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v1 · padrão canônico

Lesson 27 — Dot product

Inner product (dot product). Angle between vectors, orthogonal projection, orthogonality. Mechanical work as motivation.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã · Precalculus §11.8 (US)

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣ ∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta

Produto escalar: combina dois vetores e devolve um número real. Em coordenadas, soma dos produtos componente a componente. Geometricamente, mede quanto um vetor "vai na direção" do outro — pelo fator cos⁡θ\cos\theta. Quando o resultado é 00, os vetores são ortogonais.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e propriedades

Produto escalar em R2\mathbb{R}^2

"If u⃗\vec u and v⃗\vec v are vectors with components ⟨u1,u2⟩\langle u_1, u_2\rangle and ⟨v1,v2⟩\langle v_1, v_2\rangle, respectively, then the dot product u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v is given by u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2." — Stitz–Zeager Precalculus §11.8

Sinal e ângulo

agudo — produto positivoθu·v > 0reto — produto zerou·v = 0obtuso — produto negativoθu·v < 0

Sinal do produto escalar segundo o ângulo entre os vetores. Esquerda: agudo (coseno positivo). Centro: reto — vetores ortogonais. Direita: obtuso (coseno negativo).

u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec vcos⁡θ\cos\thetaÂngulo
>0> 0>0> 0agudo, θ<90°\theta < 90°
=0= 000reto, θ=90°\theta = 90° — ortogonais
<0< 0<0< 0obtuso, θ>90°\theta > 90°

Propriedades algébricas

  • Comutativa: u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u
  • Distributiva: u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w
  • Homogeneidade: (α u⃗)⋅v⃗=α (u⃗⋅v⃗)(\alpha\,\vec u) \cdot \vec v = \alpha\,(\vec u \cdot \vec v)
  • Positiva: u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2≥0\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0, com igualdade   ⟺  u⃗=0⃗\iff \vec u = \vec 0

Ângulo entre vetores

Da definição geométrica, isolando θ\theta:

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣,θ=arccos⁡ ⁣(u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣)\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}, \quad \theta = \arccos\!\left(\frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}\right)
(1)
what this means · Fórmula do ângulo: divide o produto escalar pelo produto dos módulos, aplica arccosseno. Só vale quando ambos os vetores são não-nulos.

Projeção ortogonal

"If v⃗≠0⃗\vec v \neq \vec 0, the projection of u⃗\vec u onto v⃗\vec v... is the vector projv⃗(u⃗)=u⃗⋅v⃗v⃗⋅v⃗ v⃗\text{proj}_{\vec v}(\vec u) = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\vec v \cdot \vec v}\,\vec v." — Stitz–Zeager Precalculus §11.8

Trabalho mecânico

W=F⃗⋅d⃗=∣F⃗∣ ∣d⃗∣ cos⁡θW = \vec F \cdot \vec d = |\vec F|\,|\vec d|\,\cos\theta
(2)
what this means · Trabalho de força constante: produto escalar da força pelo deslocamento. Apenas a componente da força paralela ao deslocamento contribui. Unidade: newton·metro = joule (J).

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — cálculo direto, ângulo, ortogonalidade por parâmetro, projeção e trabalho mecânico. Cada exemplo cita a fonte: o problema vem de um livro aberto.

Exercise list

44 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 11Modeling 8Challenge 2Proof 3
  1. Ex. 27.1ApplicationAnswer key

    Calcule o produto escalar u⋅vu \cdot v, com u=⟨3,0⟩u = \langle 3, 0 \rangle e v=⟨2,2⟩v = \langle 2, 2 \rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 123
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    Pela definição: u⋅v=3⋅2+0⋅2=6u \cdot v = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 6.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Aplique u⋅v=u1v1+u2v2u \cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2.
    2. Substitua: u1=3,u2=0,v1=2,v2=2u_1=3, u_2=0, v_1=2, v_2=2.
    3. Calcule: 3⋅2+0⋅2=6+0=63 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 6 + 0 = 6.
  2. Ex. 27.2Application

    Calcule o produto escalar u⋅vu \cdot v, com u=⟨3,−4⟩u = \langle 3, -4 \rangle e v=⟨4,3⟩v = \langle 4, 3 \rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 124
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    Calculando: 3⋅4+(−4)⋅3=12−12=03 \cdot 4 + (-4) \cdot 3 = 12 - 12 = 0. Produto zero confirma ortogonalidade.
  3. Ex. 27.3ApplicationAnswer key

    Calcule o produto escalar u⋅vu \cdot v, com u=⟨2,2,−1⟩u = \langle 2, 2, -1 \rangle e v=⟨−1,2,2⟩v = \langle -1, 2, 2 \rangle.

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 125
    Show solution
    Usando a definição: 2(−1)+2⋅2+(−1)⋅2=−2+4−2=02(-1) + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 = -2 + 4 - 2 = 0. Vetores ortogonais.
  4. Ex. 27.4Application

    Calcule o produto escalar u⋅vu \cdot v, com u=⟨4,5,−6⟩u = \langle 4, 5, -6 \rangle e v=⟨0,−2,−3⟩v = \langle 0, -2, -3 \rangle.

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 126
    Show solution
    Calculamos: 4⋅0+5⋅(−2)+(−6)⋅(−3)=0−10+18=84 \cdot 0 + 5 \cdot (-2) + (-6) \cdot (-3) = 0 - 10 + 18 = 8.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Componente 1: 4⋅0=04 \cdot 0 = 0.
    2. Componente 2: 5⋅(−2)=−105 \cdot (-2) = -10.
    3. Componente 3: (−6)⋅(−3)=18(-6) \cdot (-3) = 18.
    4. Soma: 0−10+18=80 - 10 + 18 = 8.
  5. Ex. 27.5Application

    Dados a=⟨3,−1⟩a = \langle 3, -1 \rangle e b=⟨−4,0⟩b = \langle -4, 0 \rangle, calcule a⋅ba \cdot b.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 131
    Show solution
    O produto escalar é 3⋅(−4)+(−1)⋅0=−12+0=−123 \cdot (-4) + (-1) \cdot 0 = -12 + 0 = -12. Sinal negativo indica ângulo obtuso.
  6. Ex. 27.6Application

    Dados a=⟨2,1⟩a = \langle 2, 1 \rangle e b=⟨−1,3⟩b = \langle -1, 3 \rangle, calcule a⋅ba \cdot b.

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 132
    Show solution
    Calculamos: 2⋅(−1)+1⋅3=−2+3=12 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1. Produto positivo indica ângulo agudo.
  7. Ex. 27.7Application

    Calcule o produto escalar: u=3iu = 3\mathbf{i}, v=4i+4jv = 4\mathbf{i}+4\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 133
    Show solution
    Temos $u = \langle 3, 0 \rangle$ e $v = \langle 4, 4 \rangle$. Então u⋅v=3⋅4+0⋅4=12u \cdot v = 3 \cdot 4 + 0 \cdot 4 = 12.
  8. Ex. 27.8Application

    Calcule o produto escalar: u=5iu = 5\mathbf{i}, v=−6i+6jv = -6\mathbf{i}+6\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 134
    Show solution
    Temos $u = \langle 5, 0 \rangle$ e $v = \langle -6, 6 \rangle$. Então u⋅v=5⋅(−6)+0⋅6=−30u \cdot v = 5 \cdot (-6) + 0 \cdot 6 = -30. Resultado negativo indica ângulo obtuso (135°).
  9. Ex. 27.9Application

    Calcule o produto escalar: u=5i+2ju = 5\mathbf{i}+2\mathbf{j}, v=2i+3jv = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 167
    Show solution
    Temos $u = \langle 5, 2 \rangle$ e $v = \langle 2, 3 \rangle$. Então u⋅v=5⋅2+2⋅3=10+6=16u \cdot v = 5 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 10 + 6 = 16.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique componentes: u1=5,u2=2,v1=2,v2=3u_1=5, u_2=2, v_1=2, v_2=3.
    2. Multiplique: 5⋅2=105 \cdot 2 = 10 e 2⋅3=62 \cdot 3 = 6.
    3. Some: 10+6=1610 + 6 = 16.
  10. Ex. 27.10Application

    Calcule o produto escalar: u=⟨−4,7⟩u = \langle -4, 7 \rangle, v=⟨3,5⟩v = \langle 3, 5 \rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 168
    Show solution
    Calculamos: (−4)⋅3+7⋅5=−12+35=23(-4) \cdot 3 + 7 \cdot 5 = -12 + 35 = 23.
  11. Ex. 27.11Application

    Calcule o produto escalar: u=3i+2ku = 3\mathbf{i}+2\mathbf{k}, v=2j+4kv = 2\mathbf{j}+4\mathbf{k}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 169
    Show solution
    Temos $u = \langle 3, 0, 2 \rangle$ e $v = \langle 0, 2, 4 \rangle$. Calculamos u⋅v=3⋅0+0⋅2+2⋅4=0+0+8=8u \cdot v = 3\cdot0 + 0\cdot2 + 2\cdot4 = 0 + 0 + 8 = 8.
  12. Ex. 27.12Application

    Calcule o produto escalar: u=⟨4,4,0⟩u = \langle 4, 4, 0 \rangle, v=⟨0,4,1⟩v = \langle 0, 4, 1 \rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 170
    Show solution
    Calculamos: 4⋅0+4⋅4+0⋅1=0+16+0=164\cdot0 + 4\cdot4 + 0\cdot1 = 0 + 16 + 0 = 16.
  13. Ex. 27.13Application

    Encontre o ângulo entre a=⟨3,−1,2⟩a = \langle 3, -1, 2 \rangle e b=⟨1,−1,−2⟩b = \langle 1, -1, -2 \rangle (em radianos, duas casas decimais).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 135
    Show solution
    Calculamos a⋅b=3⋅1+(−1)(−1)+2(−2)=3+1−4=0a \cdot b = 3 \cdot 1 + (-1)(-1) + 2(-2) = 3 + 1 - 4 = 0. Produto zero implica θ=π/2\theta = \pi/2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule a⋅b=3(1)+(−1)(−1)+2(−2)=0a \cdot b = 3(1) + (-1)(-1) + 2(-2) = 0.
    2. Produto zero implica ortogonalidade.
    3. O ângulo é θ=π/2≈1,57\theta = \pi/2 \approx 1{,}57 rad.
  14. Ex. 27.14Application

    Encontre o ângulo entre a=⟨0,−1,−3⟩a = \langle 0, -1, -3 \rangle e b=⟨2,3,−1⟩b = \langle 2, 3, -1 \rangle (em radianos, duas casas decimais).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 136
    Show solution
    Calculamos a⋅b=0⋅2+(−1)⋅3+(−3)(−1)=−3+3=0a \cdot b = 0\cdot2 + (-1)\cdot3 + (-3)(-1) = -3+3=0. Produto zero implica θ=π/2\theta = \pi/2.
  15. Ex. 27.15ApplicationAnswer key

    Encontre o ângulo entre a=i+ja = \mathbf{i}+\mathbf{j} e b=j−kb = \mathbf{j}-\mathbf{k} (em radianos, duas casas decimais).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 137
    Show solution
    Temos $a = \langle 1,1,0 \rangle$, $b = \langle 0,1,-1 \rangle$. Produto: a⋅b=1a \cdot b = 1. Módulos: ∥a∥=2\|a\| = \sqrt{2}, ∥b∥=2\|b\| = \sqrt{2}. Logo cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{2}, portanto θ=arccos⁡(1/2)≈1,05\theta = \arccos(1/2) \approx 1{,}05 rad.
  16. Ex. 27.16Application

    Encontre o ângulo entre a=i−2j+ka = \mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k} e b=i+j−2kb = \mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k} (em radianos, duas casas decimais).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 138
    Show solution
    Temos $a = \langle 1,-2,1 \rangle$, $b = \langle 1,1,-2 \rangle$. Produto: a⋅b=1−2−2=−3a \cdot b = 1 - 2 - 2 = -3. Módulos: ∥a∥=∥b∥=6\|a\| = \|b\| = \sqrt{6}. Logo cos⁡θ=−3/6=−1/2\cos\theta = -3/6 = -1/2, portanto θ=arccos⁡(−1/2)≈2,09\theta = \arccos(-1/2) \approx 2{,}09 rad.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Produto: a⋅b=1⋅1+(−2)(1)+1⋅(−2)=−3a \cdot b = 1\cdot1 + (-2)(1) + 1\cdot(-2) = -3.
    2. Módulos: ∥a∥=6\|a\| = \sqrt{6}, ∥b∥=6\|b\| = \sqrt{6}.
    3. cos⁡θ=−3/6=−0,5\cos\theta = -3/6 = -0{,}5.
    4. θ=arccos⁡(−0,5)≈2,09\theta = \arccos(-0{,}5) \approx 2{,}09 rad (120°).
  17. Ex. 27.17UnderstandingAnswer key

    Determine se a=⟨x,y⟩a = \langle x, y \rangle e b=⟨−y,x⟩b = \langle -y, x \rangle são ortogonais, onde xx e yy são reais não nulos.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 141
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    Calculamos: a⋅b=x(−y)+y⋅x=−xy+xy=0a \cdot b = x(-y) + y \cdot x = -xy + xy = 0. O produto escalar é zero para quaisquer $x, y$ não nulos, logo os vetores são sempre ortogonais.
  18. Ex. 27.18UnderstandingAnswer key

    Determine se a=⟨x,x⟩a = \langle x, x \rangle e b=⟨−y,y⟩b = \langle -y, y \rangle são ortogonais, onde xx e yy são reais não nulos.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 142
    Show solution
    Calculamos: a⋅b=x(−y)+x⋅y=−xy+xy=0a \cdot b = x(-y) + x \cdot y = -xy + xy = 0. São ortogonais para quaisquer $x, y$ não nulos.
  19. Ex. 27.19Understanding

    Os vetores a=3i−j−2ka = 3\mathbf{i}-\mathbf{j}-2\mathbf{k} e b=−2i−3j+kb = -2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+\mathbf{k} são ortogonais?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 143
    Show solution
    Calculamos: a⋅b=3(−2)+(−1)(−3)+(−2)(1)=−6+3−2=−5≠0a \cdot b = 3(-2) + (-1)(-3) + (-2)(1) = -6 + 3 - 2 = -5 \neq 0. Os vetores não são ortogonais.
  20. Ex. 27.20UnderstandingAnswer key

    Os vetores a=i−ja = \mathbf{i}-\mathbf{j} e b=7i+2j−kb = 7\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k} são ortogonais?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 144
    Show solution
    Calculamos: a⋅b=1⋅7+(−1)⋅2+0⋅(−1)=7−2=5≠0a \cdot b = 1 \cdot 7 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot (-1) = 7 - 2 = 5 \neq 0. Os vetores não são ortogonais.
  21. Ex. 27.21UnderstandingAnswer key

    Encontre todos os vetores bidimensionais aa ortogonais a b=⟨3,4⟩b = \langle 3, 4 \rangle. Expresse em forma componente.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 145
    Show solution
    A condição de ortogonalidade $a \cdot b = 0$ com $b = \langle 3, 4 \rangle$ dá 3a1+4a2=03a_1 + 4a_2 = 0, logo a1=−4k, a2=3ka_1 = -4k,\, a_2 = 3k para qualquer $k \neq 0$. O representante canônico é ⟨−4,3⟩\langle -4, 3 \rangle.
  22. Ex. 27.22Understanding

    Encontre todos os vetores bidimensionais aa ortogonais a b=⟨5,−6⟩b = \langle 5, -6 \rangle, usando vetores unitários padrão.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 146
    Show solution
    Ortogonal a $b = \langle 5, -6 \rangle$: a condição 5a1−6a2=05a_1 - 6a_2 = 0 dá a1=6k, a2=5ka_1 = 6k,\, a_2 = 5k. Tomando $k=1$: a=6i+5ja = 6\mathbf{i}+5\mathbf{j}.
  23. Ex. 27.23Understanding

    Determine o real α\alpha tal que a=2i+3ja = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j} e b=9i+αjb = 9\mathbf{i}+\alpha\mathbf{j} sejam ortogonais.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 149
    Show solution
    Para ortogonalidade: a⋅b=2⋅9+3α=0a \cdot b = 2 \cdot 9 + 3\alpha = 0, portanto 18+3α=018 + 3\alpha = 0, logo α=−6\alpha = -6.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva a⋅b=2⋅9+3⋅α=0a \cdot b = 2 \cdot 9 + 3 \cdot \alpha = 0.
    2. Simplifique: 18+3α=018 + 3\alpha = 0.
    3. Resolva: α=−6\alpha = -6.
  24. Ex. 27.24Understanding

    Determine o real α\alpha tal que a=−3i+2ja = -3\mathbf{i}+2\mathbf{j} e b=2i+αjb = 2\mathbf{i}+\alpha\mathbf{j} sejam ortogonais.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 150
    Show solution
    Ortogonalidade: (−3)⋅2+2⋅α=0⇒−6+2α=0(-3) \cdot 2 + 2 \cdot \alpha = 0 \Rightarrow -6 + 2\alpha = 0, logo α=3\alpha = 3.
  25. Ex. 27.25Modeling

    Considere P(4,5)P(4,5) e Q(5,−7)Q(5,-7). Calcule o ângulo OO no triângulo OPQOPQ (em graus, duas casas decimais).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 151
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    Vetores: OP→=⟨4,5⟩\overrightarrow{OP}=\langle 4,5\rangle, OQ→=⟨5,−7⟩\overrightarrow{OQ}=\langle 5,-7\rangle. Produto: 4⋅5+5⋅(−7)=20−35=−154\cdot5+5\cdot(-7)=20-35=-15. Módulos: 41\sqrt{41} e 74\sqrt{74}. Logo cos⁡θ=−15/3034≈−0,2724\cos\theta=-15/\sqrt{3034}\approx-0{,}2724, portanto θ≈105,80°\theta\approx105{,}80°.
  26. Ex. 27.26ModelingAnswer key

    Dados A(1,1)A(1,1), B(2,−7)B(2,-7) e C(6,3)C(6,3), determine o ângulo BB no triângulo ABCABC (em graus, duas casas decimais).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 152
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    Temos BA→=⟨−1,8⟩\overrightarrow{BA}=\langle -1,8\rangle e BC→=⟨4,10⟩\overrightarrow{BC}=\langle 4,10\rangle. Produto: (−1)(4)+8⋅10=76(-1)(4)+8\cdot10=76. Módulos: 65\sqrt{65} e 116\sqrt{116}. Logo θ≈28,93°\theta\approx28{,}93°.
    Show step-by-step (with the why)
    1. BA→=A−B=(−1,8)\overrightarrow{BA} = A-B = (-1, 8).
    2. BC→=C−B=(4,10)\overrightarrow{BC} = C-B = (4, 10).
    3. Produto: (−1)(4)+8(10)=76(-1)(4)+8(10)=76.
    4. Módulos: 65\sqrt{65} e 116\sqrt{116}.
    5. θ=arccos⁡(76/7540)≈28,93°\theta=\arccos(76/\sqrt{7540})\approx28{,}93°.
  27. Ex. 27.27Modeling

    Dados A(1,1,8)A(1,1,8), B(4,−3,−4)B(4,-3,-4) e C(−3,1,5)C(-3,1,5), determine o ângulo AA no triângulo ABCABC (em graus, duas casas decimais).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 153
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    Vetores: AB→=⟨3,−4,−12⟩\overrightarrow{AB}=\langle 3,-4,-12\rangle, AC→=⟨−4,0,−3⟩\overrightarrow{AC}=\langle -4,0,-3\rangle. Produto: 3(−4)+(−4)(0)+(−12)(−3)=243(-4)+(-4)(0)+(-12)(-3)=24. Módulos: ∥AB→∥=13\|\overrightarrow{AB}\|=13, ∥AC→∥=5\|\overrightarrow{AC}\|=5. Logo cos⁡θ=24/65≈0,3692\cos\theta=24/65\approx0{,}3692, portanto θ≈68,33°\theta\approx68{,}33°.
  28. Ex. 27.28Modeling

    Considere P(3,7,−2)P(3,7,-2) e Q(1,1,−3)Q(1,1,-3). Calcule o ângulo entre OP→\overrightarrow{OP} e OQ→\overrightarrow{OQ} (em graus, duas casas decimais).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 154
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    Temos OP→=(3,7,−2)\overrightarrow{OP}=(3,7,-2) e OQ→=(1,1,−3)\overrightarrow{OQ}=(1,1,-3). Produto: 3+7+6=163+7+6=16. Módulos: 62\sqrt{62} e 11\sqrt{11}. Então cos⁡θ=16/682≈0,6124\cos\theta=16/\sqrt{682}\approx0{,}6124, logo θ≈52,22°\theta\approx52{,}22°.
  29. Ex. 27.29Understanding

    Determine quais pares (se houver) dos vetores u=⟨3,7,−2⟩u=\langle 3,7,-2\rangle, v=⟨5,−3,−3⟩v=\langle 5,-3,-3\rangle, w=⟨0,1,−1⟩w=\langle 0,1,-1\rangle são ortogonais.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 155
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    Calculamos: u⋅v=15−21+6=0u\cdot v=15-21+6=0 (ortogonais), u⋅w=0+7+2=9u\cdot w=0+7+2=9 (não), v⋅w=0−3+3=0v\cdot w=0-3+3=0 (ortogonais). Pares ortogonais: $u\perp v$ e $v\perp w$.
  30. Ex. 27.30Understanding

    Determine quais pares (se houver) dos vetores u=i−ku=\mathbf{i}-\mathbf{k}, v=5j−5kv=5\mathbf{j}-5\mathbf{k}, w=10jw=10\mathbf{j} são ortogonais.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 156
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    Temos $u=\langle 1,0,-1\rangle$, $v=\langle 0,5,-5\rangle$, $w=\langle 0,10,0\rangle$. Calculamos: u⋅v=0+0+5=5u\cdot v=0+0+5=5 (não), u⋅w=0+0+0=0u\cdot w=0+0+0=0 (ortogonais!), v⋅w=0+50+0=50v\cdot w=0+50+0=50 (não). Apenas $u\perp w$.
  31. Ex. 27.31Application

    Considere u=4i−3ju=4\mathbf{i}-3\mathbf{j} e v=3i+2jv=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}. Encontre a projeção w=proj⁡uvw=\operatorname{proj}_u v e escreva a decomposição v=w+qv=w+q.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 171
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    Calculamos u⋅v=4(3)+(−3)(2)=6u\cdot v=4(3)+(-3)(2)=6, ∥u∥2=25\|u\|^2=25. Logo w=625⟨4,−3⟩=⟨0,96,−0,72⟩w=\tfrac{6}{25}\langle 4,-3\rangle=\langle 0{,}96,-0{,}72\rangle. Então q=v−w=⟨2,04, 2,72⟩q=v-w=\langle 2{,}04,\,2{,}72\rangle.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule u⋅v=4(3)+(−3)(2)=6u\cdot v = 4(3)+(-3)(2)=6.
    2. Calcule ∥u∥2=16+9=25\|u\|^2=16+9=25.
    3. w=625⟨4,−3⟩=⟨0,96,−0,72⟩w = \tfrac{6}{25}\langle 4,-3\rangle=\langle 0{,}96,-0{,}72\rangle.
    4. q=v−w=⟨3−0,96,;2−(−0,72)⟩=⟨2,04, 2,72⟩q = v-w = \langle 3-0{,}96,;2-(-0{,}72)\rangle=\langle 2{,}04,\,2{,}72\rangle.
    5. Verificação: q⋅u=2,04(4)+2,72(−3)=0q\cdot u = 2{,}04(4)+2{,}72(-3)=0.
  32. Ex. 27.32Application

    Considere u=2i+4ju=2\mathbf{i}+4\mathbf{j} e v=4j+2kv=4\mathbf{j}+2\mathbf{k}. Encontre w=proj⁡uvw=\operatorname{proj}_u v e escreva v=w+qv=w+q.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 172
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    Temos $u=\langle 2,4,0\rangle$, $v=\langle 0,4,2\rangle$. Calculamos u⋅v=16u\cdot v=16, ∥u∥2=20\|u\|^2=20. Logo w=1620⟨2,4,0⟩=⟨1,6,3,2,0⟩w=\tfrac{16}{20}\langle 2,4,0\rangle=\langle 1{,}6,3{,}2,0\rangle e q=⟨−1,6,0,8,2⟩q=\langle -1{,}6,0{,}8,2\rangle.
  33. Ex. 27.33ModelingAnswer key

    Calcule o trabalho realizado pela força F=⟨5,6,−2⟩F=\langle 5,6,-2\rangle N que move uma partícula de P(3,−1,0)P(3,-1,0) a Q(2,3,1)Q(2,3,1) em linha reta.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 175
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    O deslocamento é d=Q−P=⟨−1,4,1⟩d = Q-P = \langle -1,4,1\rangle. Trabalho: W=F⋅d=5(−1)+6(4)+(−2)(1)=−5+24−2=17W = F\cdot d = 5(-1)+6(4)+(-2)(1) = -5+24-2=17 J.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule o deslocamento: d=⟨2−3,;3−(−1),;1−0⟩=⟨−1,4,1⟩d = \langle 2-3,;3-(-1),;1-0\rangle = \langle -1,4,1\rangle.
    2. Aplique W=F⋅dW = F\cdot d.
    3. Calcule: 5(−1)+6(4)+(−2)(1)=−5+24−2=175(-1)+6(4)+(-2)(1)=-5+24-2=17 J.
  34. Ex. 27.34Modeling

    Um trenó é puxado com força de 100100 N numa corda que faz 25°25° com a horizontal. Calcule o trabalho ao puxar o trenó 4040 m (arredonde a uma casa decimal).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 176
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    Usando W=Fdcos⁡θW = F d \cos\theta: W=100×40×cos⁡25°≈4000×0,9063≈3 625,2W = 100 \times 40 \times \cos 25° \approx 4000 \times 0{,}9063 \approx 3\,625{,}2 J.
  35. Ex. 27.35ModelingAnswer key

    Um pai puxa seu filho num trenó com força de 2525 lb a 20°20° da horizontal, percorrendo 5050 ft. Qual o trabalho realizado (arredonde ao inteiro)?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 177
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    Trabalho: W=25×50×cos⁡20°≈1250×0,9397≈1 175W = 25 \times 50 \times \cos 20° \approx 1250 \times 0{,}9397 \approx 1\,175 lb·ft.
  36. Ex. 27.36Modeling

    O vetor p=⟨150,225,375⟩p=\langle 150,225,375\rangle representa preços (reais) e n=⟨10,7,9⟩n=\langle 10,7,9\rangle quantidades de três modelos de bicicletas. Calcule p⋅np\cdot n e interprete o resultado.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 180
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    O produto escalar p⋅n=150(10)+225(7)+375(9)=1500+1575+3375=6450p\cdot n = 150(10)+225(7)+375(9)=1500+1575+3375=6450. O resultado representa a receita total: cada componente é preço vezes quantidade do modelo.
  37. Ex. 27.37Application

    Calcule o módulo do vetor u=⟨2,2,1⟩u = \langle 2, 2, 1 \rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 161
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    O módulo é ∥u∥=22+22+12=9=3\|u\| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{9} = 3.
  38. Ex. 27.38Application

    Calcule o módulo do vetor u=i−2j+2ku = \mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 162
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    O módulo é ∥u∥=1+4+4=9=3\|u\| = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3.
  39. Ex. 27.39Proof

    Para u=⟨a,b,c⟩u = \langle a, b, c \rangle não nulo com cossenos diretores cos⁡α\cos\alpha, cos⁡β\cos\beta, cos⁡γ\cos\gamma, mostre que cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 165
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    Os cossenos diretores são cos⁡α=a/∥u∥\cos\alpha=a/\|u\|, cos⁡β=b/∥u∥\cos\beta=b/\|u\|, cos⁡γ=c/∥u∥\cos\gamma=c/\|u\|. Portanto cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=a2+b2+c2∥u∥2=∥u∥2∥u∥2=1\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = \frac{a^2+b^2+c^2}{\|u\|^2} = \frac{\|u\|^2}{\|u\|^2} = 1.
  40. Ex. 27.40Understanding

    Determine os cossenos diretores de u=i+2j+2ku = \mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k} e verifique que cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 166
    Show solution
    Módulo: ∥u∥=1+4+4=3\|u\|=\sqrt{1+4+4}=3. Cossenos: cos⁡α=1/3\cos\alpha=1/3, cos⁡β=2/3\cos\beta=2/3, cos⁡γ=2/3\cos\gamma=2/3. Verificação: 1/9+4/9+4/9=11/9+4/9+4/9=1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule ∥u∥=1+4+4=3\|u\|=\sqrt{1+4+4}=3.
    2. Divida cada componente pelo módulo: cos⁡α=1/3\cos\alpha=1/3, cos⁡β=2/3\cos\beta=2/3, cos⁡γ=2/3\cos\gamma=2/3.
    3. Verifique: 1/9+4/9+4/9=11/9+4/9+4/9=1.
  41. Ex. 27.41Proof

    Use vetores para mostrar que um paralelogramo com diagonais de mesmo comprimento é um retângulo.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 157
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    As diagonais são d1=u+vd_1=u+v e d2=u−vd_2=u-v. Igualando ∥d1∥2=∥d2∥2\|d_1\|^2=\|d_2\|^2 dá 4 u⋅v=04\,u\cdot v=0, logo $u\perp v$ e o paralelogramo é retângulo.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva ∥d1∥2=∥u∥2+2u⋅v+∥v∥2\|d_1\|^2 = \|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2.
    2. Escreva ∥d2∥2=∥u∥2−2u⋅v+∥v∥2\|d_2\|^2 = \|u\|^2-2u\cdot v+\|v\|^2.
    3. Igualando: 4u⋅v=04u\cdot v=0, portanto u⋅v=0u\cdot v=0.
    4. Lados perpendiculares implica retângulo.
  42. Ex. 27.42Proof

    Use vetores para mostrar que as diagonais de um losango são perpendiculares.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 158
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    Em um losango, ∥u∥=∥v∥\|u\|=\|v\|. As diagonais são d1=u+vd_1=u+v e d2=u−vd_2=u-v. Calculamos: d1⋅d2=(u+v)⋅(u−v)=∥u∥2−∥v∥2=0d_1\cdot d_2=(u+v)\cdot(u-v)=\|u\|^2-\|v\|^2=0. Portanto as diagonais são perpendiculares.
  43. Ex. 27.43ChallengeAnswer key

    Uma molécula de metano tem carbono na origem e hidrogênios em P(1,1,−1)P(1,1,-1), Q(1,−1,1)Q(1,-1,1), R(−1,1,1)R(-1,1,1) e S(−1,−1,−1)S(-1,-1,-1). Calcule a distância entre PP e RR.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 173
    Show solution
    Distância de $P(1,1,-1)$ a $R(-1,1,1)$: ∥P−R∥=(1−(−1))2+(1−1)2+(−1−1)2=4+0+4=8=22\|P-R\| = \sqrt{(1-(-1))^2+(1-1)^2+(-1-1)^2} = \sqrt{4+0+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
  44. Ex. 27.44Challenge

    Na mesma molécula de metano do exercício anterior, calcule o ângulo de ligação entre OS→\overrightarrow{OS} e OR→\overrightarrow{OR} (em graus, duas casas decimais).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 173
    Show solution
    Vetores OS→=(−1,−1,−1)\overrightarrow{OS}=(-1,-1,-1) e OR→=(−1,1,1)\overrightarrow{OR}=(-1,1,1). Produto: 1−1−1=−11-1-1=-1. Módulos: ambos 3\sqrt{3}. Logo cos⁡θ=−1/3\cos\theta=-1/3 e θ=arccos⁡(−1/3)≈109,47°\theta=\arccos(-1/3)\approx109{,}47°. Este é o ângulo de ligação do metano.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique OS→=(−1,−1,−1)\overrightarrow{OS}=(-1,-1,-1) e OR→=(−1,1,1)\overrightarrow{OR}=(-1,1,1).
    2. Produto: (−1)(−1)+(−1)(1)+(−1)(1)=1−1−1=−1(-1)(-1)+(-1)(1)+(-1)(1)=1-1-1=-1.
    3. Módulos: ∥OS→∥=∥OR→∥=3\|\overrightarrow{OS}\|=\|\overrightarrow{OR}\|=\sqrt{3}.
    4. cos⁡θ=−1/3⇒θ≈109,47°\cos\theta=-1/3 \Rightarrow \theta\approx109{,}47°.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios desta lição.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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