v1 · padrão canônico

Lesson 34 — Determinants 2×2 and 3×3

Determinant as oriented area/volume. Sarrus rule for 3×3. Laplace expansion. Algebraic properties and invertibility criterion.

Used in: 1st year HS (15 years) · Equiv. Math II Japanese · Equiv. Klasse 11 German

\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

O determinante de uma matriz quadrada é um número que mede a área (2×2) ou volume (3×3) orientado gerado pelas suas colunas. Para 2×2 é $ad - bc$ ; para 3×3 usa-se a regra de Sarrus. Se $\det A = 0$ , a matriz é singular e não tem inversa.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Determinante 2×2

"O determinante de uma matriz $2 \times 2$ é encontrado subtraindo o produto das entradas da diagonal secundária do produto das entradas da diagonal principal." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.4

Determinante 3×3 — Regra de Sarrus

Definition· Sarrus para matrizes 3×3

Para $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ :

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

what this means · Soma dos três produtos descendentes (diagonais paralelas à principal) menos os três produtos ascendentes.

Truque visual. Repita as duas primeiras colunas à direita da matriz. Some os três produtos descendentes (↘) e subtraia os três ascendentes (↗). Atenção: Sarrus só funciona para 3×3 — para 4×4 ou maior use Laplace ou escalonamento.

Expansão de Laplace (cofatores)

Propriedades essenciais

Theorem· Doze propriedades operacionais

#	Propriedade
1	$\det(I) = 1$
2	$\det(A^T) = \det(A)$
3	$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ (Cauchy–Binet)
4	$\det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)$ para $A_{n \times n}$
5	$\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$
6	Trocar duas linhas (ou colunas) inverte o sinal
7	Linha de zeros $\Rightarrow \det = 0$
8	Duas linhas iguais $\Rightarrow \det = 0$
9	Linhas proporcionais $\Rightarrow \det = 0$
10	Somar múltiplo de uma linha em outra não altera $\det$
11	Multiplicar uma linha por $\alpha$ multiplica $\det$ por $\alpha$
12	Triangular: $\det =$ produto dos elementos da diagonal

"Se duas linhas (ou colunas) de uma matriz são idênticas, ou se uma linha é múltiplo escalar de outra, então o determinante é zero." — Wikilivros — Álgebra linear / Determinantes

Critério de invertibilidade

Exemplos resolvidos

Example— 1· Determinante 2×2 direto

Problema. Calcule $\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ .

Estratégia. Aplicar a fórmula $ad - bc$ diretamente.

Resolução.

Identifique as entradas: $a = 3$ , $b = 2$ , $c = 5$ , $d = 4$ .
Diagonal principal: $a \cdot d = 3 \cdot 4 = 12$ .
Diagonal secundária: $b \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ .
Subtraia: $\det = 12 - 10 = 2$ .

Verificação. Como $\det \neq 0$ , a matriz é invertível. Geometricamente, a área do paralelogramo gerado pelas colunas $(3,5)$ e $(2,4)$ é $|2| = 2$ unidades quadradas.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.4 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Determinante 3×3 por Sarrus

Problema. Calcule $\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ pela regra de Sarrus.

Estratégia. Repetir as duas primeiras colunas à direita, somar os três produtos descendentes (↘) e subtrair os três ascendentes (↗).

Resolução.

Reescreva com colunas repetidas:

$<Eq>{`\\begin{array}{cccc|cc} 2 & 1 & 3 & \\! & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 & \\! & 1 & 0 \\\\ 4 & 1 & 5 & \\! & 4 & 1 \\end{array}`}</Eq>$

Produtos descendentes (↘):
- $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$
- $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$
- $3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$
- Soma: $0 + 8 + 3 = 11$ .
Produtos ascendentes (↗):
- $4 \cdot 0 \cdot 3 = 0$
- $1 \cdot 2 \cdot 2 = 4$
- $5 \cdot 1 \cdot 1 = 5$
- Soma: $0 + 4 + 5 = 9$ .
Subtraia: $\det = 11 - 9 = 2$ .

Verificação. Por expansão de Laplace na linha 2 (que tem um zero): $-1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} + 0 - 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -1(5-3) - 2(2-4) = -2 + 4 = 2$ . Confere.

Fonte. Wikilivros — Álgebra linear / Determinantes — licença CC-BY-SA.

Example— 3· Propriedade de linha proporcional

Problema. Mostre, sem fazer toda a conta, que $\det \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} = 0$ .

Estratégia. Buscar uma das condições que zeram o determinante: linha de zeros, linhas iguais, ou linhas/colunas proporcionais (propriedade 9).

Resolução.

Inspecione as linhas. $L_1 = (2, 4, 6)$ e $L_3 = (3, 6, 9)$ .
Compare $L_1$ e $L_3$ . Nota-se que $L_3 = \tfrac{3}{2} L_1$ : $3 = \tfrac{3}{2} \cdot 2$ , $6 = \tfrac{3}{2} \cdot 4$ , $9 = \tfrac{3}{2} \cdot 6$ .
Aplique a propriedade. Linhas proporcionais $\Rightarrow \det A = 0$ , sem precisar calcular.

Verificação. Por Sarrus: $2\cdot3\cdot9 + 4\cdot5\cdot3 + 6\cdot1\cdot6 - 6\cdot3\cdot3 - 4\cdot1\cdot9 - 2\cdot5\cdot6 = 54+60+36-54-36-60 = 0$ . Confere.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus, §8.5 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Determinante por escalonamento

Problema. Calcule $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 0 \\ 3 & 6 & 4 \end{pmatrix}$ usando escalonamento (operação 10).

Estratégia. Triangularizar a matriz usando operações que preservam o determinante. O determinante final é o produto da diagonal.

Resolução.

Anule entradas abaixo de $a_{11} = 1$ . $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ e $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$ :

$<Eq>{`\\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}`}</Eq>$

Já é triangular. Toda entrada abaixo da diagonal é zero.
Multiplique a diagonal. $\det = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ .

Verificação. Por Sarrus na matriz original: $1\cdot5\cdot4 + 2\cdot0\cdot3 + 1\cdot2\cdot6 - 1\cdot5\cdot3 - 2\cdot2\cdot4 - 1\cdot0\cdot6 = 20+0+12-15-16-0 = 1$ . Confere.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.4 — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Colinearidade de pontos via determinante

Problema. Verifique se os pontos $A=(1,2)$ , $B=(3,5)$ e $C=(7,11)$ são colineares usando determinante.

Estratégia. Três pontos são colineares se e só se a área do triângulo que formam é zero: $<Eq>{`\\det\\begin{pmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\\\ y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \\end{pmatrix} = 0.`}</Eq>$

Resolução.

Calcule os vetores deslocamento. $\vec{AB} = (2, 3)$ e $\vec{AC} = (6, 9)$ .
Monte a matriz: $M = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}$ .
Calcule $\det M$ . $\det M = 2\cdot9 - 6\cdot3 = 18 - 18 = 0$ .
Conclua. $\det = 0 \Rightarrow$ vetores paralelos $\Rightarrow$ pontos colineares.

Verificação. $\vec{AC} = 3 \cdot \vec{AB}$ , ou seja, $C$ está na reta que passa por $A$ na direção de $\vec{AB}$ .

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.4 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

53 exercises · 13 with worked solution (25%)

Application 32Understanding 8Modeling 6Challenge 4Proof 3

Fontes

OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §11.4: Determinants and Cramer's Rule. Fonte primária dos exercícios de Bloco A e C.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.5: Determinants and Cramer's Rule. Cofatores, propriedades operacionais, Vandermonde.
Wikilivros — Álgebra linear — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · Capítulo Determinantes. Geometria, provas, conexões avançadas.