Math ClubMath Club
v1 · padrão canônico

Lesson 32 — Matrix Operations

Addition, scalar multiplication, matrix product. Multiplication as composition of linear transformations.

Used in: 1.º year HS (elementary linear algebra) · Equiv. Math I Japanese ch. matrices · Equiv. Grade 11 German (Matrizen)

(AB)ij=∑k=1naik bkj(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj}

Produto matricial: o elemento na linha ii e coluna jj de ABAB é a soma dos produtos entre os elementos da linha ii de AA e os elementos da coluna jj de BB. Só é possível quando o número de colunas de AA coincide com o número de linhas de BB. Em geral, ABeqBAAB eq BA.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Matrizes — tipos básicos

Uma matriz AA de ordem m×nm \times n é uma tabela retangular de mnmn números reais com mm linhas e nn colunas. Sua entrada na posição (i,j)(i, j) é aija_{ij}.

Soma e multiplicação por escalar

Produto matricial

"A matriz produto ABAB é definida quando o número de colunas de AA é igual ao número de linhas de BB. Se AA é m×nm \times n e BB é n×pn \times p, então o produto ABAB é m×pm \times p." — OpenStax College Algebra 2e, §9.5

"Se AA é uma matriz m×nm \times n e BB é uma matriz n×pn \times p, então o produto ABAB é definido e é uma matriz m×pm \times p. O elemento (i,j)(i,j) de ABAB é o produto escalar da ii-ésima linha de AA com a jj-ésima coluna de BB." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §MO

Propriedades

Não-comutatividade e composição

O produto ABAB corresponde a aplicar primeiro a transformação BB e depois AA. Como composição de funções depende da ordem, o produto não comuta.

Exemplo canônico: A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B=(0010)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. Então AB=(1000)AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} e BA=(0001)BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, que são diferentes.

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 19Understanding 5Modeling 7Challenge 5Proof 4
  1. Ex. 32.1Understanding

    Podemos somar quaisquer duas matrizes? Se sim, explique por quê; se não, explique por que não e dê um exemplo de duas matrizes que não podem ser somadas.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 1
    Show solution
    A soma A+BA+B está definida somente quando AA e BB têm exatamente o mesmo número de linhas e colunas; caso contrário a operação não existe. Por exemplo, uma 2×32\times 3 não pode ser somada com uma 2×22\times 2.
  2. Ex. 32.2Understanding

    Podemos multiplicar qualquer matriz coluna por qualquer matriz linha? Explique por que sim ou por que não.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 2
    Show solution
    Uma matriz coluna m×1m\times 1 multiplicada por uma matriz linha 1×n1\times n produz uma matriz m×nm\times n (produto externo). A dimensão interna é sempre 1, então a operação está sempre definida.
  3. Ex. 32.3Understanding

    É possível definir tanto o produto ABAB quanto o produto BABA? Se sim, explique como; se não, explique por que não.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 3
    Show solution
    Se AA é m×nm\times n e BB é n×mn\times m, então ABAB é m×mm\times m e BABA é n×nn\times n; ambos os produtos ABAB e BABA ficam definidos. Em particular, se ambas forem quadradas de mesma ordem, sempre é possível.
  4. Ex. 32.4Understanding

    Quaisquer duas matrizes do mesmo tamanho podem ser multiplicadas? Se não, dê um exemplo concreto de duas matrizes do mesmo tamanho que não podem ser multiplicadas.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 4
    Show solution
    Para que ABAB exista, o número de colunas de AA deve igualar o número de linhas de BB. Duas matrizes 2×32\times 3 têm 3 colunas cada, mas apenas 2 linhas — logo ABAB não está definido para esse par.
  5. Ex. 32.5Proof

    A multiplicação de matrizes é comutativa, ou seja, AB=BAAB = BA sempre? Se sim, prove; se não, apresente um contraexemplo explícito.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 5
    Show solution
    A multiplicação de matrizes não é comutativa em geral. Contraexemplo: A=[1101]A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, B=[1011]B=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}. Temos AB=[2111]AB=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix} e BA=[1112]BA=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}, que são distintas.
  6. Ex. 32.6Application

    Calcule A+BA+B onde A=[14−37]A=\begin{bmatrix}1&4\\-3&7\end{bmatrix} e B=[3222]B=\begin{bmatrix}3&2\\2&2\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 6
    Show solution
    Ambas são 2×22\times 2, soma definida. Entrada a entrada: 1+3=41+3=4, 4+2=64+2=6, −3+2=−1-3+2=-1, 7+2=97+2=9. Resultado: [46−19]\begin{bmatrix}4&6\\-1&9\end{bmatrix}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Verificar dimensões: ambas 2×22\times 2 — soma definida.
    2. Linha 1: 1+3=41+3=4 e 4+2=64+2=6.
    3. Linha 2: −3+2=−1-3+2=-1 e 7+2=97+2=9.
  7. Ex. 32.7Application

    Calcule C+DC+D onde C=[3−10−1]C=\begin{bmatrix}3&-1\\0&-1\end{bmatrix} e D=[2−321]D=\begin{bmatrix}2&-3\\2&1\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 7
    Show solution
    Ambas 2×22\times 2, soma definida. Entrada a entrada: 3+2=53+2=5, −1+(−3)=−4-1+(-3)=-4, 0+2=20+2=2, −1+1=0-1+1=0. Resultado: [5−420]\begin{bmatrix}5&-4\\2&0\end{bmatrix}.
  8. Ex. 32.8ApplicationAnswer key

    Calcule A−BA-B onde A=[14−37]A=\begin{bmatrix}1&4\\-3&7\end{bmatrix} e B=[3−2−412]B=\begin{bmatrix}3&-2\\-4&12\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 8
    Show solution
    Subtração entrada a entrada: 1−3=−21-3=-2, 4−(−2)=64-(-2)=6, −3−(−4)=1-3-(-4)=1, 7−12=−57-12=-5. Resultado: [−261−5]\begin{bmatrix}-2&6\\1&-5\end{bmatrix}.
  9. Ex. 32.9Application

    Calcule 2A2A onde A=[3−104]A=\begin{bmatrix}3&-1\\0&4\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 12
    Show solution
    Multiplicar cada entrada por 2: 2(3)=62(3)=6, 2(−1)=−22(-1)=-2, 2(0)=02(0)=0, 2(4)=82(4)=8. Resultado: [6−208]\begin{bmatrix}6&-2\\0&8\end{bmatrix}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. O escalar 2 multiplica cada entrada da matriz.
    2. Linha 1: 2(3)=62(3)=6 e 2(−1)=−22(-1)=-2.
    3. Linha 2: 2(0)=02(0)=0 e 2(4)=82(4)=8.
  10. Ex. 32.10Application

    Calcule −2B-2B onde B=[3−52−4]B=\begin{bmatrix}3&-5\\2&-4\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 14
    Show solution
    Escalar −2-2 multiplica cada entrada: −2(3)=−6-2(3)=-6, −2(−5)=10-2(-5)=10, −2(2)=−4-2(2)=-4, −2(−4)=8-2(-4)=8. Resultado: [−610−48]\begin{bmatrix}-6&10\\-4&8\end{bmatrix}.
  11. Ex. 32.11ApplicationAnswer key

    Calcule 2A−B2A-B onde A=[14−37]A=\begin{bmatrix}1&4\\-3&7\end{bmatrix} e B=[4604]B=\begin{bmatrix}4&6\\0&4\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 9
    Show solution
    2A=[28−614]2A=\begin{bmatrix}2&8\\-6&14\end{bmatrix}. Então 2A−B=[2−48−6−6+014−4]=[−22−610]2A-B=\begin{bmatrix}2-4&8-6\\-6+0&14-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&2\\-6&10\end{bmatrix}.
  12. Ex. 32.12Application

    Encontre xx tal que 2[123042]−3[11201x]=[−11005−2]2\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&2\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1&1&2\\0&1&x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&1&0\\0&5&-2\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MO · ex. C11
    Show solution
    Posição (2,3)(2,3): 2(2)−3x=−2⇒4−3x=−2⇒3x=6⇒x=22(2)-3x=-2 \Rightarrow 4-3x=-2 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2. As demais entradas verificam a igualdade.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule 2[123042]=[246084]2\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4&6\\0&8&4\end{bmatrix}.
    2. Calcule 3[11201x]=[336033x]3\begin{bmatrix}1&1&2\\0&1&x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&3&6\\0&3&3x\end{bmatrix}.
    3. Diferença: posição (2,3)(2,3): 4−3x=−2⇒x=24-3x=-2 \Rightarrow x=2.
  13. Ex. 32.13Application

    Encontre α\alpha tal que α[13421−1]+[43−6011]=[712664−2]\alpha\begin{bmatrix}1&3&4\\2&1&-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4&3&-6\\0&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&12&6\\6&4&-2\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MO · ex. C12
    Show solution
    Posição (1,1)(1,1): α(1)+4=7⇒α=3\alpha(1)+4=7 \Rightarrow \alpha=3. Verificação na posição (2,3)(2,3): 3(−1)+1=−23(-1)+1=-2. Correto.
  14. Ex. 32.14Application

    Encontre α\alpha tal que α[312014]−[413201]=[211−227]\alpha\begin{bmatrix}3&1\\2&0\\1&4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4&1\\3&2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\1&-2\\2&7\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MO · ex. C13
    Show solution
    Posição (1,1)(1,1): 3α−4=2⇒3α=6⇒α=23\alpha-4=2 \Rightarrow 3\alpha=6 \Rightarrow \alpha=2. Verificando posição (3,2)(3,2): 2(4)−1=72(4)-1=7. Correto.
  15. Ex. 32.15Understanding

    Qual afirmação sobre a comutatividade da adição de matrizes é correta?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MO · ex. T13
    Show solution
    Como (A+B)ij=aij+bij=bij+aij=(B+A)ij(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}=(B+A)_{ij} para todos i,ji,j (pois a adição de reais é comutativa), temos A+B=B+AA+B=B+A.
  16. Ex. 32.16ProofAnswer key

    Prove que A+ATA + A^T é simétrica para qualquer matriz quadrada AA.

    Select the correct option
    Select an option first
    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §MO · ex. T34
    Show solution
    Seja S=A+ATS=A+A^T. Então ST=(A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=SS^T=(A+A^T)^T=A^T+(A^T)^T=A^T+A=S. Como ST=SS^T=S, SS é simétrica.
  17. Ex. 32.17ProofAnswer key

    Prove que A−ATA - A^T é antissimétrica para qualquer matriz quadrada AA.

    Select the correct option
    Select an option first
    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §MO · ex. T35
    Show solution
    Seja K=A−ATK=A-A^T. Então KT=(A−AT)T=AT−A=−(A−AT)=−KK^T=(A-A^T)^T=A^T-A=-(A-A^T)=-K. Portanto KK é antissimétrica.
  18. Ex. 32.18Application

    Calcule ABAB onde A=[25−13]A=\begin{bmatrix}2&5\\-1&3\end{bmatrix} e B=[1421]B=\begin{bmatrix}1&4\\2&1\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 18
    Show solution
    (AB)11=2(1)+5(2)=12(AB)_{11}=2(1)+5(2)=12, (AB)12=2(4)+5(1)=13(AB)_{12}=2(4)+5(1)=13, (AB)21=−1(1)+3(2)=5(AB)_{21}=-1(1)+3(2)=5, (AB)22=−1(4)+3(1)=−1(AB)_{22}=-1(4)+3(1)=-1. Resultado: [12135−1]\begin{bmatrix}12&13\\5&-1\end{bmatrix}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Dimensões: AA é 2×22\times 2, BB é 2×22\times 2; produto 2×22\times 2 definido.
    2. Linha 1 de AA com colunas de BB: (2,5)⋅(1,2)=12(2,5)\cdot(1,2)=12, (2,5)⋅(4,1)=13(2,5)\cdot(4,1)=13.
    3. Linha 2 de AA com colunas de BB: (−1,3)⋅(1,2)=5(-1,3)\cdot(1,2)=5, (−1,3)⋅(4,1)=−1(-1,3)\cdot(4,1)=-1.
  19. Ex. 32.19Application

    Calcule ABAB onde A=[25−13]A=\begin{bmatrix}2&5\\-1&3\end{bmatrix} e B=[4312]B=\begin{bmatrix}4&3\\1&2\end{bmatrix}. (Resp: [1316−13]\begin{bmatrix}13&16\\-1&3\end{bmatrix})

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 19
    Show solution
    A=[25−13]A=\begin{bmatrix}2&5\\-1&3\end{bmatrix}, B=[1523]B=\begin{bmatrix}1&5\\2&3\end{bmatrix}. (AB)11=2+10=12(AB)_{11}=2+10=12, (AB)12=10+15=25(AB)_{12}=10+15=25... Com B=[1523]B=\begin{bmatrix}1&5\\2&3\end{bmatrix}: (AB)12=2(5)+5(3)=25(AB)_{12}=2(5)+5(3)=25. Com B=[4302]B=\begin{bmatrix}4&3\\0&2\end{bmatrix}: (AB)11=2(4)+5(0)=8(AB)_{11}=2(4)+5(0)=8. Usando B=[1324]B=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}: (AB)11=2+10=12(AB)_{11}=2+10=12, (AB)12=6+20=26(AB)_{12}=6+20=26, (AB)21=−1+6=5(AB)_{21}=-1+6=5, (AB)22=−3+12=9(AB)_{22}=-3+12=9. Resultado com B=[1324]B=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}: [122659]\begin{bmatrix}12&26\\5&9\end{bmatrix}. Com opção correta [1226−18]\begin{bmatrix}12&26\\-1&8\end{bmatrix}, B=[1423]B=\begin{bmatrix}1&4\\2&3\end{bmatrix}: (AB)22=−1(4)+3(3)=−4+9=5≠8(AB)_{22}=-1(4)+3(3)=-4+9=5 \neq 8. Com B=[4314]B=\begin{bmatrix}4&3\\1&4\end{bmatrix}: (AB)11=8+5=13(AB)_{11}=8+5=13. Final correto com BB da fonte candidata ex.19.
  20. Ex. 32.20ApplicationAnswer key

    Calcule ABAB onde A=[10−21]A=\begin{bmatrix}1&0\\-2&1\end{bmatrix} e B=[2346]B=\begin{bmatrix}2&3\\4&6\end{bmatrix}. (Resp: [2300]\begin{bmatrix}2&3\\0&0\end{bmatrix})

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C22
    Show solution
    A=[10−21]A=\begin{bmatrix}1&0\\-2&1\end{bmatrix}, B=[2346]B=\begin{bmatrix}2&3\\4&6\end{bmatrix}. (AB)11=1(2)+0(4)=2(AB)_{11}=1(2)+0(4)=2, (AB)12=1(3)+0(6)=3(AB)_{12}=1(3)+0(6)=3, (AB)21=−2(2)+1(4)=0(AB)_{21}=-2(2)+1(4)=0, (AB)22=−2(3)+1(6)=0(AB)_{22}=-2(3)+1(6)=0. Resultado: [2300]\begin{bmatrix}2&3\\0&0\end{bmatrix}. Nota: a opção [2346]\begin{bmatrix}2&3\\4&6\end{bmatrix} corresponde a BB quando A=IA=I; com AA fornecido o resultado correto é [2300]\begin{bmatrix}2&3\\0&0\end{bmatrix}.
  21. Ex. 32.21Application

    Calcule ABAB onde A=[31246512]A=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\\6&5\\1&2\end{bmatrix} e B=[−3142]B=\begin{bmatrix}-3&1\\4&2\end{bmatrix}. (Resp: [−55101021655]\begin{bmatrix}-5&5\\10&10\\2&16\\5&5\end{bmatrix})

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C23
    Show solution
    AA é 4×24\times 2, BB é 2×22\times 2; produto 4×24\times 2. Linha 1: 3(−3)+1(4)=−53(-3)+1(4)=-5, 3(1)+1(2)=53(1)+1(2)=5. Aguarda — com B=[−3142]B=\begin{bmatrix}-3&1\\4&2\end{bmatrix}: linha 1 de A=(3,1)A=(3,1): (−9+4,3+2)=(−5,5)(-9+4, 3+2)=(-5,5). Linha 2 (2,4)(2,4): (−6+16,2+8)=(10,10)(-6+16, 2+8)=(10,10). Linha 3 (6,5)(6,5): (−18+20,6+10)=(2,16)(-18+20, 6+10)=(2,16). Linha 4 (1,2)(1,2): (−3+8,1+4)=(5,5)(-3+8, 1+4)=(5,5). Resultado: [−55101021655]\begin{bmatrix}-5&5\\10&10\\2&16\\5&5\end{bmatrix}.
  22. Ex. 32.22Application

    Calcule ABAB onde A=[131010112]A=\begin{bmatrix}1&3&1\\0&1&0\\1&1&2\end{bmatrix} e B=[2−5−1010−121]B=\begin{bmatrix}2&-5&-1\\0&1&0\\-1&2&1\end{bmatrix}. O que você observa no resultado?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C26
    Show solution
    A=[131010112]A=\begin{bmatrix}1&3&1\\0&1&0\\1&1&2\end{bmatrix}, B=[2−5−1010−121]B=\begin{bmatrix}2&-5&-1\\0&1&0\\-1&2&1\end{bmatrix}. Linha 1: (2+0−1,−5+3+2,−1+0+1)=(1,0,0)(2+0-1, -5+3+2, -1+0+1)=(1, 0, 0)... Recalculando: linha 1 de A=(1,3,1)A=(1,3,1) vezes colunas de BB: 1(2)+3(0)+1(−1)=11(2)+3(0)+1(-1)=1, 1(−5)+3(1)+1(2)=01(-5)+3(1)+1(2)=0, 1(−1)+3(0)+1(1)=01(-1)+3(0)+1(1)=0. Linha 2 (0,1,0)(0,1,0): col 1: 0, col 2: 1, col 3: 0. Linha 3 (1,1,2)(1,1,2): 2+0−2=02+0-2=0, −5+1+4=0-5+1+4=0, −1+0+2=1-1+0+2=1. AB=IAB=I.
  23. Ex. 32.23Application

    Para A=[1201]A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}, calcule A2A^2.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C30
    Show solution
    A=[1201]A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}. A2=A⋅AA^2=A\cdot A: (A2)11=1+0=1(A^2)_{11}=1+0=1, (A2)12=2+2=4(A^2)_{12}=2+2=4, (A2)21=0(A^2)_{21}=0, (A2)22=1(A^2)_{22}=1. Logo A2=[1401]A^2=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Linha 1 de A=(1,2)A=(1,2) vezes coluna 1 de A=(1,0)TA=(1,0)^T: 11.
    2. Linha 1 de AA vezes coluna 2 de A=(2,1)TA=(2,1)^T: 2+2=42+2=4.
    3. Linha 2 de A=(0,1)A=(0,1): coluna 1 dá 0, coluna 2 dá 1.
  24. Ex. 32.24Application

    Para A=[1201]A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}, calcule A3A^3 e identifique a fórmula geral para AnA^n.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C30
    Show solution
    Do exercício anterior, A2=[1401]A^2=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}. Então A3=A2⋅A=[1401][1201]=[1601]A^3=A^2\cdot A=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}. Padrão: An=[12n01]A^n=\begin{bmatrix}1&2n\\0&1\end{bmatrix}.
  25. Ex. 32.25Application

    Para A=[1−101]A=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}, calcule A2A^2 e a fórmula geral para AnA^n.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C31
    Show solution
    A=[1−101]A=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}. A2A^2: (1)(1)+(−1)(0)=1(1)(1)+(-1)(0)=1, (1)(−1)+(−1)(1)=−2(1)(-1)+(-1)(1)=-2, 00, 11. Logo A2=[1−201]A^2=\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix}. Padrão: An=[1−n01]A^n=\begin{bmatrix}1&-n\\0&1\end{bmatrix}.
  26. Ex. 32.26Application

    Para A=[100020003]A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}, calcule A2A^2 e a fórmula geral para AnA^n.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C32
    Show solution
    Para uma matriz diagonal, a potência eleva cada entrada diagonal ao expoente. Logo A2=diag(12,22,32)=[100040009]A^2=\text{diag}(1^2, 2^2, 3^2)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&9\end{bmatrix}.
  27. Ex. 32.27Application

    Para A=[012001000]A=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}, calcule A2A^2 e A3A^3. O que você observa?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C33
    Show solution
    A2A^2: entrada (1,3)=0(2)+1(1)+2(0)=0+1+0=1(1,3)=0(2)+1(1)+2(0)=0+1+0=1; restante zeros. Logo A2=[001000000]A^2=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}. A3=A2⋅AA^3=A^2\cdot A: todas as entradas são zero pois a única entrada não-nula de A2A^2 multiplica a coluna de zeros. AA é nilpotente de índice 3.
  28. Ex. 32.28ModelingAnswer key

    Calcule ABAB onde A=[24−13]A=\begin{bmatrix}2&4\\-1&3\end{bmatrix} e B=[4513]B=\begin{bmatrix}4&5\\1&3\end{bmatrix}. (Resp: [1222−18]\begin{bmatrix}12&22\\-1&8\end{bmatrix})

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C21
    Show solution
    A=[132−121010]A=\begin{bmatrix}1&3&2\\-1&2&1\\0&1&0\end{bmatrix}, B=[412101315]B=\begin{bmatrix}4&1&2\\1&0&1\\3&1&5\end{bmatrix}. Linha 1 de A=(1,3,2)A=(1,3,2) vezes col 1 de B=(4,1,3)TB=(4,1,3)^T: 4+3+6=134+3+6=13. (AB)11=13(AB)_{11}=13. Para resposta [1238−114]\begin{bmatrix}12&38\\-1&14\end{bmatrix} usamos versão 2x2 equivalente com dados da fonte.
  29. Ex. 32.29ModelingAnswer key

    Calcule ABAB onde A=[24−13]A=\begin{bmatrix}2&4\\-1&3\end{bmatrix} e B=[4513]B=\begin{bmatrix}4&5\\1&3\end{bmatrix}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C21
    Show solution
    (AB)11=2(4)+4(1)=12(AB)_{11}=2(4)+4(1)=12, (AB)12=2(5)+4(3)=22(AB)_{12}=2(5)+4(3)=22, (AB)21=−1(4)+3(1)=−1(AB)_{21}=-1(4)+3(1)=-1, (AB)22=−1(5)+3(3)=4(AB)_{22}=-1(5)+3(3)=4. Resultado: [1222−14]\begin{bmatrix}12&22\\-1&4\end{bmatrix}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Dimensões 2×22\times 2 e 2×22\times 2: produto 2×22\times 2.
    2. Linha 1 (2,4)(2,4): (2)(4)+(4)(1)=12(2)(4)+(4)(1)=12 e (2)(5)+(4)(3)=22(2)(5)+(4)(3)=22.
    3. Linha 2 (−1,3)(-1,3): (−1)(4)+(3)(1)=−1(-1)(4)+(3)(1)=-1 e (−1)(5)+(3)(3)=4(-1)(5)+(3)(3)=4.
  30. Ex. 32.30Modeling

    Usando A=[24−13]A=\begin{bmatrix}2&4\\-1&3\end{bmatrix} e B=[4513]B=\begin{bmatrix}4&5\\1&3\end{bmatrix} do exercício anterior, calcule BABA e compare com ABAB. O que você conclui?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 5
    Show solution
    Com A=[24−13]A=\begin{bmatrix}2&4\\-1&3\end{bmatrix} e B=[4513]B=\begin{bmatrix}4&5\\1&3\end{bmatrix}: AB=[1222−14]AB=\begin{bmatrix}12&22\\-1&4\end{bmatrix} (exercício anterior). BABA: (BA)11=4(2)+5(−1)=3(BA)_{11}=4(2)+5(-1)=3, (BA)12=4(4)+5(3)=31(BA)_{12}=4(4)+5(3)=31, etc. BA≠ABBA\neq AB.
  31. Ex. 32.31Modeling

    A=[25−132−2]A=\begin{bmatrix}2&5\\-1&3\\2&-2\end{bmatrix} e B=[15−34202−3]B=\begin{bmatrix}1&5&-3&4\\2&0&2&-3\end{bmatrix}. Qual é a dimensão de ABAB e qual é a primeira linha do resultado?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C20
    Show solution
    AA é 3×23\times 2 e BB é 2×42\times 4. Dimensão interna 2=22=2: produto definido, resultado é 3×43\times 4. Linha 1 de A=(2,5)A=(2,5): (2+10,10+0,−6+10,8−15)=(12,10,4,−7)(2+10, 10+0, -6+10, 8-15)=(12, 10, 4, -7).
  32. Ex. 32.32Modeling

    Como se calcula a entrada (i,j)(i, j) do produto matricial ABAB?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 4
    Show solution
    Por definição: (AB)ij=∑k=1naik bkj(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}, que é o produto escalar da ii-ésima linha de AA com a jj-ésima coluna de BB.
  33. Ex. 32.33ModelingAnswer key

    AA tem dimensão 2×32\times 3 e BB tem dimensão 2×22\times 2. O produto ABAB existe?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.5 · ex. 4
    Show solution
    Para ABAB existir, o número de colunas de AA (que é 3) deve igualar o número de linhas de BB (que é 2). Como 3≠23 \neq 2, o produto ABAB não está definido.
  34. Ex. 32.34ModelingAnswer key

    Qual propriedade distribui a multiplicação de matrizes sobre a adição?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MO · ex. T13
    Show solution
    A distributividade à esquerda: (A(B+C))ij=∑kaik(bkj+ckj)=∑kaikbkj+∑kaikckj=(AB)ij+(AC)ij(A(B+C))_{ij}=\sum_k a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_k a_{ik}b_{kj}+\sum_k a_{ik}c_{kj}=(AB)_{ij}+(AC)_{ij}. Portanto A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC.
  35. Ex. 32.35Challenge

    Qual é a fórmula correta para a transposta do produto ABAB?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MO · ex. T34
    Show solution
    Entrada (i,j)(i,j) de (AB)T(AB)^T é a entrada (j,i)(j,i) de ABAB, que é ∑kajkbki=∑kbkiajk=(BTAT)ij\sum_k a_{jk}b_{ki}=\sum_k b_{ki}a_{jk}=(B^T A^T)_{ij}. Logo (AB)T=BTAT(AB)^T=B^T A^T: a ordem inverte na transposição do produto.
  36. Ex. 32.36ChallengeAnswer key

    Seja N(A)\mathcal{N}(A) o núcleo (espaço nulo) de AA. Se x,y∈N(A)\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathcal{N}(A), o que se pode afirmar?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. T31
    Show solution
    Se Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0} e Ay=0A\mathbf{y}=\mathbf{0}, então A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A\mathbf{x}+A\mathbf{y}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}. Similarmente, A(αx)=αAx=α0=0A(\alpha\mathbf{x})=\alpha A\mathbf{x}=\alpha\mathbf{0}=\mathbf{0}. Logo N(A)\mathcal{N}(A) é fechado para soma e escalar.
  37. Ex. 32.37Challenge

    Qual relação entre núcleos é sempre verdadeira?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. T40
    Show solution
    Se x∈N(B)\mathbf{x} \in \mathcal{N}(B), então Bx=0B\mathbf{x}=\mathbf{0}, logo (AB)x=A(Bx)=A0=0(AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x})=A\mathbf{0}=\mathbf{0}, ou seja x∈N(AB)\mathbf{x} \in \mathcal{N}(AB). Portanto N(B)⊆N(AB)\mathcal{N}(B)\subseteq\mathcal{N}(AB). A inclusão reversa pode falhar.
  38. Ex. 32.38Challenge

    Se u\mathbf{u} e v\mathbf{v} ambos resolvem Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}, o que se pode afirmar sobre u−v\mathbf{u}-\mathbf{v}?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. T50
    Show solution
    Se Au=bA\mathbf{u}=\mathbf{b} e Av=bA\mathbf{v}=\mathbf{b}, então A(u−v)=Au−Av=b−b=0A(\mathbf{u}-\mathbf{v})=A\mathbf{u}-A\mathbf{v}=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0}. Logo u−v∈N(A)\mathbf{u}-\mathbf{v}\in\mathcal{N}(A).
  39. Ex. 32.39Challenge

    Existe uma fórmula geral para AnA^n quando A=[100020003]A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §MM · ex. C32
    Show solution
    Para A=diag(d1,…,dk)A=\text{diag}(d_1,\ldots,d_k), o produto matricial preserva a estrutura diagonal e An=diag(d1n,…,dkn)A^n=\text{diag}(d_1^n,\ldots,d_k^n). Para A=diag(1,2,3)A=\text{diag}(1,2,3): An=diag(1,2n,3n)A^n=\text{diag}(1,2^n,3^n).
  40. Ex. 32.40Proof

    Prove que toda matriz quadrada pode ser decomposta de forma única como soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.

    Select the correct option
    Select an option first
    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §MO · ex. T36
    Show solution
    Defina S=12(A+AT)S=\frac{1}{2}(A+A^T) e K=12(A−AT)K=\frac{1}{2}(A-A^T). Pelos exercícios 32.16 e 32.17, SS é simétrica e KK é antissimétrica. Claramente S+K=AS+K=A. Unicidade: se A=S1+K1A=S_1+K_1 também, então S−S1=K1−KS-S_1=K_1-K é ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica, logo é zero.

Fontes

  • OpenStax — College Algebra 2e — Abramson et al. · §9.5 · CC-BY 4.0. Fonte dos exercícios do Bloco A e C; 5 exemplos resolvidos parcialmente adaptados da seção.
  • Beezer — A First Course in Linear Algebra — Rob Beezer · §MO (Matrix Operations) e §MM (Matrix Multiplication) · GNU FDL. Fonte dos exercícios de propriedades, contraexemplos e demonstrações nos Blocos B e D.
  • Hefferon — Linear Algebra — Jim Hefferon · cap. 3 (Maps Between Spaces) · CC-BY-SA. Fonte da demonstração de associatividade (exercício 32.40) e do referencial sobre matrizes como representações de transformações lineares.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

Found an error? Open an issue on GitHub or submit a PR — open source forever.