v1 · padrão canônico

Lesson 29 — Systems of Linear Equations 2×2 and 3×3

Substitution, Gaussian elimination, and Cramer's rule for 2×2 and 3×3 systems. Classification by determinant. Applications in economics, mixture, and networks.

Used in: 1st year HS (15–16 years) · Equiv. Algebra II Japanese · Equiv. Klasse 10 German

x = \frac{D_x}{D} = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}

A Regra de Cramer para o sistema $a_1 x + b_1 y = c_1,\; a_2 x + b_2 y = c_2$ : cada incógnita é a razão de dois determinantes. O denominador $D = a_1 b_2 - a_2 b_1$ é o determinante da matriz dos coeficientes. Se $D \neq 0$ , a solução é única. Se $D = 0$ , o sistema é incompatível ou indeterminado.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Sistema linear — definição

Definition· Sistema de equações lineares

Um sistema linear $m \times n$ é um conjunto de $m$ equações lineares em $n$ incógnitas:

$<Eq>{`a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\cdots + a_{1n}x_n = b_1`}</Eq>, <Eq>{`a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\cdots + a_{2n}x_n = b_2`}</Eq>, <Eq>{`\\vdots`}</Eq>, <Eq>{`a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \\cdots + a_{mn}x_n = b_m`}</Eq>$

Forma matricial compacta: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , com $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ , $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ , $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ .

Classificação do sistema 2×2

Definition· Tipos de solução — caso 2×2

Para $a_1 x + b_1 y = c_1$ , $a_2 x + b_2 y = c_2$ , seja $D = a_1 b_2 - a_2 b_1$ :

Caso	Condição	Geometria	Soluções
Compatível determinado	$D \neq 0$	Retas concorrentes	Exatamente uma
Compatível indeterminado	$D = 0$ e consistente	Retas coincidentes	Infinitas
Incompatível	$D = 0$ e inconsistente	Retas paralelas distintas	Nenhuma

Os três casos para sistema 2×2: ponto de interseção único (determinado), retas sobrepostas (indeterminado), retas paralelas distintas (incompatível).

Métodos de resolução

1. Substituição: isolar uma variável em uma equação e substituir na outra.

2. Eliminação (Gauss): multiplicar equações por escalares e somá-las para anular uma variável. Operações elementares válidas:

Trocar duas equações de posição.
Multiplicar uma equação por escalar $k \neq 0$ .
Somar um múltiplo de uma equação a outra.

3. Regra de Cramer (2×2):

x = \frac{D_x}{D} = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}

what this means · x é o determinante com a coluna dos coeficientes de x substituída pelos termos independentes, dividido pelo determinante dos coeficientes.

válida somente quando $D \neq 0$ .

4. Regra de Cramer (3×3): Para $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ com $A \in \mathbb{R}^{3\times3}$ e $\det A \neq 0$ :

x_i = \frac{\det A_i}{\det A}

what this means · Cada incógnita é a razão entre o determinante da matriz com a coluna correspondente substituída por b, e o determinante de A.

onde $A_i$ é a matriz $A$ com a $i$ -ésima coluna substituída por $\mathbf{b}$ .

Determinante 3×3 — expansão por cofatores

\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})

what this means · Expansão pela primeira linha. Cada elemento multiplica o determinante 2×2 da submatriz que resta ao remover sua linha e coluna.

"Se as equações tiverem a solução única $(x, y)$ , então dizemos que o sistema é consistente e independente, e a solução $(x, y)$ é única." — OpenStax College Algebra 2e, §7.1

"Dois sistemas lineares são chamados de equivalentes se tiverem exatamente o mesmo conjunto de soluções." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, cap. SLE

Exemplos resolvidos

Example— 1· Sistema 2×2 — método da substituição

Problema: Resolva o sistema $x + 2y = 8$ , $3x - y = 3$ .

Estratégia: Isolar $x$ na primeira equação e substituir na segunda, obtendo uma equação em $y$ apenas.

Resolução:

Isolar $x$ na primeira equação: $x = 8 - 2y$ .
Substituir na segunda: $3(8 - 2y) - y = 3 \implies 24 - 6y - y = 3 \implies -7y = -21 \implies y = 3$ .
Calcular $x$ : $x = 8 - 2(3) = 2$ .
Solução: $(x, y) = (2, 3)$ .

Verificação:

Equação 1: $2 + 2(3) = 8$ . Correto.
Equação 2: $3(2) - 3 = 3$ . Correto.

O determinante $D = (1)(-1) - (2)(3) = -7 \neq 0$ confirma que há exatamente uma solução.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §7.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Sistema 2×2 — método da eliminação

Problema: Resolva por eliminação: $3x + 2y = 16$ , $x - 2y = 0$ .

Estratégia: Os coeficientes de $y$ já são opostos ( $+2$ e $-2$ ). Somar diretamente as duas equações elimina $y$ .

Resolução:

Somar as duas equações:

$3x + 2y + x - 2y = 16 + 0 \implies 4x = 16 \implies x = 4.$

Substituir $x = 4$ na segunda equação: $4 - 2y = 0 \implies y = 2$ .
Solução: $(x, y) = (4, 2)$ .

Verificação:

Equação 1: $3(4) + 2(2) = 16$ . Correto.
Equação 2: $4 - 2(2) = 0$ . Correto.

O determinante $D = (3)(-2) - (1)(2) = -8 \neq 0$ confirma solução única.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §7.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 3· Sistema 3×3 — escalonamento gaussiano

Problema: Resolva o sistema $x + y + z = 6$ , $2x - y + z = 3$ , $x + 2y - z = 2$ .

Estratégia: Usar eliminação gaussiana para triangularizar o sistema e depois substituição reversa.

Resolução:

Equações: $E_1: x + y + z = 6$ ; $E_2: 2x - y + z = 3$ ; $E_3: x + 2y - z = 2$ .
$E_2 \leftarrow E_2 - 2E_1$ :

$2x - y + z - 2(x + y + z) = 3 - 12 \implies -3y - z = -9$

$E_3 \leftarrow E_3 - E_1$ :

$x + 2y - z - (x + y + z) = 2 - 6 \implies y - 2z = -4$

Sistema triangularizado:

$<Eq>{`x + y + z = 6`}</Eq>, <Eq>{`-3y - z = -9`}</Eq>, <Eq>{`y - 2z = -4`}</Eq>$

$E_3 \leftarrow E_3 + \tfrac{1}{3}E_2$ :

$y - 2z + \tfrac{1}{3}(-3y - z) = -4 + \tfrac{1}{3}(-9) \implies -\tfrac{7}{3}z = -7 \implies z = 3$

Substituição reversa: $y = (-9 + z)/(-3) = (-9 + 3)/(-3) = 2$ . Então $x = 6 - y - z = 1$ .

Solução: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ .

Verificação: $1+2+3=6$ ✓; $2-2+3=3$ ✓; $1+4-3=2$ ✓.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §7.2 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Sistema 2×2 — Regra de Cramer

Problema: Resolva por Cramer: $4x - 3y = 5$ , $2x + y = 7$ .

Estratégia: Calcular os três determinantes $D$ , $D_x$ e $D_y$ , depois aplicar a fórmula.

Resolução:

Determinante principal:

D = \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (4)(1) - (-3)(2) = 4 + 6 = 10

Como $D = 10 \neq 0$ , o sistema tem solução única.

Determinante $D_x$ (substitui coluna de $x$ pelos termos independentes):

D_x = \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} = (5)(1) - (-3)(7) = 5 + 21 = 26

Determinante $D_y$ (substitui coluna de $y$ pelos termos independentes):

D_y = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18

Soluções:

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{26}{10} = 2{,}6, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{18}{10} = 1{,}8$

Verificação: $4(2{,}6) - 3(1{,}8) = 10{,}4 - 5{,}4 = 5$ ✓; $2(2{,}6) + 1{,}8 = 7$ ✓.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §7.8 — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Aplicação — equilíbrio de oferta e demanda

Problema: Demanda: $Q_d = 50 - 4P$ . Oferta: $Q_s = -10 + 6P$ . Encontre o preço de equilíbrio $P^*$ e a quantidade de equilíbrio $Q^*$ .

Estratégia: No equilíbrio, $Q_d = Q_s$ . Escrever como sistema linear em $Q$ e $P$ , resolver e interpretar economicamente.

Resolução:

Montar o sistema:

$<Eq>{`Q + 4P = 50 \\quad (\\text{demanda})`}</Eq>, <Eq>{`Q - 6P = -10 \\quad (\\text{oferta})`}</Eq>$

Subtrair a segunda da primeira para eliminar $Q$ :

$(Q + 4P) - (Q - 6P) = 50 - (-10) \implies 10P = 60 \implies P^* = 6$

Calcular $Q^*$ :

$Q^* = 50 - 4(6) = 26$

Verificação pela oferta: $Q_s = -10 + 6(6) = 26$ . Correto.

Interpretação: Se $P > 6$ , oferta supera demanda (excesso) e o preço cai. Se $P < 6$ , demanda supera oferta (escassez) e o preço sobe. O ponto $(P^*, Q^*) = (6, 26)$ é o equilíbrio único.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §7.1, exemplo 4 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 4Modeling 12Challenge 3

Fontes

OpenStax — College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · OpenStax · 2021 · CC-BY 4.0 · §7.1, §7.2, §7.8. Fonte primária dos exemplos e exercícios.
A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · GNU FDL · Capítulo SLE. Escalonamento rigoroso e teoremas de existência e unicidade.
Linear Algebra — Jim Hefferon · CC-BY-SA · Cap. 1 Solving Linear Systems. Exercício de circuito elétrico e abordagem por operações de linha.