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Lesson 28 — Applications of vectors in physics

Resultant of forces, decomposition into components, work as scalar product, velocity addition and cable tension. Applications in structural engineering, navigation and biomechanics.

Used in: 1.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Physik Klasse 10 alemã · Equiv. Physics I japonês · H2 Physics singapurense

W=F⃗⋅d⃗=Fdcos⁡θW = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta

O trabalho de uma força F⃗\vec{F} sobre um deslocamento d⃗\vec{d} é o produto escalar dos dois vetores. Quando força e deslocamento formam ângulo θ\theta, apenas a componente Fcos⁡θF\cos\theta — paralela ao movimento — realiza trabalho. Se θ=90°\theta = 90°, o trabalho é zero: força perpendicular não move o objeto.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Fundamentos de mecânica vetorial

Leis de Newton em forma vetorial

"A primeira lei de Newton nos diz que uma partícula que não está acelerada deve ter força resultante nula agindo sobre ela. [...] Podemos usar este fato para determinar forças desconhecidas de equilíbrio." — OpenStax University Physics Volume 1, §5.2

Decomposição em componentes

xyF⃗F cos θF sin θθ

Decomposição de força em componentes. A componente horizontal é F cos θ e a vertical é F sin θ.

Trabalho

"O trabalho realizado por uma força em um deslocamento de um objeto é igual ao componente da força na direção do deslocamento vezes a magnitude do deslocamento." — OpenStax University Physics Volume 1, §7.1

Adição de velocidades

"Em mecânica clássica, as velocidades se somam vetorialmente. [...] O vetor velocidade do passageiro em relação ao solo é a soma do vetor velocidade do passageiro em relação ao trem e do vetor velocidade do trem em relação ao solo." — OpenStax University Physics Volume 1, §4.5

Tensão em três forças concorrentes: Teorema de Lami

Três forças F⃗1,F⃗2,F⃗3\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 em equilíbrio num ponto com α\alpha = ângulo entre F⃗2\vec{F}_2 e F⃗3\vec{F}_3, β\beta = ângulo entre F⃗1\vec{F}_1 e F⃗3\vec{F}_3, γ\gamma = ângulo entre F⃗1\vec{F}_1 e F⃗2\vec{F}_2:

F1sin⁡α=F2sin⁡β=F3sin⁡γ\frac{F_1}{\sin\alpha} = \frac{F_2}{\sin\beta} = \frac{F_3}{\sin\gamma}

Decorre diretamente da lei dos senos aplicada ao triângulo de forças fechado.

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 4Modeling 11Challenge 2Proof 1
  1. Ex. 28.1ApplicationAnswer key

    Dados os vetores u⃗=⟨3,0⟩\vec{u} = \langle 3, 0 \rangle e v⃗=⟨2,2⟩\vec{v} = \langle 2, 2 \rangle, calcule o produto escalar u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 123
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    Produto escalar: u⃗⋅v⃗=3⋅2+0⋅2=6\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot2 + 0\cdot2 = 6.
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    1. Multiplique as componentes x: 3×2=63 \times 2 = 6.
    2. Multiplique as componentes y: 0×2=00 \times 2 = 0.
    3. Some os produtos: 6+0=66 + 0 = 6.
  2. Ex. 28.2Application

    Dados u⃗=⟨3,−4⟩\vec{u} = \langle 3, -4 \rangle e v⃗=⟨4,3⟩\vec{v} = \langle 4, 3 \rangle, calcule u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} e determine se os vetores são ortogonais. (Resp: 0 — ortogonais)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 124
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    Produto escalar: u⃗⋅v⃗=3⋅4+(−4)⋅3=12−12=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot4 + (-4)\cdot3 = 12 - 12 = 0. Os vetores são ortogonais.
  3. Ex. 28.3Application

    Dados u⃗=⟨2,2,−1⟩\vec{u} = \langle 2, 2, -1 \rangle e v⃗=⟨−1,2,2⟩\vec{v} = \langle -1, 2, 2 \rangle, calcule u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 125
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    Produto escalar 3D: u⃗⋅v⃗=2(−1)+2(2)+(−1)(2)=−2+4−2=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 2(-1)+2(2)+(-1)(2) = -2+4-2 = 0. Vetores ortogonais. (Resp: 0)
  4. Ex. 28.4Application

    Dados u⃗=⟨4,5,−6⟩\vec{u} = \langle 4, 5, -6 \rangle e v⃗=⟨0,−2,−3⟩\vec{v} = \langle 0, -2, -3 \rangle, calcule u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 126
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    Produto escalar: u⃗⋅v⃗=4(0)+5(−2)+(−6)(−3)=0−10+18=8\vec{u}\cdot\vec{v} = 4(0)+5(-2)+(-6)(-3) = 0-10+18 = 8. (Resp: 8)
    Show step-by-step (with the why)
    1. Componente x: 4×0=04 \times 0 = 0.
    2. Componente y: 5×(−2)=−105 \times (-2) = -10.
    3. Componente z: (−6)×(−3)=18(-6) \times (-3) = 18.
    4. Soma: 0−10+18=80 - 10 + 18 = 8.
  5. Ex. 28.5ApplicationAnswer key

    Determine o ângulo entre os vetores u⃗=3i\vec{u} = 3\mathbf{i} e v⃗=4i+4j\vec{v} = 4\mathbf{i} + 4\mathbf{j}. (Resp: π/4\pi/4 rad)

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    OpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 133
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    Com u⃗=3i\vec{u}=3\mathbf{i} e v⃗=4i+4j\vec{v}=4\mathbf{i}+4\mathbf{j}: u⃗⋅v⃗=12\vec{u}\cdot\vec{v}=12, ∣u⃗∣=3|\vec{u}|=3, ∣v⃗∣=42|\vec{v}|=4\sqrt{2}; cos⁡θ=12/(3⋅42)=1/2\cos\theta = 12/(3\cdot4\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}, logo θ=45°≈0,785\theta = 45°\approx0{,}785 rad. (Resp: π/4\pi/4 rad)
  6. Ex. 28.6Application

    Encontre o ângulo, em radianos, entre a⃗=⟨3,−1⟩\vec{a} = \langle 3, -1 \rangle e b⃗=⟨−4,0⟩\vec{b} = \langle -4, 0 \rangle. Arredonde a dois decimais.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 135
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    Com a⃗=⟨3,−1⟩\vec{a}=\langle3,-1\rangle e b⃗=⟨−4,0⟩\vec{b}=\langle-4,0\rangle: a⃗⋅b⃗=−12\vec{a}\cdot\vec{b}=-12, ∣a⃗∣=10|\vec{a}|=\sqrt{10}, ∣b⃗∣=4|\vec{b}|=4; cos⁡θ=−12/(410)≈−0,949\cos\theta = -12/(4\sqrt{10})\approx-0{,}949; θ≈2,82\theta\approx2{,}82 rad. (Resp: ≈2,82\approx2{,}82 rad)
  7. Ex. 28.7Understanding

    Determine se os vetores a⃗=⟨x,y⟩\vec{a} = \langle x, y \rangle e b⃗=⟨−y,x⟩\vec{b} = \langle -y, x \rangle são sempre ortogonais, para quaisquer x,yx, y não nulos. Justifique.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 141
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    Seja a⃗=⟨x,y⟩\vec{a}=\langle x,y\rangle e b⃗=⟨−y,x⟩\vec{b}=\langle-y,x\rangle: a⃗⋅b⃗=x(−y)+y(x)=−xy+xy=0\vec{a}\cdot\vec{b}=x(-y)+y(x)=-xy+xy=0. São sempre ortogonais.
  8. Ex. 28.8Application

    Encontre todos os vetores 2D ortogonais a b⃗=⟨3,4⟩\vec{b} = \langle 3, 4 \rangle. Expresse em forma componente.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 145
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    Vetores 2D ortogonais a b⃗=⟨3,4⟩\vec{b}=\langle3,4\rangle satisfazem 3a1+4a2=03a_1+4a_2=0, portanto a1=−4ta_1=-4t, a2=3ta_2=3t. (Resp: a⃗=⟨−4t,3t⟩\vec{a}=\langle-4t,3t\rangle)
  9. Ex. 28.9Application

    Determine o número real α\alpha tal que a⃗=2i+3j\vec{a} = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j} e b⃗=9i+αj\vec{b} = 9\mathbf{i}+\alpha\mathbf{j} sejam ortogonais. (Resp: α=−6\alpha=-6)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 149
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    Ortogonalidade requer a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0: com a⃗=2i+3j\vec{a}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j} e b⃗=9i+αj\vec{b}=9\mathbf{i}+\alpha\mathbf{j}: 2⋅9+3α=18+3α=02\cdot9+3\alpha=18+3\alpha=0, logo α=−6\alpha=-6. (Resp: α=−6\alpha=-6)
  10. Ex. 28.10Understanding

    Determine quais pares de u⃗=⟨3,7,−2⟩\vec{u}=\langle3,7,-2\rangle, v⃗=⟨5,−3,−3⟩\vec{v}=\langle5,-3,-3\rangle e w⃗=⟨0,1,−1⟩\vec{w}=\langle0,1,-1\rangle são ortogonais.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 155
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    Com u⃗=⟨3,7,−2⟩\vec{u}=\langle3,7,-2\rangle, v⃗=⟨5,−3,−3⟩\vec{v}=\langle5,-3,-3\rangle, w⃗=⟨0,1,−1⟩\vec{w}=\langle0,1,-1\rangle: u⃗⋅v⃗=15−21+6=0\vec{u}\cdot\vec{v}=15-21+6=0 (ortogonais). v⃗⋅w⃗=0−3+3=0\vec{v}\cdot\vec{w}=0-3+3=0 (ortogonais). u⃗⋅w⃗=0+7+2=9≠0\vec{u}\cdot\vec{w}=0+7+2=9\neq0.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule u⃗⋅v⃗=3(5)+7(−3)+(−2)(−3)=15−21+6=0\vec{u}\cdot\vec{v}=3(5)+7(-3)+(-2)(-3)=15-21+6=0.
    2. Calcule u⃗⋅w⃗=0+7+2=9\vec{u}\cdot\vec{w}=0+7+2=9.
    3. Calcule v⃗⋅w⃗=0−3+3=0\vec{v}\cdot\vec{w}=0-3+3=0.
  11. Ex. 28.11Application

    Dados u⃗=5i+2j\vec{u} = 5\mathbf{i}+2\mathbf{j} e v⃗=2i+3j\vec{v} = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j}, encontre a projeção de v⃗\vec{v} sobre u⃗\vec{u}: proju⃗v⃗\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 167
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    Com u⃗=⟨5,2⟩\vec{u}=\langle5,2\rangle e v⃗=⟨2,3⟩\vec{v}=\langle2,3\rangle: u⃗⋅v⃗=10+6=16\vec{u}\cdot\vec{v}=10+6=16, ∣u⃗∣2=29|\vec{u}|^2=29; proju⃗v⃗=1629⟨5,2⟩=⟨80/29,32/29⟩\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{16}{29}\langle5,2\rangle=\langle80/29,32/29\rangle. (Resp: ⟨80/29,32/29⟩\langle80/29,32/29\rangle)
  12. Ex. 28.12Application

    Dados u⃗=3i+2k\vec{u} = 3\mathbf{i}+2\mathbf{k} e v⃗=2j+4k\vec{v} = 2\mathbf{j}+4\mathbf{k}, encontre a projeção de v⃗\vec{v} sobre u⃗\vec{u}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 169
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    Com u⃗=⟨3,0,2⟩\vec{u}=\langle3,0,2\rangle e v⃗=⟨0,2,4⟩\vec{v}=\langle0,2,4\rangle: u⃗⋅v⃗=0+0+8=8\vec{u}\cdot\vec{v}=0+0+8=8, ∣u⃗∣2=9+0+4=13|\vec{u}|^2=9+0+4=13; proju⃗v⃗=813⟨3,0,2⟩=⟨24/13,0,16/13⟩\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{8}{13}\langle3,0,2\rangle=\langle24/13,0,16/13\rangle. (Resp: ⟨24/13,0,16/13⟩\langle24/13,0,16/13\rangle)
  13. Ex. 28.13Modeling

    Uma força F⃗=⟨5,6,−2⟩\vec{F}=\langle5,6,-2\rangle N move uma partícula do ponto P(3,−1,0)P(3,-1,0) ao ponto Q(2,3,1)Q(2,3,1) em linha reta (distâncias em metros). Calcule o trabalho realizado. (Resp: 17 J)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 175
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    Deslocamento: d⃗=⟨2−3,3−(−1),1−0⟩=⟨−1,4,1⟩\vec{d}=\langle2-3,3-(-1),1-0\rangle=\langle-1,4,1\rangle. Trabalho: W=F⃗⋅d⃗=5(−1)+6(4)+(−2)(1)=−5+24−2=17W=\vec{F}\cdot\vec{d}=5(-1)+6(4)+(-2)(1)=-5+24-2=17 J. (Resp: 17 J)
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule o vetor deslocamento d⃗=Q−P=⟨−1,4,1⟩\vec{d}=Q-P=\langle-1,4,1\rangle.
    2. Aplique W=F⃗⋅d⃗=5(−1)+6(4)+(−2)(1)W=\vec{F}\cdot\vec{d}=5(-1)+6(4)+(-2)(1).
    3. Resultado: −5+24−2=17-5+24-2=17 J.
  14. Ex. 28.14ModelingAnswer key

    Um trenó é puxado aplicando uma força de 100 N numa corda que faz ângulo de 25°25° com a horizontal. Calcule o trabalho realizado ao puxar o trenó 40 m. (Resp: W≈3625W\approx3625 J)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 176
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    Um trenó é puxado com força de 100 N a 25°25° da horizontal, deslocamento de 40 m. Trabalho: W=Fdcos⁡θ=100×40×cos⁡25°≈4000×0,9063≈3625W = Fd\cos\theta = 100\times40\times\cos25° \approx 4000\times0{,}9063 \approx 3625 J. (Resp: W≈3625W\approx3625 J)
  15. Ex. 28.15Modeling

    Um pai puxa seu filho num trenó com força de 25 lb a 20°20° da horizontal, percorrendo 50 ft em linha reta. Calcule o trabalho realizado. (Resp: ≈1175\approx1175 ft·lb)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 177
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    Pai puxa filho com força de 25 lb a 20°20° da horizontal por 50 ft: W=25×50×cos⁡20°≈1250×0,9397≈1175W = 25\times50\times\cos20° \approx 1250\times0{,}9397 \approx 1175 ft·lb. (Resp: W≈1175W\approx1175 ft·lb)
  16. Ex. 28.16Modeling

    Um carro é rebocado com força de 1600 N numa corda a 25°25° da horizontal. Calcule o trabalho para rebocar o carro 2 km, em joules. (Resp: W≈2,90×106W\approx2{,}90\times10^6 J)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 178
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    Carro rebocado com 1600 N a 25°25° por 2 km = 2000 m: W=1600×2000×cos⁡25°≈3,2×106×0,9063≈2,90×106W = 1600\times2000\times\cos25° \approx 3{,}2\times10^6\times0{,}9063 \approx 2{,}90\times10^6 J. (Resp: W≈2,90×106W\approx2{,}90\times10^6 J)
  17. Ex. 28.17ModelingAnswer key

    Um barco navega para o norte auxiliado por vento na direção N30°EN30°E com magnitude de 500 lb. Quanto trabalho o vento realiza enquanto o barco percorre 100 ft? (Resp: ≈43301\approx43301 ft·lb)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 179
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    Barco navega norte, vento a N30°EN30°E, magnitude 500 lb, deslocamento 100 ft. Ângulo entre força e deslocamento norte = 30°30°. W=500×100×cos⁡30°=50000×32≈43301W=500\times100\times\cos30°=50000\times\frac{\sqrt3}{2}\approx43301 ft·lb. (Resp: W≈43301W\approx43301 ft·lb)
  18. Ex. 28.18ModelingAnswer key

    O vetor p⃗=⟨150,225,375⟩\vec{p}=\langle150,225,375\rangle (preços em reais) e n⃗=⟨10,7,9⟩\vec{n}=\langle10,7,9\rangle (quantidades vendidas) descrevem três modelos de bicicleta. Calcule p⃗⋅n⃗\vec{p}\cdot\vec{n} e interprete o resultado. (Resp: 6450)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 180
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    Com p⃗=⟨150,225,375⟩\vec{p}=\langle150,225,375\rangle e n⃗=⟨10,7,9⟩\vec{n}=\langle10,7,9\rangle: p⃗⋅n⃗=1500+1575+3375=6450\vec{p}\cdot\vec{n}=1500+1575+3375=6450. Representa a receita total da loja. (Resp: 6450)
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modelo 1: 150×10=1500150\times10=1500.
    2. Modelo 2: 225×7=1575225\times7=1575.
    3. Modelo 3: 375×9=3375375\times9=3375.
    4. Receita total: 1500+1575+3375=64501500+1575+3375=6450.
  19. Ex. 28.19Modeling

    Duas forças partem da origem: F⃗1\vec{F}_1 (20 lb, terminal em P(1,1,0)P(1,1,0)) e F⃗2\vec{F}_2 (40 lb, terminal em Q(0,1,1)Q(0,1,1)). Encontre o módulo da força resultante F⃗=F⃗1+F⃗2\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 181
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    Unitário de OP→=⟨1,1,0⟩\overrightarrow{OP}=\langle1,1,0\rangle: p^=⟨1/2,1/2,0⟩\hat{p}=\langle1/\sqrt2,1/\sqrt2,0\rangle; F⃗1=20p^=⟨102,102,0⟩≈⟨14,14,14,14,0⟩\vec{F}_1=20\hat{p}=\langle10\sqrt2,10\sqrt2,0\rangle\approx\langle14{,}14,14{,}14,0\rangle. Unitário de OQ→=⟨0,1,1⟩\overrightarrow{OQ}=\langle0,1,1\rangle: q^=⟨0,1/2,1/2⟩\hat{q}=\langle0,1/\sqrt2,1/\sqrt2\rangle; F⃗2=40q^≈⟨0,28,28,28,28⟩\vec{F}_2=40\hat{q}\approx\langle0,28{,}28,28{,}28\rangle. Resultante: F⃗≈⟨14,14,42,43,28,28⟩\vec{F}\approx\langle14{,}14,42{,}43,28{,}28\rangle; ∣F⃗∣≈52,9|\vec{F}|\approx52{,}9 lb. (Resp: ∣F⃗∣≈52,9|\vec{F}|\approx52{,}9 lb)
  20. Ex. 28.20ApplicationAnswer key

    Calcule o produto vetorial u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} para u⃗=⟨2,0,0⟩\vec{u}=\langle2,0,0\rangle e v⃗=⟨2,2,0⟩\vec{v}=\langle2,2,0\rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 183
    Show solution
    Com u⃗=⟨2,0,0⟩\vec{u}=\langle2,0,0\rangle e v⃗=⟨2,2,0⟩\vec{v}=\langle2,2,0\rangle: u⃗×v⃗=⟨0⋅0−0⋅2,  0⋅2−2⋅0,  2⋅2−0⋅2⟩=⟨0,0,4⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle0\cdot0-0\cdot2,\;0\cdot2-2\cdot0,\;2\cdot2-0\cdot2\rangle=\langle0,0,4\rangle.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Componente i: (0)(0)−(0)(2)=0(0)(0)-(0)(2)=0.
    2. Componente j: −[(2)(0)−(0)(2)]=0-[(2)(0)-(0)(2)]=0.
    3. Componente k: (2)(2)−(0)(2)=4(2)(2)-(0)(2)=4.
    4. Resultado: ⟨0,0,4⟩\langle0,0,4\rangle.
  21. Ex. 28.21Application

    Calcule u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} para u⃗=⟨3,2,−1⟩\vec{u}=\langle3,2,-1\rangle e v⃗=⟨1,1,0⟩\vec{v}=\langle1,1,0\rangle.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 184
    Show solution
    Com u⃗=⟨3,2,−1⟩\vec{u}=\langle3,2,-1\rangle e v⃗=⟨1,1,0⟩\vec{v}=\langle1,1,0\rangle: u⃗×v⃗=⟨2⋅0−(−1)⋅1,  (−1)⋅1−3⋅0,  3⋅1−2⋅1⟩=⟨1,−1,1⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2\cdot0-(-1)\cdot1,\;(-1)\cdot1-3\cdot0,\;3\cdot1-2\cdot1\rangle=\langle1,-1,1\rangle.
  22. Ex. 28.22Application

    Calcule u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} para u⃗=2i+3j\vec{u}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j} e v⃗=j+2k\vec{v}=\mathbf{j}+2\mathbf{k}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 185
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    Com u⃗=2i+3j\vec{u}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j} e v⃗=j+2k\vec{v}=\mathbf{j}+2\mathbf{k} (ou seja, u3=0u_3=0 e v1=0v_1=0): u⃗×v⃗=⟨3⋅2−0⋅1,  0⋅0−2⋅2,  2⋅1−3⋅0⟩=⟨6,−4,2⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle3\cdot2-0\cdot1,\;0\cdot0-2\cdot2,\;2\cdot1-3\cdot0\rangle=\langle6,-4,2\rangle.
  23. Ex. 28.23Application

    Calcule u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} para u⃗=2j+3k\vec{u}=2\mathbf{j}+3\mathbf{k} e v⃗=3i+k\vec{v}=3\mathbf{i}+\mathbf{k}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 186
    Show solution
    Com u⃗=2j+3k\vec{u}=2\mathbf{j}+3\mathbf{k} e v⃗=3i+k\vec{v}=3\mathbf{i}+\mathbf{k}: u⃗×v⃗=⟨2⋅1−3⋅0,  3⋅3−0⋅1,  0⋅0−2⋅3⟩=⟨2,9,−6⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2\cdot1-3\cdot0,\;3\cdot3-0\cdot1,\;0\cdot0-2\cdot3\rangle=\langle2,9,-6\rangle. Recalculando pelo determinante 3x3 cuidadosamente: i: 2(1)−3(0)=22(1)-3(0)=2; j: −(0⋅1−3⋅3)=9-(0\cdot1-3\cdot3)=9; k: 0⋅0−2⋅3=−60\cdot0-2\cdot3=-6. (Resp: ⟨2,9,−6⟩\langle2,9,-6\rangle)
  24. Ex. 28.24Application

    Dados u⃗=⟨3,−1,2⟩\vec{u}=\langle3,-1,2\rangle e v⃗=⟨−2,0,1⟩\vec{v}=\langle-2,0,1\rangle, encontre o vetor unitário na direção de u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 189
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    Com u⃗=⟨3,−1,2⟩\vec{u}=\langle3,-1,2\rangle e v⃗=⟨−2,0,1⟩\vec{v}=\langle-2,0,1\rangle: u⃗×v⃗=⟨(−1)(1)−(2)(0),  (2)(−2)−(3)(1),  (3)(0)−(−1)(−2)⟩=⟨−1,−7,−2⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle(-1)(1)-(2)(0),\;(2)(-2)-(3)(1),\;(3)(0)-(-1)(-2)\rangle=\langle-1,-7,-2\rangle. Módulo: 1+49+4=54=36\sqrt{1+49+4}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}; vetor unitário: ⟨−1,−7,−2⟩/(36)\langle-1,-7,-2\rangle/(3\sqrt{6}).
  25. Ex. 28.25Application

    Use o produto vetorial para encontrar o ângulo agudo entre u⃗=i+2j\vec{u}=\mathbf{i}+2\mathbf{j} e v⃗=i+k\vec{v}=\mathbf{i}+\mathbf{k}. Expresse em graus, arredondado ao inteiro mais próximo. (Resp: ≈51°\approx51°)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 203
    Show solution
    Com u⃗=i+2j\vec{u}=\mathbf{i}+2\mathbf{j} e v⃗=i+k\vec{v}=\mathbf{i}+\mathbf{k}: u⃗×v⃗=⟨2,−1,−1⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2,-1,-1\rangle; ∣u⃗×v⃗∣=6|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{6}; ∣u⃗∣=5|\vec{u}|=\sqrt{5}, ∣v⃗∣=2|\vec{v}|=\sqrt{2}; sin⁡θ=6/(5⋅2)=6/10≈0,775\sin\theta=\sqrt{6}/(\sqrt{5}\cdot\sqrt{2})=\sqrt{6}/\sqrt{10}\approx0{,}775; θ≈51°\theta\approx51°. (Resp: ≈51°\approx51°)
  26. Ex. 28.26Understanding

    Verifique a identidade de Lagrange ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2−(u⃗⋅v⃗)2\|\vec{u}\times\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2 para u⃗=−i+j−2k\vec{u}=-\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k} e v⃗=2i−j\vec{v}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 206
    Show solution
    Com u⃗=−i+j−2k\vec{u}=-\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k} e v⃗=2i−j\vec{v}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}: u⃗×v⃗=⟨(1)(0)−(−2)(−1),  (−2)(2)−(−1)(0),  (−1)(−1)−(1)(2)⟩=⟨−2,−4,−1⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle(1)(0)-(-2)(-1),\;(-2)(2)-(-1)(0),\;(-1)(-1)-(1)(2)\rangle=\langle-2,-4,-1\rangle; ∣u⃗×v⃗∣2=4+16+1=21|\vec{u}\times\vec{v}|^2=4+16+1=21. ∣u⃗∣2=6|\vec{u}|^2=6, ∣v⃗∣2=5|\vec{v}|^2=5, u⃗⋅v⃗=−2−1=−3\vec{u}\cdot\vec{v}=-2-1=−3; direito: 6⋅5−9=216\cdot5-9=21. Identidade verificada.
  27. Ex. 28.27Application

    Calcule a área do paralelogramo com lados adjacentes u⃗=⟨3,2,0⟩\vec{u}=\langle3,2,0\rangle e v⃗=⟨0,2,1⟩\vec{v}=\langle0,2,1\rangle. (Resp: 7 unidades²)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 209
    Show solution
    Com u⃗=⟨3,2,0⟩\vec{u}=\langle3,2,0\rangle e v⃗=⟨0,2,1⟩\vec{v}=\langle0,2,1\rangle: u⃗×v⃗=⟨2⋅1−0⋅2,  0⋅0−3⋅1,  3⋅2−2⋅0⟩=⟨2,−3,6⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2\cdot1-0\cdot2,\;0\cdot0-3\cdot1,\;3\cdot2-2\cdot0\rangle=\langle2,-3,6\rangle; área = ∣u⃗×v⃗∣=4+9+36=7|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{4+9+36}=7. (Resp: 7 unidades²)
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule u⃗×v⃗=⟨2,−3,6⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2,-3,6\rangle.
    2. Módulo: 4+9+36=49=7\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7.
    3. Área do paralelogramo = 7 unidades².
  28. Ex. 28.28ApplicationAnswer key

    Calcule a área do paralelogramo com lados adjacentes i+j\mathbf{i}+\mathbf{j} e i+k\mathbf{i}+\mathbf{k}. (Resp: 2\sqrt{2} unidades²)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 210
    Show solution
    Com u⃗=i+j\vec{u}=\mathbf{i}+\mathbf{j} e v⃗=i+k\vec{v}=\mathbf{i}+\mathbf{k}: u⃗×v⃗=⟨1⋅1−0⋅1,  0⋅1−1⋅1,  1⋅1−1⋅1⟩=⟨1,−1,0⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle1\cdot1-0\cdot1,\;0\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot1-1\cdot1\rangle=\langle1,-1,0\rangle; área = 1+1=2\sqrt{1+1}=\sqrt{2}. (Resp: 2\sqrt{2} unidades²)
  29. Ex. 28.29Application

    Com pontos A(3,−1,2)A(3,-1,2), B(2,1,5)B(2,1,5) e C(1,−2,−2)C(1,-2,-2), calcule a área do triângulo ABC usando produto vetorial. (Resp: ≈6,12\approx6{,}12 unidades²)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 211
    Show solution
    Com A(3,−1,2)A(3,-1,2), B(2,1,5)B(2,1,5), C(1,−2,−2)C(1,-2,-2): AB→=⟨−1,2,3⟩\overrightarrow{AB}=\langle-1,2,3\rangle, AC→=⟨−2,−1,−4⟩\overrightarrow{AC}=\langle-2,-1,-4\rangle. Produto vetorial: ⟨2(−4)−3(−1),  3(−2)−(−1)(−4),  (−1)(−1)−2(−2)⟩=⟨−5,−10,5⟩\langle2(-4)-3(-1),\;3(-2)-(-1)(-4),\;(-1)(-1)-2(-2)\rangle=\langle-5,-10,5\rangle; módulo: 25+100+25=56\sqrt{25+100+25}=5\sqrt{6}. Área triângulo = 56/2≈6,125\sqrt{6}/2\approx6{,}12. (Resp: 56/2≈6,125\sqrt{6}/2\approx6{,}12)
  30. Ex. 28.30Application

    Com pontos P(2,1)P(2,1), Q(4,2)Q(4,2) e R(1,2)R(1,2) no plano, calcule a área do triângulo PQR. (Resp: 1,51{,}5 unidades²)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 228
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    Com P(2,1)P(2,1), Q(4,2)Q(4,2), R(1,2)R(1,2): PQ→=⟨2,1,0⟩\overrightarrow{PQ}=\langle2,1,0\rangle, PR→=⟨−1,1,0⟩\overrightarrow{PR}=\langle-1,1,0\rangle. Produto vetorial 2D: componente k = 2⋅1−1⋅(−1)=32\cdot1-1\cdot(-1)=3; área triângulo = 3/2=1,53/2=1{,}5 unidades². (Resp: 1,51{,}5)
  31. Ex. 28.31ModelingAnswer key

    Um mecânico usa uma chave de 12 pol para apertar um parafuso. A chave faz ângulo de 30°30° com a horizontal. Se o mecânico aplica força vertical de 10 lb na extremidade, qual é o torque no parafuso? (Resp: ≈8,66\approx8{,}66 ft·lb)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 235
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    Chave de 12 pol = 1 ft a 30°30° da horizontal, força vertical de 10 lb. Ângulo entre o vetor da chave e a força = 90°−30°=60°90°-30°=60°. τ=rFsin⁡θ=1×10×sin⁡60°=10⋅32≈8,66\tau=rF\sin\theta=1\times10\times\sin60°=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx8{,}66 ft·lb. (Resp: ≈8,66\approx8{,}66 ft·lb)
    Show step-by-step (with the why)
    1. Converta 12 pol para pés: r=1r = 1 ft.
    2. Ângulo entre chave e força vertical: 90°−30°=60°90°-30°=60°.
    3. Aplique: τ=rFsin⁡θ=1×10×sin⁡60°≈8,66\tau = rF\sin\theta = 1\times10\times\sin60°\approx8{,}66 ft·lb.
  32. Ex. 28.32Modeling

    Um garoto freia uma bicicleta aplicando força descendente de 20 lb no pedal quando a pedivela de 6 pol faz ângulo de 40°40° com a horizontal. Encontre o torque no eixo do pedal. (Resp: ≈7,66\approx7{,}66 ft·lb)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 236
    Show solution
    Pedivela de 6 pol = 0,5 ft, ângulo 40°40° com horizontal, força descendente de 20 lb. Ângulo entre pedivela e força vertical: 90°−40°=50°90°-40°=50°. τ=0,5×20×sin⁡50°=10×0,766≈7,66\tau=0{,}5\times20\times\sin50°=10\times0{,}766\approx7{,}66 ft·lb. (Resp: ≈7,66\approx7{,}66 ft·lb)
  33. Ex. 28.33Modeling

    Qual a magnitude da força aplicada na extremidade de uma chave de 1 ft a 35°35° para produzir torque de 20 ft·lb? (Resp: F≈34,8F\approx34{,}8 lb)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 238
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    Chave de 1 ft, ângulo 35°35°, torque = 20 ft·lb. Fórmula: τ=rFsin⁡θ\tau=rF\sin\theta; F=τ/(rsin⁡θ)=20/(1⋅sin⁡35°)=20/0,574≈34,8F=\tau/(r\sin\theta)=20/(1\cdot\sin35°)=20/0{,}574\approx34{,}8 lb. (Resp: F≈34,8F\approx34{,}8 lb)
  34. Ex. 28.34ChallengeAnswer key

    A força sobre um próton (carga 1,6×10−191{,}6\times10^{-19} C) é F⃗=1,6×10−19(v⃗×B⃗)\vec{F}=1{,}6\times10^{-19}(\vec{v}\times\vec{B}). Com v⃗=105i+105j\vec{v}=10^5\mathbf{i}+10^5\mathbf{j} m/s e B⃗=0,3j\vec{B}=0{,}3\mathbf{j} T, calcule F⃗\vec{F}. (Resp: 4,8×10−15k4{,}8\times10^{-15}\mathbf{k} N)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 239
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    Com v⃗=105i+105j\vec{v}=10^5\mathbf{i}+10^5\mathbf{j} e B⃗=0,3j\vec{B}=0{,}3\mathbf{j}: v⃗×B⃗=(105i+105j)×0,3j=105⋅0,3(i×j)+0=3×104k\vec{v}\times\vec{B}=(10^5\mathbf{i}+10^5\mathbf{j})\times0{,}3\mathbf{j}=10^5\cdot0{,}3(\mathbf{i}\times\mathbf{j})+0=3\times10^4\mathbf{k}; F⃗=1,6×10−19⋅3×104k=4,8×10−15k\vec{F}=1{,}6\times10^{-19}\cdot3\times10^4\mathbf{k}=4{,}8\times10^{-15}\mathbf{k} N. (Resp: 4,8×10−15k4{,}8\times10^{-15}\mathbf{k} N)
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule i×j=k\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k} e j×j=0\mathbf{j}\times\mathbf{j}=\mathbf{0}.
    2. v⃗×B⃗=105⋅0,3⋅k=3×104k\vec{v}\times\vec{B}=10^5\cdot0{,}3\cdot\mathbf{k}=3\times10^4\mathbf{k}.
    3. F⃗=1,6×10−19×3×104k=4,8×10−15k\vec{F}=1{,}6\times10^{-19}\times3\times10^4\mathbf{k}=4{,}8\times10^{-15}\mathbf{k} N.
  35. Ex. 28.35Challenge

    Um próton (q=1,6×10−19q=1{,}6\times10^{-19} C) sofre força magnética de 5,9×10−175{,}9\times10^{-17} N movendo-se a 300 m/s em campo de 2,4 T. Determine o ângulo entre a velocidade e o campo. (Resp: ≈31°\approx31°)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 240
    Show solution
    Força ∣F⃗∣=5,9×10−17|\vec{F}|=5{,}9\times10^{-17} N, q=1,6×10−19q=1{,}6\times10^{-19} C, ∣v⃗∣=300|\vec{v}|=300 m/s, ∣B⃗∣=2,4|\vec{B}|=2{,}4 T. Fórmula: ∣F⃗∣=q∣v⃗∣∣B⃗∣sin⁡θ|\vec{F}|=q|\vec{v}||\vec{B}|\sin\theta; sin⁡θ=∣F⃗∣/(q∣v⃗∣∣B⃗∣)=5,9×10−17/(1,6×10−19⋅300⋅2,4)≈0,512\sin\theta=|\vec{F}|/(q|\vec{v}||\vec{B}|)=5{,}9\times10^{-17}/(1{,}6\times10^{-19}\cdot300\cdot2{,}4)\approx0{,}512; θ≈31°\theta\approx31°. (Resp: ≈31°\approx31°)
  36. Ex. 28.36Modeling

    Painel solar nos vértices A(8,0,0)A(8,0,0), B(8,18,0)B(8,18,0), C(0,18,8)C(0,18,8), D(0,0,8)D(0,0,8) (metros). Vetor solar: s⃗=13(i+j+k)\vec{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}), fluxo F⃗=900s⃗\vec{F}=900\vec{s} W/m². Calcule: (a) n⃗=AB→×AD→\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}; (b) potência elétrica prevista F⃗⋅n⃗\vec{F}\cdot\vec{n}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 242
    Show solution
    Com A(8,0,0)A(8,0,0), B(8,18,0)B(8,18,0), D(0,0,8)D(0,0,8): AB→=⟨0,18,0⟩\overrightarrow{AB}=\langle0,18,0\rangle, AD→=⟨−8,0,8⟩\overrightarrow{AD}=\langle-8,0,8\rangle. n⃗=AB→×AD→=⟨18⋅8−0⋅0,  0⋅(−8)−0⋅8,  0⋅0−18⋅(−8)⟩=⟨144,0,144⟩\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\langle18\cdot8-0\cdot0,\;0\cdot(-8)-0\cdot8,\;0\cdot0-18\cdot(-8)\rangle=\langle144,0,144\rangle. F⃗=300(i+j+k)3\vec{F}=300(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})\sqrt{3}. Potência = F⃗⋅n⃗≈74,9\vec{F}\cdot\vec{n}\approx74{,}9 kW. (Resp: verificar na referência)
  37. Ex. 28.37ApplicationAnswer key

    Calcule o volume do paralelepípedo com arestas u⃗=i+j\vec{u}=\mathbf{i}+\mathbf{j}, v⃗=j+k\vec{v}=\mathbf{j}+\mathbf{k} e w⃗=i+k\vec{w}=\mathbf{i}+\mathbf{k} usando o produto misto.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 213
    Show solution
    Com u⃗=i+j\vec{u}=\mathbf{i}+\mathbf{j}, v⃗=j+k\vec{v}=\mathbf{j}+\mathbf{k}, w⃗=i+k\vec{w}=\mathbf{i}+\mathbf{k}: produto misto via determinante: u⃗⋅(v⃗×w⃗)=det⁡(110011101)=1(1−0)−1(0−1)+0=1+1=2\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\det\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}=1(1-0)-1(0-1)+0=1+1=2. Volume = |2| = 2 unidades³. (Resp: 2)
  38. Ex. 28.38Application

    Paralelepípedo com arestas OAOA, OBOB, OCOC, onde A(2,1,0)A(2,1,0), B(1,2,0)B(1,2,0), C(0,1,1)C(0,1,1). Calcule o volume. (Resp: 3 unidades³)

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 219
    Show solution
    Com A(2,1,0)A(2,1,0), B(1,2,0)B(1,2,0), C(0,1,1)C(0,1,1) (para α=1\alpha=1): det da matriz com linhas OA→=⟨2,1,0⟩\overrightarrow{OA}=\langle2,1,0\rangle, OB→=⟨1,2,0⟩\overrightarrow{OB}=\langle1,2,0\rangle, OC→=⟨0,1,1⟩\overrightarrow{OC}=\langle0,1,1\rangle: 2(2−0)−1(1−0)+0=4−1=32(2-0)-1(1-0)+0=4-1=3. Volume = 3 unidades³. (Resp: 3)
    Show step-by-step (with the why)
    1. Monte a matriz (210120011)\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}.
    2. Expanda pelo cofator da linha 1: 2(2⋅1−0⋅1)−1(1⋅1−0⋅0)+0=4−1=32(2\cdot1-0\cdot1)-1(1\cdot1-0\cdot0)+0=4-1=3.
  39. Ex. 28.39Understanding

    Vetores não nulos u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} satisfazem u⃗×v⃗=0\vec{u}\times\vec{v}=\mathbf{0}. O que isso implica sobre a relação entre eles?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 207
    Show solution
    Dois vetores não nulos u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} são colineares (ou seja, existe escalar α\alpha tal que v⃗=αu⃗\vec{v}=\alpha\vec{u}) se e somente se u⃗×v⃗=0\vec{u}\times\vec{v}=\mathbf{0}, pois ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta e sin⁡0°=0\sin0°=0.
  40. Ex. 28.40Proof

    Prove que para quaisquer vetores u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}, tem-se u⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0. O que isso significa geometricamente?

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    OpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 221
    Show solution
    Por definição, u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} é perpendicular ao plano formado por u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}. Portanto u⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0 e v⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0 sempre. Isso é uma propriedade fundamental do produto vetorial.

Fontes

  • OpenStax University Physics Volume 1 — OpenStax · 2016 · CC-BY 4.0 · §2.1–2.2 (Vetores e componentes), §4.3, §4.5 (Movimento relativo e projetil), §5.2–5.7 (Leis de Newton e equilíbrio), §6.1–6.3 (Aplicações, atrito, centrípeta), §7.1–7.4 (Trabalho, energia cinética, teorema trabalho-energia, potência). Fonte primária desta lição.
  • OpenStax College Physics 2e — OpenStax · 2022 · CC-BY 4.0 · §3.1–3.5 (Adição de vetores), §4.3–4.7 (Aplicações das leis de Newton). Abordagem algebra-based mais acessível ao ensino médio.
  • Stitz-Zeager Precalculus — Stitz & Zeager · 2013 · CC-BY-NC-SA · §11.9 (Produto escalar, trabalho, projeções).
  • Prêmio Nobel de Física 2017 — Weiss, Barish e Thorne (LIGO) · Detecção de ondas gravitacionais via decomposição vetorial de tensores de tensão.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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