v1 · padrão canônico

Lesson 30 — Consolidation Trim 3: analytic geometry, conics, vectors, and systems

Integrating workshop for lessons 21-29: general line equation, conics, plane vectors, dot product, physical applications, and linear systems.

Used in: 1.º year of Brazilian HS (age 16) · Equiv. Math II Japanese — plane analytic geometry · Equiv. Grade 10/11 German — Analytische Geometrie

Ax + By + C = 0

A equação geral da reta no plano: objeto algébrico unificador do Trimestre 3. Os coeficientes $A$ e $B$ definem o vetor normal $\vec{n} = (A, B)$ ; a distância de um ponto $(x_0, y_0)$ à reta é $d = |Ax_0 + By_0 + C|/\sqrt{A^2 + B^2}$ . Cônicas, posição relativa de retas e sistemas lineares surgem como casos particulares desta equação.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Síntese formal do Trimestre 3

Geometria analítica plana

Definition· Fórmulas fundamentais

Dados pontos $P_1 = (x_1, y_1)$ e $P_2 = (x_2, y_2)$ no plano $\mathbb{R}^2$ :

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

what this means · Distância euclidiana entre dois pontos — caso plano do teorema de Pitágoras.

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

what this means · Ponto médio do segmento P1P2 — média aritmética coordenada a coordenada.

Ax + By + C = 0, \quad \text{dist}(P_0, r) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

what this means · Equação geral da reta. Vetor normal: n = (A, B). Vetor diretor: d = (−B, A). O sinal de Ax₀ + By₀ + C indica o semiplano em que está o ponto P₀.

"A equação $Ax + By = C$ representa uma reta no plano sempre que $A$ e $B$ não são ambos nulos. Se $B \neq 0$ , podemos resolver para $y$ e obter a forma $y = mx + b$ ; se $B = 0$ , a reta é vertical." — OpenStax College Algebra 2e, §2.2

Definition· Posição relativa de duas retas

Caso	Condição algébrica
Coincidentes	$A_1{:}B_1{:}C_1$ proporcionais a $A_2{:}B_2{:}C_2$
Paralelas distintas	$A_1/A_2 = B_1/B_2 \neq C_1/C_2$
Concorrentes	$A_1 B_2 - A_2 B_1 \neq 0$
Perpendiculares	$m_1 m_2 = -1$ (ou $A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$ )

Cônicas

Definition· As quatro cônicas padrão

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

what this means · Círculo de centro (a, b) e raio r. Caso particular da elipse com excentricidade e = 0.

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0

what this means · Elipse com semieixo maior a (horizontal) e menor b. A distância focal c satisfaz c² = a² − b².

y^2 = 4px

what this means · Parábola com eixo horizontal, foco em (p, 0) e diretriz x = −p. Se p < 0, abre para a esquerda.

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

what this means · Hipérbole com eixo real horizontal. Assíntotas: y = ±(b/a)x. A distância focal c satisfaz c² = a² + b².

A excentricidade $e$ classifica: $e = 0$ (círculo), $0 < e < 1$ (elipse), $e = 1$ (parábola), $e > 1$ (hipérbole).

Vetores no plano

Definition· Produto escalar e projeção

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta

what this means · Produto escalar: combina módulos e ângulo θ entre os vetores. Se positivo: ângulo agudo. Se nulo: perpendicular. Se negativo: ângulo obtuso.

\text{proj}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|^2}\,\vec{u}

what this means · Projeção vetorial de v sobre u: componente de v na direção de u, expressa como múltiplo de u.

W = \vec{F} \cdot \vec{d} = |\vec{F}|\,|\vec{d}|\cos\theta \quad [\text{J} = \text{N}\cdot\text{m}]

what this means · Trabalho realizado pela força F no deslocamento d. W > 0: força a favor do movimento. W < 0: força contrária.

Theorem· Desigualdade de Cauchy-Schwarz em R²

Para quaisquer vetores $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^2$ :

|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}|\,|\vec{v}|

(CS)

what this means · O produto escalar nunca supera o produto dos módulos. Igualdade quando os vetores são paralelos (θ = 0° ou 180°).

Prova. Como $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$ e $|\cos\theta| \leq 1$ , temos $|\vec{u} \cdot \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}||\cos\theta| \leq |\vec{u}||\vec{v}|$ . Igualdade quando $|\cos\theta| = 1$ , i.e., $\theta = 0°$ ou $180°$ . $\square$

Sistemas lineares

Definition· Regra de Cramer — sistema 2×2

Para $\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$ com $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ :

x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}

what this means · Regra de Cramer: cada incógnita é a razão do determinante modificado pelo determinante principal. Quando D = 0, o sistema é paralelo (nenhuma solução) ou coincidente (infinitas).

Conexões entre tópicos

Posição relativa de retas $\Leftrightarrow$ sistema linear 2×2: coincidentes, paralelas, ponto único mapeiam para $D = 0$ (infinitas soluções), $D = 0$ (sem solução), $D \neq 0$ .
Tangente ao círculo no ponto $P$ é a reta perpendicular ao raio $CP$ em $P$ — usa produto escalar (condição $\vec{CP} \cdot \vec{v}_{\text{tangente}} = 0$ ).
Vetor diretor da reta $Ax + By + C = 0$ é $\vec{d} = (-B, A)$ ; vetor normal é $\vec{n} = (A, B)$ .
Cônicas como formas quadráticas: toda cônica satisfaz $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ . O discriminante $B^2 - 4AC$ classifica a cônica.

Exemplos resolvidos

Example· Equação da reta e distância ponto-reta

Problema. A reta $r$ passa por $A = (1, 3)$ e $B = (4, 9)$ . (a) Determine a equação geral de $r$ . (b) Calcule a distância do ponto $P = (0, 0)$ à reta $r$ .

Estratégia. Usar a fórmula do coeficiente angular para obter a equação reduzida, convertê-la para a forma geral e aplicar a fórmula de distância ponto-reta.

Resolução.

(a) Coeficiente angular: $m = (9 - 3)/(4 - 1) = 6/3 = 2$ .

Equação reduzida: $y - 3 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x + 1$ .

Forma geral: $2x - y + 1 = 0$ . Portanto $A = 2$ , $B = -1$ , $C = 1$ .

(b) Distância de $P = (0,0)$ à reta $2x - y + 1 = 0$ :

$d = \frac{|2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Verificação. O ponto médio de $AB$ é $M = (5/2,\; 6)$ . Verificar que $M$ está na reta: $2 \cdot 5/2 - 6 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0$ . Correto.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §2.1, p. 175 — CC-BY-NC-SA.

Example· Posição relativa de reta e círculo

Problema. Determine as interseções da reta $y = x + 1$ com o círculo $x^2 + y^2 = 25$ . Classifique a posição relativa.

Estratégia. Substituir a equação da reta na equação do círculo para obter uma equação quadrática em $x$ . O discriminante $\Delta$ classifica a posição.

Resolução.

Substitua $y = x + 1$ :

$x^2 + (x+1)^2 = 25 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$

Fórmula de Bhaskara: $x = (-1 \pm \sqrt{1 + 48})/2 = (-1 \pm 7)/2$ .

$x_1 = 3 \Rightarrow y_1 = 4$ . Ponto $P_1 = (3, 4)$ .

$x_2 = -4 \Rightarrow y_2 = -3$ . Ponto $P_2 = (-4, -3)$ .

$\Delta = 49 > 0$ : reta secante ao círculo (dois pontos).

Verificação. $3^2 + 4^2 = 25$ e $(-4)^2 + (-3)^2 = 25$ . Ambos estão no círculo.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.1, ex. 9 — CC-BY 4.0.

Example· Produto escalar e ângulo entre vetores

Problema. Dados $\vec{u} = (3, 4)$ e $\vec{v} = (1, -2)$ . (a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ . (b) Determine o ângulo $\theta$ entre eles. (c) Calcule a projeção vetorial de $\vec{v}$ sobre $\vec{u}$ .

Estratégia. Aplicar diretamente as fórmulas de produto escalar, arccosseno e projeção vetorial. Verificar com a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Resolução.

(a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) = 3 - 8 = -5$ .

(b) $|\vec{u}| = \sqrt{9 + 16} = 5$ . $|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ .

$\cos\theta = \frac{-5}{5\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} \approx -0{,}447 \Rightarrow \theta \approx 116{,}6°$

O ângulo é obtuso (produto escalar negativo).

$\text{proj}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|^2}\,\vec{u} = \frac{-5}{25}(3, 4) = \left(-\frac{3}{5},\; -\frac{4}{5}\right)$

Verificação. $|\vec{u} \cdot \vec{v}| = 5 \leq |\vec{u}||\vec{v}| = 5\sqrt{5} \approx 11{,}18$ . Cauchy-Schwarz satisfeita.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §8.8, ex. 21 — CC-BY 4.0.

Example· Trabalho e equilíbrio de forças

Problema. Uma caixa de 10 kg repousa sobre um plano inclinado a $30°$ com a horizontal. (a) Decomponha o peso $\vec{P}$ nas direções paralela e perpendicular ao plano. (b) Qual é a força de atrito mínima para manter o repouso?

Estratégia. Decompor o vetor peso usando projeções sobre os eixos paralelo e perpendicular ao plano inclinado.

Resolução.

Peso: $|\vec{P}| = mg = 10 \times 9{,}8 = 98$ N.

(a) Componente paralela ao plano (descida): $P_\parallel = 98\sin 30° = 49$ N.

Componente perpendicular (pressão sobre o plano): $P_\perp = 98\cos 30° = 98 \cdot \sqrt{3}/2 \approx 84{,}9$ N.

(b) Para equilíbrio: atrito $f = P_\parallel = 49$ N, dirigido morro acima.

Verificação. $P_\parallel^2 + P_\perp^2 = 49^2 + 84{,}9^2 \approx 2401 + 7208 = 9609 \approx 98^2 = 9604$ . Consistente (diferença por arredondamento de $\sqrt{3}$ ).

Fonte. OpenStax University Physics Volume 1 §5.7, ex. 19 — CC-BY 4.0.

Example· Problema integrador — reta, círculo e tangência

Problema. O segmento $AB$ com $A = (0, 0)$ e $B = (6, 8)$ é um diâmetro de um círculo $\mathcal{C}$ . Uma reta $r: y = -x + k$ é tangente a $\mathcal{C}$ . Encontre os possíveis valores de $k$ .

Estratégia. Calcular centro e raio do círculo a partir do diâmetro. Usar a condição de tangência: distância do centro à reta igual ao raio.

Resolução.

Passo 1 — Centro e raio. Centro: ponto médio de $AB = (3, 4)$ . Raio: $r = d(A, O) = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Passo 2 — Condição de tangência. A reta $r: x + y - k = 0$ tem $A = B = 1$ . Distância do centro $(3, 4)$ à reta:

$d = \frac{|3 + 4 - k|}{\sqrt{2}} = 5 \Rightarrow |7 - k| = 5\sqrt{2}$

Passo 3 — Resolver para $k$ . $7 - k = \pm 5\sqrt{2}$ , portanto $k_1 = 7 - 5\sqrt{2}$ e $k_2 = 7 + 5\sqrt{2}$ .

Há duas retas tangentes paralelas, com equações $y = -x + (7 - 5\sqrt{2})$ e $y = -x + (7 + 5\sqrt{2})$ .

Verificação. Distância entre as tangentes paralelas: $|k_2 - k_1|/\sqrt{2} = 10\sqrt{2}/\sqrt{2} = 10 = 2r$ . Correto.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §7.2, p. 504 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 9Modeling 7Challenge 2

Fontes

Stitz–Zeager Precalculus — Stitz e Zeager · 7.ª ed. · 2013 · CC-BY-NC-SA. Capítulos 2 (retas), 7 (cônicas), 11 (vetores e produto escalar). Fonte primária desta lição.
OpenStax College Algebra 2e — OpenStax · 2e · 2022 · CC-BY 4.0. Capítulos 2 (equações de reta), 7 (sistemas lineares 2×2 e 3×3), 8 (cônicas).
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2e · 2022 · CC-BY 4.0. Capítulos 8 (vetores), 10 (cônicas — elipse, hipérbole, parábola), aplicações astronômicas e físicas.
OpenStax University Physics Volume 1 — OpenStax · 2016 · CC-BY 4.0. Capítulos 4-5 (cinemática e dinâmica vetorial), 7 (trabalho), 12 (equilíbrio estático).
Prêmio Nobel de Economia 1990 — Markowitz, Miller, Sharpe · Teoria moderna do portfólio (fronteira eficiente como hipérbole no plano risco-retorno).
Prêmio Nobel de Economia 1997 — Merton, Scholes · Precificação de derivativos (equação parabólica reduzível à equação do calor via geometria analítica).

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