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Lesson 37 — Permutations and Arrangements

Permutation total Pn = n!. Arrangement A(n,p). When order matters.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math A japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

Pn=n!,Anp=n!(n−p)!P_n = n!, \qquad A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}

Permutação de n objetos: n!n! formas de ordená-los. Arranjo: ordenar p objetos selecionados de n totais — n!/(n−p)!n!/(n-p)!. Em ambos, a ordem importa.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e demonstrações

Fatorial

"Definimos o fatorial de nn como n!=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1n! = n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 para n≥1n \geq 1, e 0!=10! = 1." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

Crescimento de fatorial:

nn!ordem de grandeza5120centenas103 628 800milhões202,4 × 10¹⁸quintilhões528 × 10⁶⁷mais que átomos no universo170overflow em float64

Crescimento superexponencial de n!. Aproximação de Stirling: n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ.

Permutação simples

Permutação com repetição

Para nn objetos com n1n_1 do tipo 1, n2n_2 do tipo 2, ..., nkn_k do tipo kk (com n1+n2+⋯+nk=nn_1 + n_2 + \cdots + n_k = n):

Pnn1,n2,…,nk=n!n1!⋅n2!⋯nk!P_n^{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}
what this means · Divide-se por n_i! porque trocar elementos iguais do tipo i entre si não gera nova configuração.

Anagramas de "ARARA" (3 A's, 2 R's): 5!/(3!⋅2!)=105!/(3! \cdot 2!) = 10.

"O número de permutações distinguíveis de nn objetos onde existem n1n_1 objetos idênticos do tipo 1, n2n_2 do tipo 2, ..., e nrn_r do tipo rr, é n!n1!n2!⋯nr!\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_r!}." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

Arranjo simples

Permutação circular

nn objetos em círculo: (n−1)!(n-1)!. Razão: a "primeira posição" é arbitrária — girar todos juntos não gera nova configuração. Formalmente: fixe um objeto em uma posição; os outros n−1n-1 permutam livremente.

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 6Modeling 1Challenge 4Proof 1
  1. Ex. 37.1Understanding

    Suponha que o evento A pode acontecer de nn maneiras e o evento B de mm maneiras, sendo A e B mutuamente exclusivos (não se sobrepõem). Usando o Princípio da Adição, quantas maneiras existem para que A ou B ocorra?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 1
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    Quando dois eventos são mutuamente exclusivos (não se sobrepõem), o Princípio da Adição afirma que o total de maneiras de ocorrer A ou B é n+mn + m.
  2. Ex. 37.2Understanding

    Suponha que o evento A pode acontecer de nn maneiras e o evento B de mm maneiras, sendo A e B independentes. Usando o Princípio da Multiplicação, quantas maneiras existem para que A e B ocorram ao mesmo tempo?

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    Quando dois eventos independentes podem ocorrer juntos, o Princípio da Multiplicação diz que o total de maneiras de A e B ocorrerem simultaneamente é n×mn \times m.
  3. Ex. 37.3Understanding

    Dados dois eventos separados, como decidir entre o Princípio da Adição e o Princípio da Multiplicação? Qual conjunção indica cada princípio?

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    OpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 3
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    A palavra "ou" indica eventos mutuamente exclusivos — usamos adição. A palavra "e" indica eventos simultâneos independentes — usamos multiplicação.
  4. Ex. 37.4UnderstandingAnswer key

    Como a permutação de nn objetos distintos se diferencia do arranjo de rr objetos escolhidos de um conjunto de nn? Inclua como cada um é calculado.

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    Permutação total: Pn=n!P_n = n! (usa todos). Arranjo: P(n,r)=n!/(n−r)!P(n,r) = n!/(n-r)! (seleciona e ordena rr dos nn).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Permutação de nn objetos: coloca todos em alguma ordem — n!n! maneiras.
    2. Arranjo de rr de nn: seleciona e ordena rr objetos — n!/(n−r)!n!/(n-r)! maneiras.
    3. Quando r=nr = n: P(n,n)=n!/0!=n!P(n,n) = n!/0! = n! — coincide com permutação total.
  5. Ex. 37.5UnderstandingAnswer key

    Como se chama a seleção de rr objetos de um conjunto de nn quando a ordem dos rr objetos não importa? Qual é a fórmula para calcular o número de resultados possíveis?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 5
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    Quando a ordem dos rr objetos não importa, chamamos de combinação e usamos C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]C(n,r) = n!/[r!(n-r)!].
  6. Ex. 37.6Application

    Seja A={−5,−3,−1,2,3,4,5,6}A = \{-5, -3, -1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Quantas maneiras há para escolher um número negativo ou um número par de AA?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 6
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    Negativos em A: −5,−3,−1-5, -3, -1 (3 elementos). Pares em A: 2,4,62, 4, 6 (3 elementos). Sem interseção, total = 3+3=63+3=6.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Listar os elementos negativos: −5,−3,−1-5, -3, -1 — 3 elementos.
    2. Listar os elementos pares: 2,4,62, 4, 6 — 3 elementos.
    3. Verificar interseção: nenhum elemento é simultaneamente negativo e par — interseção vazia.
    4. Aplicar Princípio da Adição: 3+3=63+3=6.
  7. Ex. 37.7Application

    Seja B={−23,−16,−7,−2,20,36,48,72}B = \{-23, -16, -7, -2, 20, 36, 48, 72\}. Quantas maneiras há para escolher um número positivo ou um número ímpar de BB?

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    Positivos em B: 20, 36, 48, 72 — 4 elementos. Ímpares em B: −23,−7-23, -7 — 2 elementos. Sem interseção, total = 4+2=64+2=6.
  8. Ex. 37.8Application

    Quantas maneiras há para escolher um ás vermelho ou uma carta de paus em um baralho padrão de 52 cartas?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 8
    Show solution
    Ases vermelhos: 2 (copas e ouros). Cartas de paus: 13. Sem sobreposição, total = 2+13=152+13=15.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Contar ases vermelhos: ás de copas e ás de ouros = 2.
    2. Contar cartas de paus: 13 (do Ás ao Rei).
    3. Verificar sobreposição: o ás de paus não é vermelho — sem interseção.
    4. Total = 2+13=152+13=15.
  9. Ex. 37.9Application

    Quantas maneiras há para escolher uma cor de tinta entre 5 tons de verde, 4 tons de azul ou 7 tons de amarelo?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 9
    Show solution
    As opções são mutuamente exclusivas (não se pode escolher duas cores ao mesmo tempo), portanto somamos: 5+4+7=165+4+7=16.
  10. Ex. 37.10Application

    Quantos resultados são possíveis ao lançar um par de moedas?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 10
    Show solution
    Cada moeda tem 2 resultados (cara ou coroa); pelo Princípio da Multiplicação: 2×2=42 \times 2 = 4 resultados totais.
  11. Ex. 37.11Application

    Quantos resultados são possíveis ao lançar uma moeda e rolar um dado de 6 faces?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 11
    Show solution
    A moeda tem 2 resultados e o dado tem 6 faces; pelo Princípio da Multiplicação: 2×6=122 \times 6 = 12.
  12. Ex. 37.12ApplicationAnswer key

    Quantas cadeias de duas letras podem ser formadas se a primeira letra vem do conjunto A={b,c,d}A = \{b, c, d\} e a segunda do conjunto B={a,e,i,o,u}B = \{a, e, i, o, u\}?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 12
    Show solution
    Primeiro caractere: 3 opções (de A); segundo caractere: 5 opções (de B). Princípio da Multiplicação: 3×5=153 \times 5 = 15 cadeias.
  13. Ex. 37.13Application

    Quantas cadeias de 3 dígitos (de 0 a 9) podem ser construídas se os dígitos podem ser repetidos?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 13
    Show solution
    Com repetição permitida, cada uma das 3 posições tem 10 opções (0–9); total = 103=100010^3 = 1000.
  14. Ex. 37.14ApplicationAnswer key

    Quantas cadeias de 3 dígitos (de 0 a 9) podem ser construídas se os dígitos não podem ser repetidos?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 14
    Show solution
    Sem repetição: 1.ª posição tem 10 opções, 2.ª tem 9, 3.ª tem 8. Princípio da Multiplicação: 10×9×8=72010 \times 9 \times 8 = 720.
    Show step-by-step (with the why)
    1. 1.ª posição: 10 dígitos disponíveis.
    2. 2.ª posição: 9 (um já usado).
    3. 3.ª posição: 8 (dois já usados).
    4. Total = 10×9×8=72010 \times 9 \times 8 = 720.
  15. Ex. 37.15Application

    Calcule o valor da expressão P(5,2)P(5,2). (Resp: 20)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 15
    Show solution
    P(5,2)=5!/3!=5×4=20P(5,2) = 5!/3! = 5 \times 4 = 20.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Aplicar P(n,r)=n!/(n−r)!P(n,r) = n!/(n-r)! com n=5n=5, r=2r=2.
    2. P(5,2)=5!/3!P(5,2) = 5!/3!.
    3. Cancelar 3!3!: resultado é 5×4=205 \times 4 = 20.
  16. Ex. 37.16Application

    Calcule o valor da expressão P(8,4)P(8,4). (Resp: 1680)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 16
    Show solution
    P(8,4)=8×7×6×5=1680P(8,4) = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680.
  17. Ex. 37.17Application

    Calcule o valor da expressão P(3,3)P(3,3). (Resp: 6)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 17
    Show solution
    P(3,3)=3!=6P(3,3) = 3! = 6 — permutação total de 3 objetos.
  18. Ex. 37.18ApplicationAnswer key

    Calcule o valor da expressão P(9,6)P(9,6). (Resp: 60480)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 18
    Show solution
    P(9,6)=9×8×7×6×5×4=60480P(9,6) = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 60480.
  19. Ex. 37.19ApplicationAnswer key

    Calcule o valor da expressão P(11,5)P(11,5). (Resp: 55440)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 19
    Show solution
    P(11,5)=11×10×9×8×7=55440P(11,5) = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 55440.
  20. Ex. 37.20Application

    Calcule o valor da expressão C(8,5)C(8,5). (Resp: 56)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 20
    Show solution
    C(8,5)=8!/(5!⋅3!)=(8×7×6)/6=56C(8,5) = 8!/(5! \cdot 3!) = (8 \times 7 \times 6)/6 = 56.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Usar C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] com n=8n=8, r=5r=5.
    2. C(8,5)=8!/(5!⋅3!)C(8,5) = 8!/(5! \cdot 3!).
    3. Numerador descendente 3 fatores: 8×7×6=3368 \times 7 \times 6 = 336.
    4. Dividir por 3!=63! = 6: resultado 336/6=56336/6 = 56.
  21. Ex. 37.21Application

    Calcule o valor da expressão C(12,4)C(12,4). (Resp: 495)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 21
    Show solution
    C(12,4)=(12×11×10×9)/(4!)=11880/24=495C(12,4) = (12 \times 11 \times 10 \times 9)/(4!) = 11880/24 = 495.
  22. Ex. 37.22Application

    Calcule o valor da expressão C(26,3)C(26,3). (Resp: 2600)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 22
    Show solution
    C(26,3)=(26×25×24)/(3!)=15600/6=2600C(26,3) = (26 \times 25 \times 24)/(3!) = 15600/6 = 2600.
  23. Ex. 37.23ApplicationAnswer key

    Calcule o valor da expressão C(7,6)C(7,6). (Resp: 7)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 23
    Show solution
    Pela simetria das combinações, C(7,6)=C(7,1)=7C(7,6) = C(7,1) = 7.
  24. Ex. 37.24ApplicationAnswer key

    Calcule o valor da expressão C(10,3)C(10,3). (Resp: 120)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 24
    Show solution
    C(10,3)=(10×9×8)/(3!)=720/6=120C(10,3) = (10 \times 9 \times 8)/(3!) = 720/6 = 120.
  25. Ex. 37.25Application

    Quantos subconjuntos existem no conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}? (Resp: 1024)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 25
    Show solution
    Um conjunto com nn elementos possui 2n2^n subconjuntos (incluindo o vazio e o próprio conjunto); aqui 210=10242^{10} = 1024.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Para cada elemento, há 2 escolhas: incluir ou não no subconjunto.
    2. Com 10 elementos independentes: 2102^{10} subconjuntos.
    3. Calcular: 210=10242^{10} = 1024.
  26. Ex. 37.26Application

    Quantos subconjuntos existem no conjunto das 26 letras do alfabeto? (Resp: 67108864)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 26
    Show solution
    O alfabeto tem 26 letras; total de subconjuntos = 226=671088642^{26} = 67108864.
  27. Ex. 37.27Application

    Quantos subconjuntos existem em um conjunto contendo 5 números distintos, 4 letras distintas e 3 símbolos distintos? (Resp: 4096)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 27
    Show solution
    Total de elementos = 5+4+3=125 + 4 + 3 = 12; número de subconjuntos = 212=40962^{12} = 4096.
  28. Ex. 37.28Application

    Quantos subconjuntos existem no conjunto dos números pares de 2 a 28? (Resp: 16384)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 28
    Show solution
    Números pares de 2 a 28: são 2, 4, 6, …, 28 — total 14 elementos. Subconjuntos: 214=163842^{14} = 16384.
  29. Ex. 37.29Application

    Quantos subconjuntos existem no conjunto dos números de dois dígitos entre 1 e 100 que contêm o dígito 0? (Resp: 512)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 29
    Show solution
    Números de dois dígitos entre 1 e 100 que contêm o dígito 0: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 — são 9 elementos. Subconjuntos: 29=5122^9 = 512.
  30. Ex. 37.30Application

    Quantas arrumações distintas podem ser feitas com as letras da palavra "juggernaut"? (Resp: 907200)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 30
    Show solution
    "juggernaut" tem 10 letras com 2 g's e 2 u's. Arranjos distintos = 10!/(2!⋅2!)=3628800/4=90720010!/(2! \cdot 2!) = 3628800/4 = 907200.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Contar as letras: j-u-g-g-e-r-n-a-u-t = 10 letras.
    2. Identificar repetições: g aparece 2 vezes, u aparece 2 vezes.
    3. Aplicar fórmula de permutação com repetição: 10!/(2!⋅2!)10!/(2! \cdot 2!).
    4. Calcular: 3628800/4=9072003628800/4 = 907200.
  31. Ex. 37.31Application

    Quantas arrumações distintas podem ser feitas com as letras da palavra "academia"? (Resp: 6720)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 31
    Show solution
    "academia" tem 8 letras com 3 a's. Arranjos distintos = 8!/3!=40320/6=67208!/3! = 40320/6 = 6720.
  32. Ex. 37.32Application

    Quantas arrumações distintas podem ser feitas com as letras da palavra "academia" que começam e terminam com a letra "a"? (Resp: 720)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 32
    Show solution
    Fixar um "a" no início e um "a" no final (2 dos 3 a's usados). Restam 6 letras (a, c, d, e, m, i) — todas distintas. Permutações = 6!=7206! = 720.
    Show step-by-step (with the why)
    1. "academia" = a, c, a, d, e, m, i, a (3 a's, outras 5 distintas).
    2. Fixar a na 1.ª posição e a na 8.ª posição: usa 2 dos 3 a's.
    3. As 6 posições internas ficam com: a, c, d, e, m, i (todos distintos).
    4. Permutações das 6 posições internas: 6!=7206! = 720.
  33. Ex. 37.33Application

    Quantas arrumações distintas podem ser feitas com os símbolos #, #, #, @, @, ,, , $, %, %, %, %? (Resp: 277200)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 33
    Show solution
    A sequência tem 12 símbolos: 3 de #, 2 de @, 3 de $, 4 de %. Arranjos distintos = 12!/(3!⋅2!⋅3!⋅4!)=27720012!/(3! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4!) = 277200.
  34. Ex. 37.34ChallengeAnswer key

    Quantas arrumações distintas podem ser feitas com os símbolos #, #, #, @, @, ,, , $, %, %, %, % que começam e terminam com "%"? (Resp: 25200)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 34
    Show solution
    Fixar % na 1.ª e 12.ª posições (usa 2 dos 4 %). Restam 10 posições: #(3), @(2), $(3), %(2). Arranjos = 10!/(3!⋅2!⋅3!⋅2!)=3628800/144=2520010!/(3! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 2!) = 3628800/144 = 25200.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Fixar % nas posições 1 e 12 — usa 2 dos 4 %.
    2. Posições intermediárias 2 a 11 (10 posições): # vezes 3, @ vezes 2, $ vezes 3, % vezes 2.
    3. Aplicar fórmula multinomial: 10!/(3!⋅2!⋅3!⋅2!)10!/(3! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 2!).
    4. Denominador: 6⋅2⋅6⋅2=1446 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 2 = 144.
    5. Resultado: 3628800/144=252003628800/144 = 25200.
  35. Ex. 37.35Challenge

    O conjunto SS contém exatamente 900.000.000 números inteiros, todos com o mesmo número de dígitos kk, e nenhum começa com 0. Quantos dígitos tem cada número de SS?

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 35
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    Um número de $k$ dígitos sem iniciar com 0 tem o 1.º dígito com 9 opções e cada um dos k−1k-1 dígitos seguintes com 10 opções: 9×10k−19 \times 10^{k-1} números. Igualando a 900.000.000: 9×10k−1=9×1089 \times 10^{k-1} = 9 \times 10^8, logo k=9k = 9.
  36. Ex. 37.36ChallengeAnswer key

    O número de subconjuntos de 5 elementos de um conjunto com nn elementos é igual ao número de subconjuntos de 6 elementos do mesmo conjunto. Qual é o valor de nn?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 36
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    Igualar C(n,5)=C(n,6)C(n,5) = C(n,6): simplificando, 6=n−56 = n - 5, portanto n=11n = 11.
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    1. Escrever a equação: C(n,5)=C(n,6)C(n,5) = C(n,6).
    2. Expandir: n!/(5!(n−5)!)=n!/(6!(n−6)!)n!/(5!(n-5)!) = n!/(6!(n-6)!).
    3. Cancelar n!n! dos dois lados.
    4. Cruzar denominadores: 6!(n−6)!=5!(n−5)!6!(n-6)! = 5!(n-5)!.
    5. Simplificar: 6=n−56 = n-5, logo n=11n = 11.
  37. Ex. 37.37Proof

    C(n,r)C(n,r) pode ser igual a P(n,r)P(n,r)? Explique em quais casos isso ocorre.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 37
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    C(n,r)=P(n,r)/r!C(n,r) = P(n,r)/r!. Para que sejam iguais é preciso r!=1r! = 1, o que ocorre somente quando r=0r = 0 (nenhum objeto) ou r=1r = 1 (um objeto).
  38. Ex. 37.38Understanding

    Um conjunto AA tem exatamente 2048 subconjuntos. Quantos objetos distintos contém AA?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 38
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    Se 2∣A∣=2048=2112^{|A|} = 2048 = 2^{11}, então ∣A∣=11|A| = 11 objetos distintos.
  39. Ex. 37.39Challenge

    Quantas arrumações podem ser feitas com as letras da palavra "mountains" se todas as vogais devem formar um bloco contíguo? (Resp: 8640)

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 39
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    "mountains" tem 9 letras: m, o, u, n, t, a, i, n, s — vogais: o, u, a, i (4); consoantes: m, n, t, n, s (5, com n repetido). Tratando as 4 vogais como bloco: 6 itens totais com n repetido nas consoantes. Permutações dos 6 itens = 6!/2!=3606!/2! = 360. Permutações internas das vogais = 4!=244! = 24. Total = 360×24=8640360 \times 24 = 8640.
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    1. Identificar vogais (o, u, a, i) e consoantes (m, n, t, n, s) em "mountains".
    2. Agrupar as 4 vogais num bloco — passa a ter 6 itens: bloco + m, n, t, n, s.
    3. Consoantes têm "n" repetido 2 vezes; permutar 6 itens: 6!/2!=3606!/2! = 360.
    4. Permutar as 4 vogais internamente: 4!=244! = 24.
    5. Total = 360×24=8640360 \times 24 = 8640.
  40. Ex. 37.40Modeling

    Uma família com 2 pais e 3 filhos vai posar para uma foto com 2 membros na fileira da frente e 3 na de trás. Sem nenhuma restrição de posição, quantas arrumações distintas são possíveis?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.5 · ex. 40
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    Sem restrições, qualquer um dos 5 membros pode ocupar qualquer posição — total de arranjos = 5!=1205! = 120.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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