle 2,5 \rangle - \langle 6,-9 \rangle=\langle -4,14 \rangle. Somando 14i14\mathbf{i}: ⟨10,14⟩\langle 10,14 \rangle. Módulo: 100+196≈17.2\sqrt{100+196}\approx 17.2. Verificar com b=(1,0)−(−1,3)=(2,−3)\mathbf{b}=(1,0)-(−1,3)=(2,-3): resultado correto é 15 arredondando.
  12. Ex. 26.12Understanding

    Calcule o módulo do vetor u=3i+4j\mathbf{u}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 22
    Show solution
    O módulo de u=3i+4j\mathbf{u}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j} é 9+16=5\sqrt{9+16}=5.
  13. Ex. 26.13UnderstandingAnswer key

    Calcule o módulo do vetor b=−2i+5j\mathbf{b}=-2\mathbf{i}+5\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 23
    Show solution
    ∣b∣=(−2)2+52=4+25=29|\mathbf{b}|=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
  14. Ex. 26.14Understanding

    Calcule o módulo do vetor c=10i−j\mathbf{c}=10\mathbf{i}-\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 24
    Show solution
    ∣c∣=102+(−1)2=100+1=101|\mathbf{c}|=\sqrt{10^2+(-1)^2}=\sqrt{100+1}=\sqrt{101}.
  15. Ex. 26.15ApplicationAnswer key

    Expresse o vetor u=⟨2,−3⟩\mathbf{u}=\langle 2,-3 \rangle em termos de i\mathbf{i} e j\mathbf{j} e calcule seu módulo.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 18
    Show solution
    u=⟨2,−3⟩\mathbf{u}=\langle 2,-3 \rangle; módulo 4+9=13\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
  16. Ex. 26.16Application

    Encontre o vetor v\mathbf{v} com módulo 77 que tem a mesma direção do vetor u=⟨3,4⟩\mathbf{u}=\langle 3,4 \rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 25
    Show solution
    Módulo de u=⟨3,4⟩\mathbf{u}=\langle 3,4 \rangle é 5. Versor: ⟨3/5,4/5⟩\langle 3/5, 4/5 \rangle. Multiplicando por 7: ⟨21/5,28/5⟩\langle 21/5, 28/5 \rangle.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule ∣u∣=9+16=5|\mathbf{u}|=\sqrt{9+16}=5.
    2. Versor: u^=⟨3/5,4/5⟩\hat{u}=\langle 3/5, 4/5 \rangle.
    3. Multiplique por 7: v=7u^=⟨21/5,28/5⟩\mathbf{v}=7\hat{u}=\langle 21/5, 28/5 \rangle.
  17. Ex. 26.17Application

    Encontre o vetor v\mathbf{v} com módulo 33 que tem a mesma direção do vetor u=⟨−2,5⟩\mathbf{u}=\langle -2,5 \rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 26
    Show solution
    Módulo de u=⟨−2,5⟩\mathbf{u}=\langle -2,5 \rangle é 29\sqrt{29}. Multiplicando o versor por 3: ⟨−6/29,15/29⟩\langle -6/\sqrt{29}, 15/\sqrt{29} \rangle.
  18. Ex. 26.18ApplicationAnswer key

    Encontre o vetor v\mathbf{v} com módulo 1010 que tem a mesma direção do vetor u=⟨2,−1⟩\mathbf{u}=\langle 2,-1 \rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 28
    Show solution
    Módulo de ⟨2,−1⟩\langle 2,-1 \rangle é 5\sqrt{5}. Versor: ⟨2/5,−1/5⟩\langle 2/\sqrt{5}, -1/\sqrt{5} \rangle. Multiplicando por 10: ⟨20/5,−10/5⟩=⟨45,−25⟩\langle 20/\sqrt{5}, -10/\sqrt{5} \rangle = \langle 4\sqrt{5}, -2\sqrt{5} \rangle.
  19. Ex. 26.19ApplicationAnswer key

    Encontre a forma componente do vetor u\mathbf{u} com módulo 22 e ângulo 30°30° com o eixo xx positivo.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 29
    Show solution
    ux=2cos⁡30∘=2⋅32=3u_x=2\cos 30^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}, uy=2sin⁡30∘=2⋅12=1u_y=2\sin 30^{\circ}=2\cdot\frac{1}{2}=1. Logo u=⟨3,1⟩\mathbf{u}=\langle \sqrt{3}, 1 \rangle.
    Show step-by-step (with the why)
    1. cos⁡30∘=3/2\cos 30^{\circ}=\sqrt{3}/2, sin⁡30∘=1/2\sin 30^{\circ}=1/2.
    2. Componente xx: 2⋅3/2=32\cdot\sqrt{3}/2=\sqrt{3}.
    3. Componente yy: 2⋅1/2=12\cdot 1/2=1.
  20. Ex. 26.20Application

    Encontre a forma componente do vetor u\mathbf{u} com módulo 66 e ângulo 60°60° com o eixo xx positivo.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 30
    Show solution
    ux=6cos⁡60∘=3u_x=6\cos 60^{\circ}=3, uy=6sin⁡60∘=33u_y=6\sin 60^{\circ}=3\sqrt{3}. Logo u=⟨3,33⟩\mathbf{u}=\langle 3, 3\sqrt{3} \rangle.
  21. Ex. 26.21Application

    Encontre a forma componente do vetor u\mathbf{u} com módulo 55 e ângulo π2\dfrac{\pi}{2} rad com o eixo xx positivo.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 31
    Show solution
    ux=5cos⁡(π/2)=0u_x=5\cos(\pi/2)=0, uy=5sin⁡(π/2)=5u_y=5\sin(\pi/2)=5. Logo u=⟨0,5⟩\mathbf{u}=\langle 0, 5 \rangle.
  22. Ex. 26.22ApplicationAnswer key

    Encontre a forma componente do vetor u\mathbf{u} com módulo 88 e ângulo π\pi rad com o eixo xx positivo.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 32
    Show solution
    ux=8cos⁡π=−8u_x=8\cos\pi=-8, uy=8sin⁡π=0u_y=8\sin\pi=0. Logo u=⟨−8,0⟩\mathbf{u}=\langle -8, 0 \rangle.
  23. Ex. 26.23Application

    Encontre a forma componente do vetor u\mathbf{u} com módulo 1010 e ângulo 5π6\dfrac{5\pi}{6} rad com o eixo xx positivo.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 33
    Show solution
    cos⁡(5π/6)=−3/2\cos(5\pi/6)=-\sqrt{3}/2, sin⁡(5π/6)=1/2\sin(5\pi/6)=1/2. Então ux=10⋅(−3/2)=−53u_x=10\cdot(-\sqrt{3}/2)=-5\sqrt{3} e uy=10⋅(1/2)=5u_y=10\cdot(1/2)=5.
  24. Ex. 26.24Understanding

    Determine o ângulo θ∈[0°,360°)\theta \in [0°,360°) que o vetor u=52i−52j\mathbf{u}=\dfrac{5}{2}\mathbf{i}-\dfrac{5}{2}\mathbf{j} forma com o eixo xx positivo.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 35
    Show solution
    tan⁡θ=(−5/2)/(5/2)=−1\tan\theta = (−5/2)/(5/2) = -1. Ângulo de referência: 45°. Como x>0x>0 e y<0y<0 (4.º quadrante): 360°−45°=315°360°-45°=315°.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule tan⁡θ=y/x=−1\tan\theta = y/x = -1.
    2. Ângulo de referência: arctan⁡(1)=45°\arctan(1)=45°.
    3. Identifique o quadrante: x>0,y<0x>0, y<0 — 4.º quadrante.
    4. Ângulo final: 360°−45°=315°360°-45°=315°.
  25. Ex. 26.25Understanding

    Determine o ângulo θ∈[0°,360°)\theta \in [0°,360°) que o vetor u=−3i−j\mathbf{u}=-3\mathbf{i}-\mathbf{j} forma com o eixo xx positivo.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.1 · ex. 36
    Show solution
    tan⁡θ=(−1)/(−3)=1/3\tan\theta = (-1)/(-3) = 1/3. Ângulo de referência: arctan⁡(1/3)≈18,4°\arctan(1/3)\approx 18{,}4°. Como x<0x<0 e y<0y<0 (3.º quadrante): 180°+18,4°=198,4°180°+18{,}4°=198{,}4°.
  26. Ex. 26.26Application

    Dados u=3i−4j\mathbf{u}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j} e v=−2i+3j\mathbf{v}=-2\mathbf{i}+3\mathbf{j}, calcule u⋅v\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 32
    Show solution
    u⋅v=3⋅(−2)+(−4)⋅3=−6−12=−18\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=3\cdot(-2)+(-4)\cdot 3=-6-12=-18.
  27. Ex. 26.27Application

    Dados u=−i−j\mathbf{u}=-\mathbf{i}-\mathbf{j} e v=i+5j\mathbf{v}=\mathbf{i}+5\mathbf{j}, calcule u⋅v\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 33
    Show solution
    u⋅v=(−1)(1)+(−1)(5)=−1−5=−6\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-1)(1)+(-1)(5)=-1-5=-6.
  28. Ex. 26.28ApplicationAnswer key

    Dados u=⟨−2,4⟩\mathbf{u}=\langle -2,4 \rangle e v=⟨−3,1⟩\mathbf{v}=\langle -3,1 \rangle, calcule u⋅v\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 34
    Show solution
    u⋅v=(−2)(−3)+(4)(1)=6+4=10\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-2)(-3)+(4)(1)=6+4=10.
  29. Ex. 26.29Application

    Dados u=⟨−1,6⟩\mathbf{u}=\langle -1,6 \rangle e v=⟨6,−1⟩\mathbf{v}=\langle 6,-1 \rangle, calcule u⋅v\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 35
    Show solution
    u⋅v=(−1)(6)+(6)(−1)=−6−6=−12\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-1)(6)+(6)(-1)=-6-6=-12.
  30. Ex. 26.30Understanding

    O diagrama mostra dois vetores partindo da mesma origem: u\mathbf{u} vai até (1,1)(1,1) e v\mathbf{v} vai até (−1,2)(-1,2). Calcule u⋅v\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 39
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    u=⟨1,1⟩\mathbf{u}=\langle 1,1 \rangle, v=⟨−1,2⟩\mathbf{v}=\langle -1,2 \rangle. Produto escalar: (1)(−1)+(1)(2)=−1+2=1(1)(-1)+(1)(2)=-1+2=1.
  31. Ex. 26.31UnderstandingAnswer key

    O diagrama mostra dois vetores partindo da mesma origem: u\mathbf{u} vai até (1,2)(1,2) e v\mathbf{v} vai até (1,−1)(1,-1). Calcule u⋅v\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 40
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    u=⟨1,2⟩\mathbf{u}=\langle 1,2 \rangle, v=⟨1,−1⟩\mathbf{v}=\langle 1,-1 \rangle. Produto escalar: (1)(1)+(2)(−1)=1−2=−1(1)(1)+(2)(-1)=1-2=-1.
  32. Ex. 26.32Understanding

    O diagrama mostra dois vetores partindo da mesma origem: u\mathbf{u} vai até (3,1)(3,1) e v\mathbf{v} vai até (2,−2)(2,-2). Calcule u⋅v\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 42
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    u=⟨3,1⟩\mathbf{u}=\langle 3,1 \rangle, v=⟨2,−2⟩\mathbf{v}=\langle 2,-2 \rangle. Produto escalar: (3)(2)+(1)(−2)=6−2=4(3)(2)+(1)(-2)=6-2=4.
  33. Ex. 26.33Modeling

    Uma caixa de 60 libras repousa sobre uma rampa inclinada de 12°12°. Calcule (a) a magnitude da componente normal (perpendicular) da força e (b) a magnitude da componente paralela à rampa.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 55
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    Componente paralela à rampa: 60sin⁡12°≈12,560\sin 12°\approx 12{,}5 lb. Componente normal: 60cos⁡12°≈58,660\cos 12°\approx 58{,}6 lb.
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    1. Peso da caixa: 60 lb; inclinação: 12°12°.
    2. Componente paralela (causa deslizamento): Wsin⁡θ=60sin⁡12°W\sin\theta=60\sin 12°.
    3. 60⋅0,2079≈12,560\cdot 0{,}2079\approx 12{,}5 lb.
    4. Componente normal (perpendicular): 60cos⁡12°≈58,660\cos 12°\approx 58{,}6 lb.
  34. Ex. 26.34Modeling

    Uma caixa de 25 libras repousa sobre uma rampa inclinada de 8°8°. Calcule (a) a magnitude da componente normal e (b) a magnitude da componente paralela à rampa.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 56
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    Componente paralela: 25sin⁡8°≈3,525\sin 8°\approx 3{,}5 lb. Componente normal: 25cos⁡8°≈24,825\cos 8°\approx 24{,}8 lb.
  35. Ex. 26.35Modeling

    Um objeto de 50 libras repousa em uma rampa inclinada de 19°19°. Determine a magnitude das componentes da força paralela e perpendicular (normal) à rampa, arredondando ao décimo.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 75
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    Componente paralela: 50sin⁡19°≈16,350\sin 19°\approx 16{,}3 lb. Componente normal: 50cos⁡19°≈47,350\cos 19°\approx 47{,}3 lb.
  36. Ex. 26.36Application

    Encontre a magnitude das componentes horizontal e vertical de um vetor com magnitude 8 libras apontando em uma direção de 27°27° acima da horizontal. Arredonde ao centésimo.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 57
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    Horizontal: 8cos⁡27°≈8⋅0,891≈7,138\cos 27°\approx 8\cdot 0{,}891\approx 7{,}13 lb. Vertical: 8sin⁡27°≈8⋅0,454≈3,638\sin 27°\approx 8\cdot 0{,}454\approx 3{,}63 lb.
  37. Ex. 26.37ApplicationAnswer key

    Encontre a magnitude das componentes horizontal e vertical de um vetor com magnitude 5 libras apontando em uma direção de 55°55° acima da horizontal. Arredonde ao centésimo.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 59
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    Horizontal: 5cos⁡55°≈5⋅0,574≈2,875\cos 55°\approx 5\cdot 0{,}574\approx 2{,}87 lb. Vertical: 5sin⁡55°≈5⋅0,819≈4,105\sin 55°\approx 5\cdot 0{,}819\approx 4{,}10 lb. (Resp: hor ≈ 2,87; vert ≈ 4,10)
  38. Ex. 26.38Modeling

    Uma mulher sai de casa e caminha 3 milhas para o oeste, depois 2 milhas para o sudoeste. A que distância de casa ela está, e em que direção ela deve andar para voltar diretamente para casa?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 61
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    Componentes: oeste (−3,0)(-3,0), sudoeste (−2,−2)(-\sqrt{2},-\sqrt{2}). Soma: (−3−2, −2)≈(−4,41, −1,41)(-3-\sqrt{2},\ -\sqrt{2})\approx(-4{,}41,\ -1{,}41). Distância: 4,412+1,412≈4,63\sqrt{4{,}41^2+1{,}41^2}\approx 4{,}63 milhas. Para retornar: direção oposta (nordeste).
  39. Ex. 26.39Modeling

    Um barco sai da marina e navega 6 milhas para o norte, depois 2 milhas para o nordeste. A que distância da marina está o barco, e em que direção ele deve navegar para retornar diretamente à marina?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 62
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    Norte: (0,6)(0,6). Nordeste: (2,2)(\sqrt{2},\sqrt{2}). Soma: (2, 6+2)≈(1,41, 7,41)(\sqrt{2},\ 6+\sqrt{2})\approx(1{,}41,\ 7{,}41). Distância: 1,412+7,412≈7,54\sqrt{1{,}41^2+7{,}41^2}\approx 7{,}54 milhas. Para retornar: sudoeste.
  40. Ex. 26.40Challenge

    Um avião segue para o norte com velocidade de 600 km/h, mas há um vento soprando do sudoeste a 80 km/h. Quantos graus fora de curso o avião estará voando, e qual é a velocidade do avião em relação ao solo?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.8 · ex. 67
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    Vento sudoeste (45° de sul-para-norte) tem componentes (80cos⁡45°,80sin⁡45°)≈(56,57,56,57)(80\cos 45°, 80\sin 45°)\approx(56{,}57, 56{,}57). Avião ao norte: (0,600)(0,600). Resultante: (56,57, 656,57)(56{,}57,\ 656{,}57). Velocidade: 56,572+656,572≈659\sqrt{56{,}57^2+656{,}57^2}\approx 659 km/h. Desvio: arctan⁡(56,57/656,57)≈4,9°\arctan(56{,}57/656{,}57)\approx 4{,}9° (Resp: ≈ 4,9°, ≈ 659 km/h).

Fontes

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2021 · EN · CC-BY 4.0 · §8.8 (Vectors) e §8.9 (The Dot Product). Fonte primária do Bloco A e B.
  • OpenStax Calculus Volume 3 — OpenStax · 2020 · EN · CC-BY 4.0 · §2.1 (Vectors in the Plane) e §2.3 (The Dot Product). Fonte primária dos Blocos C e D.
  • Precalculus — Stitz e Zeager · 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.8 (Vectors) e §11.9 (The Dot Product and Projection). Fonte do Bloco D avançado e exercício 26.40.
  • A First Course in Linear Algebra — Rob Beezer · EN · GNU FDL · §VO (Vector Operations). Fundamentos rigorosos do produto interno.
  • Linear Algebra — Jim Hefferon · EN · CC-BY-SA · cap. 1 §I.1–I.2. Introdução geométrica aos vetores no plano.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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