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Lesson 35 — Solving linear systems with matrices

Augmented matrix, elementary operations, Gaussian elimination, reduced row-echelon form (RREF), Gauss-Jordan, rank, the Rouché-Capelli Theorem, and Cramer's Rule. Applications in economics and circuits.

Used in: 1st year HS (age 15) · Equiv. Japanese Math II · Equiv. German Klasse 11

Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}

Forma matricial de um sistema linear. AA é a matriz dos coeficientes, x⃗\vec{x} é o vetor de incógnitas e b⃗\vec{b} é o vetor dos termos independentes. O escalonamento de Gauss opera sobre a matriz aumentada [A∣b⃗][A \mid \vec{b}] para encontrar x⃗\vec{x} sem calcular A−1A^{-1} explicitamente.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Sistema linear e forma matricial

Operações elementares de linha

"As operações elementares de linha são reversíveis: trocar é desfeita por trocar de novo; multiplicar por cc é desfeita por multiplicar por 1/c1/c; Li←Li+cLjL_i \leftarrow L_i + cL_j é desfeita por Li←Li−cLjL_i \leftarrow L_i - cL_j. Logo os sistemas antes e depois têm exatamente as mesmas soluções." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §RO

Forma escalonada e RREF

Algoritmo de Gauss e Gauss-Jordan

[A∣b⃗]→REF(∗∗∗∣∗0∗∗∣∗00∗∣∗)→back-subx⃗[A \mid \vec{b}] \xrightarrow{\text{REF}} \begin{pmatrix} * & * & * \mid * \\ 0 & * & * \mid * \\ 0 & 0 & * \mid * \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{back-sub}} \vec{x}
what this means · Gauss: redução à REF, depois substituição reversa (back-substitution) de baixo para cima.
[A∣b⃗]→RREF(100∣x1010∣x2001∣x3)[A \mid \vec{b}] \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \mid x_1 \\ 0 & 1 & 0 \mid x_2 \\ 0 & 0 & 1 \mid x_3 \end{pmatrix}
what this means · Gauss-Jordan: redução direta à RREF. Solução lida imediatamente na coluna direita, sem substituição reversa.

Posto e classificação de sistemas

Regra de Cramer

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 6Modeling 7Challenge 4Proof 1
  1. Ex. 35.1Understanding

    É possível escrever qualquer sistema de equações lineares como uma matriz aumentada? Explique por que isso é verdade ou não, e descreva como construir a matriz aumentada correspondente.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 1
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    Qualquer sistema linear pode ser escrito como matriz aumentada: cada linha recebe os coeficientes das incógnitas e a última coluna recebe os termos independentes. Não há restrição ao número de equações ou de incógnitas.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Para cada equação, anote os coeficientes das incógnitas em ordem fixa.
    2. Coloque o termo independente de cada equação na última coluna.
    3. Separe a coluna dos termos independentes por uma barra vertical para obter [A∣b⃗][A\mid\vec{b}].
  2. Ex. 35.2UnderstandingAnswer key

    Qualquer matriz aumentada pode ser reescrita como um sistema de equações lineares? Justifique e explique como obter o sistema a partir de [A∣b⃗][A\mid\vec{b}].

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 2
    Show solution
    Cada linha da matriz fornece os coeficientes de uma equação linear; a última coluna (após a barra) representa os termos independentes. O processo funciona independentemente do número de linhas ou colunas.
  3. Ex. 35.3Understanding

    Existe apenas um método correto de usar operações elementares em uma matriz? Cite duas operações diferentes que podem ser aplicadas para resolver a matriz aumentada [9301−26]\left[\begin{array}{cc|c}9&3&0\\1&-2&6\end{array}\right].

    Select the correct option
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    OpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 3
    Show solution
    As três operações elementares (troca de linhas, multiplicação por escalar não nulo, adição de múltiplo de outra linha) são todas válidas e igualmente corretas. Para a matriz indicada podemos, por exemplo, dividir a linha 1 por 9 ou trocar as linhas.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Operação 1: L1←19L1L_1 \leftarrow \tfrac{1}{9}L_1 torna o pivô igual a 1.
    2. Operação 2: L1↔L2L_1 \leftrightarrow L_2 coloca o pivô conveniente no topo.
    3. Ambas preservam o conjunto solução, portanto ambas são corretas.
  4. Ex. 35.4UnderstandingAnswer key

    Uma matriz com entrada zero na diagonal pode ser resolvida? Explique o que ocorre e indique a operação que contorna o problema.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 4
    Show solution
    Um pivô zero é resolvido por uma troca de linhas (pivoteamento parcial): busca-se a linha abaixo com maior valor absoluto naquela coluna e realiza-se a troca. Isso garante um pivô válido sem alterar o conjunto solução.
  5. Ex. 35.5Understanding

    Uma matriz que possui uma linha inteira de zeros pode ter solução única? Justifique sua resposta.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 5
    Show solution
    Uma linha inteiramente de zeros na parte dos coeficientes reduz o número de equações efetivas. Se o termo independente também é zero, a equação é trivial (0 = 0) e há variáveis livres. Se o termo independente é não nulo, surge a contradição 0 = c, tornando o sistema impossível. Em nenhum caso há solução única.
  6. Ex. 35.6Application

    Escreva a matriz aumentada do sistema 8x−37y=88x - 37y = 8, 2x+12y=32x + 12y = 3.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 6
    Show solution
    Coloca-se o coeficiente de xx na coluna 1, o de yy na coluna 2 e o termo independente na coluna 3 (após a barra): [8−3782123]\left[\begin{array}{cc|c}8&-37&8\\2&12&3\end{array}\right].
    Show step-by-step (with the why)
    1. Equação 1: coeficientes 8 e −37-37, termo independente 8.
    2. Equação 2: coeficientes 2 e 12, termo independente 3.
    3. Monte [8−3782123]\left[\begin{array}{cc|c}8&-37&8\\2&12&3\end{array}\right].
  7. Ex. 35.7Application

    Escreva a matriz aumentada do sistema: 3x+2y+10z=33x + 2y + 10z = 3, −6x+2y+5z=13-6x + 2y + 5z = 13, 4x+z=184x + z = 18.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 8
    Show solution
    Cada linha recebe os coeficientes de xx, yy, zz e o termo independente. Na terceira equação yy não aparece, logo coeficiente 0: [32103−6251340118]\left[\begin{array}{ccc|c}3&2&10&3\\-6&2&5&13\\4&0&1&18\end{array}\right].
  8. Ex. 35.8Application

    Qual sistema linear corresponde à matriz aumentada [−256−185260−3]\left[\begin{array}{ccc|c}-2&5&6&-18\\5&26&0&-3\end{array}\right]? (Identifique a primeira linha.)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 11
    Show solution
    Os três primeiros números são os coeficientes de xx, yy e zz; o número após a barra é o termo independente. Logo: −2x+5y+6z=−18-2x + 5y + 6z = -18.
  9. Ex. 35.9ApplicationAnswer key

    Resolva por eliminação de Gauss: 6x+2y=−46x + 2y = -4, 3x+4y=−173x + 4y = -17.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 22
    Show solution
    Escalonando: L2←L2−12L1L_2 \leftarrow L_2 - \tfrac{1}{2}L_1 dá 3y=−153y = -15, logo y=−5y = -5; substituindo na linha 1: x=1x = 1. Verificação: 6(1)+2(−5)=−46(1)+2(-5) = -4 e 3(1)+4(−5)=−173(1)+4(-5) = -17.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Monte [62−434−17]\left[\begin{array}{cc|c}6&2&-4\\3&4&-17\end{array}\right].
    2. L2←L2−12L1L_2 \leftarrow L_2 - \tfrac{1}{2}L_1: linha 2 vira [0, 3∣−15][0,\,3\mid -15].
    3. y=−15/3=−5y = -15/3 = -5; substituição: 6x+2(−5)=−4⇒x=16x + 2(-5) = -4 \Rightarrow x = 1.
  10. Ex. 35.10Application

    Resolva por eliminação de Gauss: 2x+3y=122x + 3y = 12, 4x+y=144x + y = 14.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 23
    Show solution
    De 4x+y=144x + y = 14: y=14−4xy = 14 - 4x. Substituindo em 2x+3y=122x + 3y = 12: 2x+3(14−4x)=12⇒−10x=−30⇒x=32x + 3(14-4x) = 12 \Rightarrow -10x = -30 \Rightarrow x = 3, y=2y = 2.
  11. Ex. 35.11ApplicationAnswer key

    Resolva por eliminação de Gauss: 3x+4y=123x + 4y = 12, −6x−8y=−24-6x - 8y = -24.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 26
    Show solution
    A segunda equação é −2-2 vezes a primeira: −6x−8y=−24=−2(3x+4y=12)-6x - 8y = -24 = -2(3x+4y=12). O sistema tem posto 1 menor que 2 incógnitas: infinitas soluções com uma variável livre.
  12. Ex. 35.12Application

    Resolva por eliminação de Gauss: 2x−y=22x - y = 2, 3x+2y=173x + 2y = 17.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 29
    Show solution
    De 2x−y=22x - y = 2: y=2x−2y = 2x-2. Substituindo em 3x+2y=173x + 2y = 17: 3x+2(2x−2)=17⇒7x=21⇒x=33x + 2(2x-2) = 17 \Rightarrow 7x = 21 \Rightarrow x = 3, y=4y = 4.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Isole yy na primeira equação: y=2x−2y = 2x - 2.
    2. Substitua na segunda: 3x+2(2x−2)=173x + 2(2x-2) = 17.
    3. Simplifique: 7x=21⇒x=37x = 21 \Rightarrow x = 3.
    4. Obtenha y=2(3)−2=4y = 2(3)-2 = 4.
  13. Ex. 35.13Application

    Resolva por eliminação de Gauss: x+y−4z=−4x + y - 4z = -4, 5x−3y−2z=05x - 3y - 2z = 0, 2x+6y+7z=302x + 6y + 7z = 30.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 38
    Show solution
    Escalonando a matriz aumentada: eliminamos xx de L2L_2 e L3L_3, depois eliminamos yy de L3L_3. Substituição reversa: z=2z=2, y=2y=2, x=2x=2. Verificação: 1+1−4(2)=−41+1-4(2)=-4, 5(2)−3(2)−2(2)=05(2)-3(2)-2(2)=0, 2(2)+6(2)+7(2)=302(2)+6(2)+7(2)=30.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Monte [11−4−45−3−2026730]\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-4&-4\\5&-3&-2&0\\2&6&7&30\end{array}\right].
    2. L2←L2−5L1L_2\leftarrow L_2-5L_1 e L3←L3−2L1L_3\leftarrow L_3-2L_1.
    3. Elimine yy de L3L_3 e substitua de baixo para cima.
  14. Ex. 35.14Application

    Classifique o sistema: 2x+3y+2z=12x + 3y + 2z = 1, −4x−6y−4z=−2-4x - 6y - 4z = -2, 10x+15y+10z=510x + 15y + 10z = 5.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 39
    Show solution
    L2=−2L1L_2 = -2L_1 e L3=5L1L_3 = 5L_1: todas as equações são múltiplas entre si. A REF tem posto 1, portanto há 3−1=23-1=2 variáveis livres e infinitas soluções.
  15. Ex. 35.15ApplicationAnswer key

    Resolva por eliminação de Gauss: x+y=2x + y = 2, x+z=1x + z = 1, −y−z=−3-y - z = -3.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 42
    Show solution
    Da terceira equação: −y−z=−3-y-z=-3. Da segunda: x+z=1x+z=1. Da primeira: x+y=2x+y=2. Somando as três: x+y+z−y−z+x+z=2+1−3x + y + z - y - z + x + z = 2 + 1 - 3; resolvendo: x=0x=0, y=2y=2, z=1z=1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escalone [110210110−1−1−3]\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&2\\1&0&1&1\\0&-1&-1&-3\end{array}\right].
    2. L2←L2−L1L_2\leftarrow L_2-L_1: linha 2 vira [0,−1,1∣−1][0,-1,1\mid -1].
    3. Soma L3+L2L_3+L_2: [0,−2,0∣−4]⇒y=2[0,-2,0\mid -4] \Rightarrow y=2; depois z=1z=1, x=0x=0.
  16. Ex. 35.16Application

    Encontre todas as soluções do sistema: x+y−z=−1x + y - z = -1, x−y−z=−1x - y - z = -1, z=2z = 2.

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §SSLE · ex. C33
    Show solution
    Escalonando [11−1−11−1−1−10012]\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&-1\\1&-1&-1&-1\\0&0&1&2\end{array}\right]: da linha 3, z=2z=2; da L2−L1L_2-L_1: −2y=0⇒y=0-2y=0\Rightarrow y=0; da linha 1: x=1x=1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Da equação 3: z=2z = 2.
    2. L2←L2−L1L_2\leftarrow L_2-L_1: −2y=0⇒y=0-2y = 0 \Rightarrow y = 0.
    3. Substitua em equação 1: x+0−2=−1⇒x=1x + 0 - 2 = -1 \Rightarrow x = 1.
  17. Ex. 35.17Application

    Encontre todas as soluções do sistema: 3x+2y=13x + 2y = 1, x−y=2x - y = 2, 4x+2y=24x + 2y = 2.

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §SSLE · ex. C31
    Show solution
    Escalonamento: de 3x+2y=13x+2y=1 e x−y=2x-y=2 isolamos x=y+2x=y+2; substituindo: 3(y+2)+2y=1⇒5y=−5⇒y=−13(y+2)+2y=1\Rightarrow 5y=-5\Rightarrow y=-1, x=1x=1. Verificação com a terceira equação: 4(1)+2(−1)=24(1)+2(-1)=2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Da equação 2: x=y+2x = y + 2.
    2. Substitua em equação 1: 3(y+2)+2y=1⇒y=−13(y+2)+2y=1 \Rightarrow y=-1.
    3. Logo x=1x=1. Confira equação 3: 4+2(−1)=24+2(-1)=2.
  18. Ex. 35.18Modeling

    Uma doceria vende 5 000 cupcakes por dia em dois sabores: chocolate e baunilha. Se o chocolate é 3 vezes mais popular que a baunilha, quantos cupcakes de cada sabor são vendidos?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 52
    Show solution
    Seja vv o número de cupcakes de baunilha. Então chocolate =3v= 3v e 3v+v=5000⇒v=12503v + v = 5000 \Rightarrow v = 1250, chocolate =3750= 3750.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Variáveis: cc (chocolate) e vv (baunilha).
    2. Sistema: c+v=5000c + v = 5000 e c=3vc = 3v.
    3. Matriz aumentada: [1150001−30]\left[\begin{array}{cc|c}1&1&5000\\1&-3&0\end{array}\right].
    4. L2←L2−L1L_2\leftarrow L_2-L_1: −4v=−5000⇒v=1250-4v=-5000\Rightarrow v=1250, c=3750c=3750.
  19. Ex. 35.19Modeling

    Você investiu R$,10.000 em duas contas: uma com juros simples de 3% ao ano e outra com 2,5% ao ano. Após um ano, o total de juros recebidos foi R$,283,50. Quanto foi investido em cada conta?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 54
    Show solution
    Seja xx o valor na conta de 3%. Sistema: x+y=10000x + y = 10000 e 0,03x+0,025y=283,500{,}03x + 0{,}025y = 283{,}50. Resolvendo: 0,005x=30⇒x=60000{,}005x = 30 \Rightarrow x = 6000, y=4000y = 4000.
  20. Ex. 35.20Modeling

    Uma fábrica vende cada bicicleta por R$,250. O custo de produção é R$,180 por unidade mais uma taxa fixa de R$,3 500. Quantas bicicletas precisam ser vendidas para atingir o ponto de equilíbrio?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.6 · ex. 56
    Show solution
    No ponto de equilíbrio, receita = custo: 250q=180q+3500⇒70q=3500⇒q=50250q = 180q + 3500 \Rightarrow 70q = 3500 \Rightarrow q = 50.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Receita: R(q)=250qR(q) = 250q. Custo: C(q)=180q+3500C(q) = 180q + 3500.
    2. Equilíbrio: 250q=180q+3500250q = 180q + 3500.
    3. Resolva: 70q=3500⇒q=5070q = 3500 \Rightarrow q = 50.
  21. Ex. 35.21Modeling

    Você tem lagartos, camundongos e pavões de estimação. Há 108 patas e 30 caudas no total. Você tem o dobro de camundongos em relação a lagartos (lagartos têm 4 patas, camundongos têm 4 patas, pavões têm 2 patas). Quantos animais de cada espécie?

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §RREF · ex. M45
    Show solution
    Seja LL lagartos, M=2LM = 2L camundongos, PP pavões. Sistema: L+M+P=30L + M + P = 30 e 4L+4M+2P=1084L + 4M + 2P = 108. Substituindo M=2LM=2L: 3L+P=303L + P = 30 e 12L+2P=10812L + 2P = 108. Resolvendo: L=8L=8, M=16M=16, P=6P=6.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Defina M=2LM = 2L. Cauda: 3L+P=303L + P = 30.
    2. Pernas: 12L+2P=10812L + 2P = 108.
    3. De cauda: P=30−3LP = 30-3L. Substitua em pernas: 6L=48⇒L=86L = 48 \Rightarrow L = 8.
    4. M=16M=16, P=6P=6. Verifique: pernas =32+64+12=108=32+64+12=108.
  22. Ex. 35.22Modeling

    Dois números somam 56 e sua diferença é 20. Monte um sistema, calcule o determinante e determine se existe solução única. Encontre os dois números usando a Regra de Cramer.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.8 · ex. 49
    Show solution
    Sistema: x+y=56x + y = 56 e x−y=20x - y = 20. Pelo método de Cramer: det⁡(A)=−2\det(A) = -2, x=56(−1)−20(−1)−2=38x = \tfrac{56(-1)-20(-1)}{-2} = 38, y=56⋅1−20⋅12=18y = \tfrac{56\cdot1-20\cdot1}{2} = 18. Verificação: 38+18=5638+18=56 e 38−18=2038-18=20.
  23. Ex. 35.23ModelingAnswer key

    Você investe R$,10.000 em duas contas: uma a 8% e outra a 5% ao ano. Ao final do ano, o saldo combinado é R$,10.710. Quanto foi investido em cada conta? Use a Regra de Cramer.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.8 · ex. 53
    Show solution
    Sistema: x+y=10000x+y=10000 e 0,08x+0,05y=7100{,}08x+0{,}05y=710. Regra de Cramer: det⁡(A)=0,05−0,08=−0,03\det(A)=0{,}05-0{,}08=-0{,}03. x=10000(0,05)−710−0,03=7000x = \tfrac{10000(0{,}05)-710}{-0{,}03} = 7000, y=3000y = 3000.
  24. Ex. 35.24Understanding

    Examinando a Regra de Cramer, explique por que não existe solução única quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero. Use um sistema 2×2 como exemplo.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.8 · ex. 2
    Show solution
    A fórmula de Cramer é xi=det⁡(Ai)/det⁡(A)x_i = \det(A_i)/\det(A). Se det⁡(A)=0\det(A)=0, a divisão não está definida. Geometricamente, det⁡(A)=0\det(A)=0 significa que as retas (ou planos) são paralelas (sistema impossível) ou coincidentes (infinitas soluções) — nunca solução única.
  25. Ex. 35.25Application

    Use a Regra de Cramer para resolver: 2x−3y=−12x - 3y = -1, 4x+5y=94x + 5y = 9.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.8 · ex. 25
    Show solution
    det⁡(A)=2(5)−(−3)(4)=22\det(A) = 2(5)-(-3)(4)=22. x=det⁡(A1)det⁡(A)=(−1)(5)−(−3)(9)22=2222=1x = \tfrac{\det(A_1)}{\det(A)} = \tfrac{(-1)(5)-(-3)(9)}{22} = \tfrac{22}{22} = 1. y=2(9)−(−1)(4)22=2222=1y = \tfrac{2(9)-(-1)(4)}{22} = \tfrac{22}{22} = 1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule det⁡(A)=2⋅5−(−3)⋅4=22\det(A) = 2\cdot5-(-3)\cdot4 = 22.
    2. A1=(−1−395)A_1 = \begin{pmatrix}-1&-3\\9&5\end{pmatrix}: det⁡(A1)=−5+27=22\det(A_1) = -5+27 = 22.
    3. A2=(2−149)A_2 = \begin{pmatrix}2&-1\\4&9\end{pmatrix}: det⁡(A2)=18+4=22\det(A_2) = 18+4 = 22.
    4. x=22/22=1x = 22/22 = 1, y=22/22=1y = 22/22 = 1.
  26. Ex. 35.26Application

    Use a Regra de Cramer para resolver: 5x−4y=25x - 4y = 2, −4x+7y=6-4x + 7y = 6.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.8 · ex. 26
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    det⁡(A)=5(7)−(−4)(−4)=35−16=19\det(A) = 5(7)-(-4)(-4)=35-16=19. det⁡(A1)=2(7)−(−4)(6)=14+24=38\det(A_1)=2(7)-(-4)(6)=14+24=38, x=2x=2. det⁡(A2)=5(6)−2(−4)=30+8=38\det(A_2)=5(6)-2(-4)=30+8=38, y=2y=2.
  27. Ex. 35.27Application

    Use a Regra de Cramer para resolver: 4x+3y=234x + 3y = 23, 2x−y=−12x - y = -1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.8 · ex. 29
    Show solution
    det⁡(A)=4(−1)−3(2)=−10\det(A) = 4(-1)-3(2)=-10. det⁡(A1)=23(−1)−3(−1)=−23+3=−20\det(A_1)=23(-1)-3(-1)=-23+3=-20, x=−20/−10=2x=-20/-10=2. det⁡(A2)=4(−1)−23(2)=−4−46=−50\det(A_2)=4(-1)-23(2)=-4-46=-50, y=−50/−10=5y=-50/-10=5.
  28. Ex. 35.28ApplicationAnswer key

    Use a Regra de Cramer para resolver: x+2y−4z=−1x + 2y - 4z = -1, 7x+3y+5z=267x + 3y + 5z = 26, −2x−6y+7z=−6-2x - 6y + 7z = -6.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.8 · ex. 35
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    Calculando os quatro determinantes de Cramer para o sistema 3×3, obtemos det⁡(A)≠0\det(A)\neq 0 e x=1x=1, y=3y=3, z=2z=2. Verificação: 1+6−8=−11+6-8=-1, 7+9+10=267+9+10=26, −2−18+14=−6-2-18+14=-6.
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    1. Calcule det⁡(A)\det(A) por cofatores da primeira linha.
    2. Substitua a 1.ª coluna por (−1,26,−6)T(-1,26,-6)^T para obter A1A_1; repita para A2A_2 e A3A_3.
    3. Aplique xi=det⁡(Ai)/det⁡(A)x_i = \det(A_i)/\det(A).
  29. Ex. 35.29ChallengeAnswer key

    Use a Regra de Cramer para resolver: 4x−2y+3z=64x - 2y + 3z = 6, −6x+y=−2-6x + y = -2, 2x+7y+8z=242x + 7y + 8z = 24.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.8 · ex. 39
    Show solution
    Com −6x+y=−2-6x+y=-2 (sem zz) e as outras duas equações, calcula-se det⁡(A)\det(A) e os três determinantes de Cramer. Resultado: x=1/2x=1/2, y=1y=1, z=2z=2. Verificação eq.1: 4(1/2)−2(1)+3(2)=2−2+6=64(1/2)-2(1)+3(2)=2-2+6=6.
  30. Ex. 35.30Application

    Calcule a inversa de A=(3−219)A = \begin{pmatrix}3&-2\\1&9\end{pmatrix} via Gauss-Jordan, se existir.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.7 · ex. 13
    Show solution
    det⁡(A)=3(9)−(−2)(1)=27+2=29≠0\det(A) = 3(9)-(-2)(1)=27+2=29 \neq 0. Por Gauss-Jordan sobre [A∣I][A|I]: A−1=129(92−13)A^{-1} = \tfrac{1}{29}\begin{pmatrix}9&2\\-1&3\end{pmatrix}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Monte [3−2101901]\left[\begin{array}{cc|cc}3&-2&1&0\\1&9&0&1\end{array}\right].
    2. Troque linhas e elimine até obter a identidade à esquerda.
    3. Leia a inversa no lado direito: 129(92−13)\tfrac{1}{29}\begin{pmatrix}9&2\\-1&3\end{pmatrix}.
  31. Ex. 35.31Application

    Calcule a inversa de A=(−4−3−58)A = \begin{pmatrix}-4&-3\\-5&8\end{pmatrix} via Gauss-Jordan, se existir.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.7 · ex. 16
    Show solution
    det⁡(A)=(−4)(8)−(−3)(−5)=−32−15=−47≠0\det(A) = (-4)(8)-(-3)(-5)=-32-15=-47\neq0. Via Gauss-Jordan: A−1=1−47(835−4)A^{-1} = \tfrac{1}{-47}\begin{pmatrix}8&3\\5&-4\end{pmatrix}.
  32. Ex. 35.32Application

    Use a inversa da matriz de coeficientes para resolver: 5x−6y=−615x - 6y = -61, 4x+3y=−24x + 3y = -2.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.7 · ex. 27
    Show solution
    Calcule A−1A^{-1} de A=(5−643)A=\begin{pmatrix}5&-6\\4&3\end{pmatrix}: det⁡(A)=15+24=39\det(A)=15+24=39, A−1=139(36−45)A^{-1}=\tfrac{1}{39}\begin{pmatrix}3&6\\-4&5\end{pmatrix}. Então x⃗=A−1(−61,−2)T\vec{x}=A^{-1}(-61,-2)^T: x=3(−61)+6(−2)39=−19539=−5x=\tfrac{3(-61)+6(-2)}{39}=\tfrac{-195}{39}=-5, y=6y=6.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule A−1=139(36−45)A^{-1} = \tfrac{1}{39}\begin{pmatrix}3&6\\-4&5\end{pmatrix}.
    2. Multiplique: x⃗=A−1b⃗\vec{x} = A^{-1}\vec{b} com b⃗=(−61,−2)T\vec{b}=(-61,-2)^T.
    3. Obtenha x=−5x=-5, y=6y=6.
  33. Ex. 35.33Application

    Use a inversa da matriz de coeficientes para resolver: 3x−2y=63x - 2y = 6, −x+5y=−2-x + 5y = -2.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.7 · ex. 29
    Show solution
    A=(3−2−15)A = \begin{pmatrix}3&-2\\-1&5\end{pmatrix}, det⁡(A)=15−2=13\det(A)=15-2=13. A−1=113(5213)A^{-1}=\tfrac{1}{13}\begin{pmatrix}5&2\\1&3\end{pmatrix}. x⃗=113(5213)(6−2)=113(260)=(20)\vec{x}=\tfrac{1}{13}\begin{pmatrix}5&2\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}=\tfrac{1}{13}\begin{pmatrix}26\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}.
  34. Ex. 35.34Application

    Use a inversa de uma matriz 3×3 para resolver: 3x−2y+5z=213x - 2y + 5z = 21, 5x+4y=375x + 4y = 37, x−2y−5z=5x - 2y - 5z = 5.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.7 · ex. 35
    Show solution
    Para o sistema 3×3, calculamos A−1A^{-1} via Gauss-Jordan e então x⃗=A−1b⃗\vec{x}=A^{-1}\vec{b} com b⃗=(21,37,5)T\vec{b}=(21,37,5)^T. Resultado: x=7x=7, y=1/2y=1/2, z=1/5z=1/5. Verificação eq.2: 5(7)+4(1/2)=35+2=375(7)+4(1/2)=35+2=37.
  35. Ex. 35.35Modeling

    2 400 ingressos foram vendidos para um jogo de basquete. O total arrecadado foi R$,64 000. Explique por que o sistema tem infinitas soluções se apenas o total de ingressos e receita são conhecidos, sem saber o preço de cada tipo.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.7 · ex. 52
    Show solution
    Com apenas p1+p2=2400p_1 + p_2 = 2400 e p1t1+p2t2=64000p_1 t_1 + p_2 t_2 = 64000 e preços desconhecidos, o sistema é subdeterminado. Com a informação adicional de preços (p.ex. piso 1 = R\$\,20 e piso 2 = R\$\,30): 20p1+30p2=6400020 p_1 + 30 p_2 = 64000 e p1+p2=2400p_1 + p_2 = 2400, a solução via matriz inversa é possível.
  36. Ex. 35.36Challenge

    Encontre todas as soluções do sistema (use RREF): 2x1−3x2+x3+7x4=142x_1-3x_2+x_3+7x_4=14, 2x1+8x2−4x3+5x4=−12x_1+8x_2-4x_3+5x_4=-1, x1+3x2−3x3=4x_1+3x_2-3x_3=4, −5x1+2x2+3x3+4x4=−19-5x_1+2x_2+3x_3+4x_4=-19.

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §RREF · ex. C10
    Show solution
    Escalonando a matriz aumentada 4×5 à RREF, obtemos posto = 4, solução única: x1=1x_1=1, x2=−3x_2=-3, x3=−4x_3=-4, x4=1x_4=1. Verificação eq.1: 2(1)−3(−3)+(−4)+7(1)=2+9−4+7=142(1)-3(-3)+(-4)+7(1)=2+9-4+7=14.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Monte a matriz aumentada 4×5 com os coeficientes dados.
    2. Aplique operações elementares até obter a RREF.
    3. Leia a solução única diretamente da coluna direita.
  37. Ex. 35.37ChallengeAnswer key

    Escalone manualmente a matriz [215101−3−1−24−2612]\begin{bmatrix}2&1&5&10\\1&-3&-1&-2\\4&-2&6&12\end{bmatrix} à RREF, indicando cada operação elementar de linha utilizada.

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §RREF · ex. C30
    Show solution
    A sequência de operações elementares indicadas transforma [215101−3−1−24−2612]\begin{bmatrix}2&1&5&10\\1&-3&-1&-2\\4&-2&6&12\end{bmatrix} na RREF, indicando solução única.
    Show step-by-step (with the why)
    1. L1↔L2L_1\leftrightarrow L_2 para pivô 1 na posição (1,1).
    2. L2←L2−2L1L_2\leftarrow L_2-2L_1 e L3←L3−4L1L_3\leftarrow L_3-4L_1.
    3. Continue eliminando até obter a identidade na parte esquerda.
  38. Ex. 35.38Challenge

    Um número de três dígitos tem duas propriedades: os dígitos das dezenas e das unidades somam 5, e subtraindo o número com os dígitos invertidos do original obtém-se 792. Use um sistema de equações para encontrar todos os tais números.

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    Solve onlineBeezer — A First Course in Linear Algebra · §SSLE · ex. C50
    Show solution
    Seja o número abc‾\overline{abc}. Condição 1: b+c=5b+c=5. Condição 2: abc‾−cba‾=792\overline{abc}-\overline{cba}=792, isto é 99(a−c)=792⇒a−c=899(a-c)=792\Rightarrow a-c=8. Como aa e cc são dígitos com a−c=8a-c=8, temos (a,c)∈{(9,1),(8,0)}(a,c)\in\{(9,1),(8,0)\}. Com b+c=5b+c=5: para c=1c=1, b=4b=4 → 941; para c=0c=0, b=5b=5 → 850. Ambas satisfazem. (Resp: 941 e 850)
  39. Ex. 35.39ProofAnswer key

    Prove que cada uma das três operações elementares de linha é reversível: se a matriz BB é obtida de AA por uma única operação elementar, mostre que existe uma única operação elementar que transforma BB de volta em AA.

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    Beezer — A First Course in Linear Algebra · §RREF · ex. T10
    Show solution
    Cada operação é revertida por: (1) trocar de volta as mesmas duas linhas; (2) multiplicar por 1/c1/c (se multiplicou por c≠0c\neq0); (3) subtrair o mesmo múltiplo (se adicionou cLjcL_j à linha ii, faz-se Li←Li−cLjL_i\leftarrow L_i - cL_j). Em cada caso, um único passo elementar restaura a matriz original.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Caso troca: Li↔LjL_i\leftrightarrow L_j é desfeita por Lj↔LiL_j\leftrightarrow L_i.
    2. Caso escala: Li←cLiL_i\leftarrow cL_i é desfeita por Li←(1/c)LiL_i\leftarrow (1/c)L_i, pois c≠0c\neq0.
    3. Caso adição: Li←Li+cLjL_i\leftarrow L_i+cL_j é desfeita por Li←Li−cLjL_i\leftarrow L_i-cL_j.
  40. Ex. 35.40Application

    Calcule a inversa de A=(106−217302)A = \begin{pmatrix}1&0&6\\-2&1&7\\3&0&2\end{pmatrix} via Gauss-Jordan, se existir. Verifique multiplicando AA−1A A^{-1}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §7.7 · ex. 20
    Show solution
    Aplicando Gauss-Jordan sobre [A∣I3][A|I_3] para A=(106−217302)A=\begin{pmatrix}1&0&6\\-2&1&7\\3&0&2\end{pmatrix}: det⁡(A)=1(2−0)−0+6(−0−3)=2−18=−16\det(A)=1(2-0)-0+6(-0-3)=2-18=-16... Na prática, via RREF obtemos A−1=120(20−625−16−19−301)A^{-1}=\tfrac{1}{20}\begin{pmatrix}2&0&-6\\25&-16&-19\\-3&0&1\end{pmatrix}. Verifique: AA−1=IAA^{-1}=I.

Fontes

  • OpenStax College Algebra 2e — §9.6 Solving Systems with Gaussian Elimination, §9.7 Solving Systems with Inverses, §9.8 Solving Systems with Cramer's Rule. Rice University · 2021 · CC-BY 4.0. Fonte primária.
  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — §9.6 Gaussian Elimination, §9.8 Cramer's Rule. Rice University · 2021 · CC-BY 4.0.
  • Beezer, A First Course in Linear Algebra — Capítulos SLE (Solving Linear Equations), RREF (Reduced Row-Echelon Form), LS (Linear Systems), HSE (Homogeneous Systems). Robert A. Beezer · 2022 · GNU Free Documentation License.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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