v1 · padrão canônico

Lição 33 — Transposed, identity, and inverse matrices

The transpose mirrors a matrix. The inverse undoes multiplication — it exists only when the determinant is nonzero.

Used in: 1.º ano do EM (16 anos) · Math I japonês cap. matrizes · Klasse 11 alemã Lineare Algebra

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & {-b} \\ {-c} & a \end{pmatrix}

A inversa de uma matriz 2×2 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ : troca os elementos da diagonal principal, troca o sinal dos elementos fora da diagonal, divide tudo pelo determinante $ad - bc$ . Se $ad - bc = 0$ , a inversa não existe — a matriz é singular.

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Definição rigorosa

Transposta

Propriedades da transposta — para $A, B$ compatíveis e $\alpha \in \mathbb{R}$ :

Propriedade	Fórmula
Involução	$(A^T)^T = A$
Linearidade (soma)	$(A + B)^T = A^T + B^T$
Linearidade (escalar)	$(\alpha A)^T = \alpha A^T$
Produto (ordem inverte)	$(AB)^T = B^T A^T$
Inversa-transposta	$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$

Matriz simétrica: $A = A^T$ (implica $A$ quadrada). Matriz antissimétrica: $A^T = -A$ (implica diagonal principal nula).

"Para matrizes $A$ e $B$ , o transposto do produto satisfaz $(AB)^T = B^T A^T$ . A ordem é invertida, como ocorre também com a inversa." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §MO

Transposta de uma matriz 2×3: cada linha de A torna-se uma coluna de A^T. Formato inverte de m×n para n×m.

Matriz identidade

Matriz inversa

"Uma matriz quadrada $A$ tem inversa se e somente se suas colunas são linearmente independentes — equivalentemente, se e somente se $\det A \neq 0$ ." — Beezer, FCLA, §MI

Fórmula explícita para $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

what this means · Para A = [[a,b],[c,d]]: troca os elementos da diagonal principal, troca o sinal dos elementos fora da diagonal, divide pelo determinante. Válida somente se ad - bc ≠ 0.

Método de Gauss-Jordan para $n \times n$

Forme a matriz aumentada $[A \mid I_n]$ e aplique operações elementares de linha até obter $[I_n \mid A^{-1}]$ . Se $A$ for singular, o lado esquerdo não chegará a $I_n$ — a inversa não existe.

Propriedades da inversa

(A^{-1})^{-1} = A, \quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \quad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T, \quad (\alpha A)^{-1} = \tfrac{1}{\alpha}A^{-1}, \quad \det(A^{-1}) = \tfrac{1}{\det A}

what this means · Cinco identidades fundamentais envolvendo a inversa. A inversão de ordem no produto é análoga à inversão de ordem na transposta.

"Se $A$ e $B$ são matrizes invertíveis de mesma ordem, então $AB$ é invertível e $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ ." — Hefferon, Linear Algebra, cap. 3 §1

Exemplos resolvidos

Example— 1· Calculando a transposta de uma matriz 2×3

Problema: Dada $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 4 & -1 \end{pmatrix}$ , calcule $A^T$ e verifique que $(A^T)^T = A$ .

Estratégia: Aplicar $(A^T)_{ij} = a_{ji}$ : cada linha de $A$ vira uma coluna de $A^T$ .

Resolução:

$A$ tem formato $2 \times 3$ , logo $A^T$ terá formato $3 \times 2$ .

Linha 1 de $A$ = $(1, -2, 0)$ vira coluna 1 de $A^T$ .
Linha 2 de $A$ = $(3, 4, -1)$ vira coluna 2 de $A^T$ .

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Verificação de $(A^T)^T = A$ : Transpondo $A^T$ , as linhas $(1,3)$ , $(-2,4)$ , $(0,-1)$ viram colunas, recuperando exatamente $A$ . A involução está confirmada.

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §MO — licença GNU FDL.

Example— 2· Calculando a inversa 2×2 pela fórmula direta

Problema: Calcule $A^{-1}$ para $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ e verifique $AA^{-1} = I$ .

Estratégia: Aplicar a fórmula $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .

Resolução:

Passo 1 — Calcular o determinante: $\det A = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 24 - 14 = 10$

Como $\det A = 10 \neq 0$ , a inversa existe.

Passo 2 — Aplicar a fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}$

Passo 3 — Verificar $AA^{-1} = I$ : $\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}4 - 1{,}4 & -2{,}8 + 2{,}8 \\ 1{,}2 - 1{,}2 & -1{,}4 + 2{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Verificado.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e, §9.7 — licença CC-BY 4.0.

Example— 3· Inversa 3×3 pelo método de Gauss-Jordan

Problema: Calcule $A^{-1}$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$ usando Gauss-Jordan.

Estratégia: Montar $[A \mid I_3]$ e aplicar operações elementares de linha até obter $[I_3 \mid A^{-1}]$ .

Resolução:

Matriz aumentada inicial:

\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

L3 ← L3 − 2·L1:

\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right]

L3 ← L3 + L2:

\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right]

L2 ← L2 − 3·L3; L1 ← L1 − L3:

\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 3 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 6 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right]

L1 ← L1 − 2·L2:

\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -9 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 6 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right]

Portanto: $A^{-1} = \begin{pmatrix} -9 & 3 & 5 \\ 6 & -2 & -3 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Verificação (primeira coluna de $AA^{-1}$ ): $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -9 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9+12-2 \\ 0+6-6 \\ -18+18+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\ \checkmark$

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §MISLE — licença GNU FDL.

Example— 4· Resolução de sistema via inversa (modelagem)

Problema: Uma empresa de segurança usa um Hill cipher $2 \times 2$ com chave $K = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ . O vetor cifrado recebido é $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 17 \\ 31 \end{pmatrix}$ . Recupere a mensagem original $\mathbf{m}$ resolvendo $K\mathbf{m} = \mathbf{c}$ .

Estratégia: Calcular $K^{-1}$ e multiplicar $\mathbf{m} = K^{-1}\mathbf{c}$ .

Resolução:

Passo 1 — Determinante: $\det K = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$

Passo 2 — Inversa: $K^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$

Passo 3 — Recuperar $\mathbf{m}$ : $\mathbf{m} = K^{-1}\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5/2 & 3/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 17 \\ 31 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 - 31 \\ -85/2 + 93/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

A mensagem original é $\mathbf{m} = (3, 4)^T$ .

Verificação: $K\mathbf{m} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9+8 \\ 15+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 31 \end{pmatrix} = \mathbf{c}$ . Correto.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e, §9.7 — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Demonstração: $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$

Problema: Prove que para toda matriz invertível $A$ , vale $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ .

Estratégia: Partir da definição $AA^{-1} = I$ , transpor ambos os lados e usar $(AB)^T = B^T A^T$ .

Resolução:

Passo 1. De $AA^{-1} = I$ , tome a transposta de ambos os lados: $(AA^{-1})^T = I^T$

Passo 2. Aplique $(AB)^T = B^T A^T$ e use $I^T = I$ : $(A^{-1})^T A^T = I$

Passo 3. A equação $(A^{-1})^T \cdot A^T = I$ diz que $(A^{-1})^T$ é a inversa à esquerda de $A^T$ . Por unicidade da inversa: $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}\ \square$

Verificação com exemplo: Tome $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ , $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$ (det = 1). Então $(A^{-1})^T = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ . E $A^T = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , $(A^T)^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ . Iguais.

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §MI — licença GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 5Modeling 5Challenge 2

Fontes desta aula

A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · versão 3.50 · GNU FDL · §MO (Matrix Operations), §MI (Matrix Inverses), §MISLE (Matrix Inverses and Systems of Linear Equations). Fonte primária da teoria e dos exercícios de prova.
OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2021 · CC-BY 4.0 · §9.7 (Solving Systems with Inverses). Fonte primária dos exercícios de cálculo e modelagem.
Linear Algebra — Jim Hefferon · 4ª ed. · CC-BY-SA · cap. 3 §1–3. Abordagem geométrica e exercícios de álgebra abstrata matricial.